Методические указания к практическим занятиям по математике 4 семестр

131

Назовем условной вероятностью P B / A события В вероятность

события В при условии, что событие А уже произошло.

Понятие условной вероятности используется в основном в случаях, когда осуществление события А изменяет вероятность события В.

Вероятность произведения двух событий вычисляется по формуле:

Формула (11.6) называется теоремой умножения двух событий.

Если подобным образом вычислить вероятность события ВА, совпадающего с событием АВ, то получим, что P BA P B P A / B .

Следовательно, справедливо равенство:

Событие В называется независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности В, то есть P B / A P B .

Если событие В не зависит от А, то и А не зависит от В. Значит,

свойство независимости событий взаимно.

Теорема умножения для независимых событий имеет вид:

т.е. вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей.

Примеры решения задач

1. В ящике 5 апельсинов и 4 яблока. Наудачу выбраны 3 фрукта. Какова вероятность того, что все три фрукта – апельсины?

Решение. Элементарными исходами здесь являются выборки, включающие 3 фрукта. Так как порядок безразличен, будем считать выборки неупорядоченными (и, разумеется, бесповторными). Общее число

элементарных исходов n | | равно числу сочетаний из 9 по 3, C 93 . Число благоприятных исходов m | A | будет равно числу способов выбора трех апельсинов из имеющихся пяти – иными словами, числу сочетаний трех элементов из пяти, т.е. C 53 . Тогда вероятность

132

C 3

P ( A ) 5 0,12 .

C 93

2. В коробке содержится 6 одинаковых занумерованных кубиков. Наудачу по одному извлекают все кубики. Найти вероятность того, что номера извлеченных кубиков появятся в возрастающем порядке.

Решение. Здесь число n всевозможных исходов эксперимента равно числу перестановок

Р6 = 1 2 3 4 5 6 = 6! = 720,

и только один исход испытания является благоприятствующим. Поэтому

3. Шестеро клиентов случайным образом обратились в 5 фирм. Найти вероятность того, что хотя бы в одну фирму никто не обратился.

Решение. Рассмотрим обратное событие A , состоящее в том, что в каждую из пяти фирм обратился клиент, тогда в какую-то из них обратились два человека, а в остальные 4 фирмы – по одному клиенту. Таких возможностей

Всего же способов распределить шестерых клиентов по 5 фирмам | | 5 6 . Отсюда

следовательно, P A 1 P A 0, 8848 .

4. Набирая номер телефона, абонент забыл последние три цифры, и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

Решение. Пусть событие А = {набраны три нужные цифры}. Можно набрать столько троек различных цифр, сколько может быть составлено размещений из десяти цифр по три. В соответствии с общей формулой

133

(10.1), имеем n =А103 = 10 9 8 = 720. Благоприятствует событию А лишь

5. Игра состоит в том, что игрок бросает монету на поверхность стола, разграфленную на квадраты, стороны которых больше диаметра монеты. Найти вероятность того, что:

а) монета целиком попадает внутрь одного квадрата; б) монета пересечет не более одной стороны квадрата.

Решение. Обозначим сторону квадрата через а, диаметр монеты через 2r (2r а). Тогда пространством элементарных событий будет множество точек квадрата

x , y | 0 x , y a ,

где x, y – координаты центра монеты относительно того квадрата,

которому принадлежит центр монеты. Обозначим события, вероятности которых надо найти, через А и В. Геометрически им соответствуют заштрихованные фигуры на рис. 11.1а и 11.1б.

По рисунку 11.1а видно, что площадь заштрихованного квадрата равна s a 2 r 2 , а площадь всей области S a 2 , поэтому (по формуле

11.2б)

yy a

a–r

r

Рис. 11.1а

134

y

a

a–r

r

Рис. 11.1б

Площадь каждого незаштрихованного квадрата (рис. 11.1б) равна r 2 , таких квадратов 4, тогда площадь заштрихованной области s a 2 4 r 2 .

Используя геометрическое определение вероятности (формула 11.2б), получим

P B a 2 4 r 2 . a 2

6. Задача о встрече. Два студента условились встретиться в определенном месте между 12 и 13 часами дня. Пришедший первым ждет другого в течение 10 минут, после чего уходит. Чему равна вероятность встречи двух студентов, если каждый из них может придти в любое время в течение указанного часа независимо от другого?

Решение. Будем считать интервал с 15 до 16 часов отрезком [0, 1] длиной в 1 час. Обозначим время прихода первого студента через x ,

встреча произошла необходимо чтобы время прихода двух лиц отличалось

к бросанию точки наугад в квадрат.

135

Рис. 11.2.

Тогда вероятность встречи равна

7. В ящике 10 деталей, из которых 4 окрашены. Сборщик наудачу взял 2 детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из взятых деталей окрашена.

Решение. Рассмотрим события А1 = 1-я выбранная деталь окрашена, А2 = 2-я выбранная деталь окрашена.

Тогда A A1 A2 , где А1 и А2 совместные события, (т.е. могут произойти в одном испытании). В этом случае

P A P A1 P A2 P A1 A2 ,

P A1 A2 P A1 P A2 / A1 ,

8. Среди 100 лотерейных билетов есть 5 выигрышных. Найти вероятность того, что 2 наудачу выбранных билета окажутся выигрышными.

136

Решение. Задачу можно решить двумя способами.

1 способ. Применяется классическое определение вероятности, формула (11.1):

P A m , n

где m = С 52 = 10, n = С1002 = 4950, т.е. Р(А) = (1 / 495).

2 способ. Рассмотрим события:

А1 = 1-й взятый билет – выигрышный, А2 = 2-й взятый билет – выигрышный , А = оба билета выигрышные.

Применяя классическое определение вероятности (формула (11.1)), найдем, что

Задачи для самостоятельного решения

1.Построить пространство элементарных исходов для эксперимента,

вкотором монету бросают 3 раза.

2.Брошены две игральные кости. Чему равна вероятность того, что сумма очков, выпавших на обеих костях, не превзойдет 5?

3.Найти вероятность того, что в шестизначном номере 3 цифры совпадают, а остальные различны (считаем, что пятизначные номера могут начинаться с 0).

4.Шесть шаров случайным образом раскладываются по трем

ящикам. Найти вероятность того, что в первом ящике лежат 4 шара.

5. На отрезок [ 1,2 ] наудачу брошены две точки. Какова вероятность того, что расстояние между ними больше 1?

137

6.Студент может добраться до факультета либо автобусом, интервал движения которого составляет 7 минут, либо троллейбусом, интервал движения которого – 10 минут. Найти вероятность того, что студенту, пришедшему на остановку в случайный момент времени, придется ждать не более трех минут.

7.Найти вероятность того, что из трех наудачу взятых отрезков длиной не более L можно построить треугольник.

8.Четыре человека вошли в лифт на первом этаже шестиэтажного дома. Найти вероятность того, что вес пассажиры выйдут: а) на шестом этаже; б) на одном и том же этаже; в) на разных этажах.

9.Какова вероятность того, что в четырех бросаниях хотя бы 1 раз выпадет единица?

10.В лотерее из 50 билетов 5 выигрышных. Какова вероятность того,

что среди первых пяти наугад выбранных билетов два будут выигрышными?

11. На отрезок [ 2 ,5 ] наудачу брошены две точки. Какова вероятность того, что расстояние между ними меньше 2?

12.Два теплохода должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих теплоходов независимо и равновозможно в течение данных суток. Найти вероятность того, что ни одному из теплоходов не придется ожидать освобождения причала, если время стоянки первого теплохода – 1 час, а второго – 2 часа.

13.В семье двое детей. Какова вероятность того, что старший ребенок мальчик, если известно, что в семье есть дети обоего пола.

14.Мастер, разложив 10 деталей, три из которых нестандартные, проверяет детали одну за другой, пока ему не попадется стандартная. Какова вероятность того, что мастер проверит ровно две детали?

15.В одном ящике 3 белых и 5 черных шаров, в другом – 6 белых и 4 черных шара. Найти вероятность того, что хотя бы из одного ящика будет вынут один белый шар, если из каждого ящика вынуто по одному шару.

16.В партии из 20 изделий 4 бракованных. Найти вероятность того, что в выборке из 5 изделий не более одного бракованного.

17.Трое пассажиров сели в поезд, случайно выбрав любой из шести вагонов. Какова вероятность того, что хотя бы один из них сядет в первый вагон, если известно, что люди сели в разные вагоны?

18.Двое равносильных шахматистов играют 4 партии. Найти вероятность того, что победил первый, если известно, что каждый выиграл хотя бы 1 раз.

138

19.Пять шаров распределены по трем ящикам. При условии, что пустых ящиков нет, найти вероятность того, что в первом ящике лежит 1 шар.

20.Стрелок делает подряд три выстрела, при этом он поражает

цель с вероятностью 0,6 при одном выстреле. Обозначим событие Ai {i -я п уля п опала в ц ель}, i 1, 2, 3. Выразить события: а) было хотя бы

одно попадание, б) ровно одно попадание, в) не менее двух попаданий. Найти вероятность события а).

21. В пакетике 4 красных, 5 желтых и 6 зеленых леденцов. Найти вероятность наудачу вынуть подряд три конфеты одного цвета.

Ответы. 1) РРР, РРГ, РГР, ГРР, РГГ, ГГР, ГГГ; 2) 5 ; 3) 0,1008;

1 8

4) 0,082; 5) 4 ; 6) 0,6; 7) 0,5. Указание: ввести пространственную систему

1; 18) 2 ; 19) 0,47; 20) 0,648; 21) 0,075.

27

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 12

Формула полной вероятности. Формула Байеса. Схема испытаний Бернулли

Говорят, что события H 1 , H 2 ,..., H n образуют полную группу, если в результате опыта обязательно произойдет хотя бы одно из событий этой группы. В частности, если события, образующие полную группу, попарно несовместны, то в результате опыта произойдет одно и только одно из них.

Такие события называют элементарными событиями полной группы.

Пусть событие А может произойти только совместно с одним из

139

i 1

где Р(Hi) – вероятность i-й гипотезы, а Р(A/Hi) – вероятность события А при условии реализации этой гипотезы.

Формула (12.1) носит название формулы полной вероятности.

Пусть известен результат опыта, а именно то, что произошло событие А. Этот факт может изменить априорные (то есть известные до опыта) вероятности гипотез. Для переоценки вероятностей гипотез при известном результате опыта используется формула Байеса:

Теперь рассмотрим серию из п испытаний, в каждом из которых событие А появляется с одной и той же вероятностью р, причем результат каждого испытания не зависит от результатов остальных. Подобная постановка задачи называется схемой повторения испытаний. Вероятность того, что в такой серии событие А произойдет ровно к раз (неважно, в какой последовательности) вычисляется по формуле Бернулли:

наибольшее значение, называется наивероятнейшим числом появления события А. Если (n + 1)p – дробное число, то k0 принимает единственное значение

140

Из формулы Бернулли (12.3), в частности, следует, что в n испытаниях, удовлетворяющих схеме Бернулли, вероятность хотя бы одного появления события A равна

Вероятность появления не менее k1 раз и не более k2 раз – равна

k k1

Формула Бернулли при большом числе испытаний оказывается весьма неудобной, поскольку приходится вычислять факториалы больших чисел и большие степени. В таких случаях для упрощения вычислений используется локальная формула Муавра-Лапласа:

Функция x протабулирована и ее значения можно найти по таблице.

Примеры решения задач

1. В ящике содержится 12 деталей, изготовленных на заводе № 1; 20 деталей на заводе № 2; 18 деталей – на заводе № 3. Вероятность того, что деталь, изготовленная на заводе № 1, отличного качества, равна 0,9; для деталей заводов № 2 и № 3 эти вероятности соответственно равны 0,6 и 0,8. Найти вероятность того, что извлеченная наудачу деталь отличного качества.

Решение. Введем обозначения:

А = {извлеченная деталь имеет отличное качество},

Вk = {извлеченная деталь изготовлена заводом № k} для k = 1, 2, 3. События B1, B2, B3 образуют полную группу. Событие А может

наступить, если наступит одно из несовместных событий B1, B2, B3.