Методические указания к практическим занятиям по математике 4 семестр

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский государственный энергетический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

элементов обозначается символом Pn

и вычисляется по формуле

.pdf

Скачиваний:

165

Добавлен:

29.03.2016

Размер:

3.9 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2213 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

121

	1	e it	e it t	e	it	e it t	1 e it	e it	t e it	e	it

p 2	1
p 2	1	4i	4		4i	4	2	2i	2	2
	2	4i	4		4i	4	2	2i	2	2

1 sin t t cos t .

2 2

Применяем теорему запаздывания:

		1		t			1		t π
X p	x t η t		sin t		cos t	η t π		sin t π		cos t π
X p	x t η t		sin t		cos t	η t π		sin t π		cos t π
	2			2		2			2

η t sin t

tcos t η t π sin t

t π cos t ,

Y p y t η t t

η t sin t tcos t η t

π sin t t π cos t

η t 2t sin t tcos t η t π sin t t

π cos t .

Ответы. 1) x t 1

2 sh

t , y t 1

e 2 sh

t ;

2) x t

η t sin t tcos t η t

π sin t t π cos t ,

y t

η t 2t sin t tcos t η t π sin t t π cos t .

Задачи для самостоятельного решения

1. Решить задачу Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.

1) x t x t t , x 0 1, x 0 0 ; 2) x t 3 x t e t ,

x 0 0, x 0 1 ; 3) x t x t	1	, x 0 1, x 0 0 .

	ch t
2. Решить задачу Коши для уравнения с правой частью, заданной

графически.
1) x t 2 x t	f t ,	x 0 2 , график правой части представлен на
рис. 9.3.

122

f t

Рис. 9.3

x t x t

f t ,

x 0 1 ,

график правой части представлен на

рис. 9.4.

f t

Рис. 9.4

3. Операционным методом решить задачу Коши для системы

дифференциальных уравнений.

x t y t 1,

1, y 0 0 ;

x 0

y t x t t ,

x t y t 0,

1 t , 0 t 1,

y 0

0 ;

x t

f t

x 0

y t y t

f t ,

0, t 1,

x t y t cos t ,

x 0 y 0 0 , x 0 y 0 1

y t x t 0,

Ответы. 1.

1) x t t cos t

sin t ;

x t

e t

e 3t

;

3) x t tsh t ch t lnch t

1 .

2. 1) x t

η t 17 e 2t

2t 1

η t 2 e 2 t 2 2t 3 ;

2) x t η t t 1 η t 1 e t 1 t 2 η t 2 e t 2 t 3

η t 3 e t 3 t 4

3. 1) x t 3 t 1 t 2 2 e t , y t 2 t 2e t ;

n1 n2

123

											t																	t 1
											t																	t 1
					2				3					3
					2				3					3
2)	x t η t			t						e 2 sin						t		η t					1		1	t e		2	sin
2)	x t η t			t						e 2 sin						t		η t					1		1	t e		2	sin
							3							2
							3							2

						t
						t
												3					3				3
												3					3				3
y t η t			1 e 2					cos					t						sin					t
y t η t			1 e 2					cos					t						sin					t
												2					3			2
												2					3			2

					t 1
					t 1
												3								3						3
												3								3						3
	η t 1	1		e	2				cos						t		1					sin					t 1		;
	η t 1	1		e	2				cos						t		1					sin					t 1		;
												2								3					2
												2								3					2

3 t 1 ,

3) x t	1	ch t cos t e t	1 ,	y t	1	sh t sin t e t	1 .
	2				2

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 10

Основные понятия комбинаторики

Комбинаторика – раздел математики, в котором изучаются задачи выбора элементов из заданного множества и расположения их в группы по заданным правилам, в частности задачи, о подсчете числа комбинаций, получаемых из элементов заданного конечного множества.

Многие комбинаторные задачи могут быть решены с помощью следующих двух важных правил, называемых соответственно правилами умножения и сложения.

Правило умножения: если из некоторого конечного множества первый объект (элемент x) можно выбрать n1 способами и после каждого такого выбора второй объект (элемент y) можно выбрать n2 способами, то оба объекта (x и y) в указанном порядке можно выбрать n1 n2 способами.

Правило суммы: если некоторый объект x можно выбрать n1 способами, а объект y можно выбрать n2 способами, причем первые и вторые способы не пересекаются, то любой из указанных объектов (x или y), можно выбрать способами.

Решение вероятностных задач часто облегчается, если использовать комбинаторные формулы. Каждая из них определяет число всевозможных исходов в некотором опыте, состоящем в выборе наудачу m элементов из n различных элементов рассматриваемого множества.

Существуют две схемы выбора m элементов ( 0 m n ) из исходного множества: без возвращения (без повторений) и с возвращением

124

(с повторением). В первом случае выбранные элементы не возвращаются обратно; можно отобрать сразу все m элементов или последовательно отбирать их по одному. Во второй схеме выбор осуществляется поэлементно с обязательным возвращением отобранного элемента на каждом шаге.

1. Схема выбора без возвращений.

Пусть дано множество, состоящее из n различных элементов. Размещением из n элементов по m элементов называется любое

упорядоченное подмножество данного множества, содержащее m элементов.

Из определения вытекает, что размещения – это выборки (комбинации), состоящие из m элементов, которые отличаются друг от друга либо составом элементов, либо порядком их расположения.

Число размещений из n элементов по m элементов обозначается символом Anm и вычисляется по формуле

A m	n ( n 1)( n 2 ) ... ( n m 1)	n !	,	(10.1)


n		( n m )!

где n! 1 2 3 ... n , 1! = 1, 0! = 1.

Перестановкой из n элементов называется размещение из n элементов по n.

Из определения вытекает, что перестановки – это выборки (комбинации), состоящие из n элементов и отличающиеся друг от друга только порядком следования элементов. Число перестановок из n

Сочетанием из n элементов по m элементов называется любое подмножество, которое содержит m элементов данного множества.

Из определения вытекает, что сочетания – это выборки (комбинации), каждая из которых состоит из m элементов, взятых из данных n элементов, и которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом, т.е. отличаются только составом элементов.

125

Число сочетаний из n элементов по m элементов обозначается символом C nm и вычисляется по формуле

C nm	n !	.	(10.3)

	m !( n m )!

2. Схема выбора с возвращением.

Если при выборке m элементов из n элементы возвращаются обратно и упорядочиваются, то размещения называются размещениями с повторениями.

Размещения с повторениями могут отличаться друг от друга элементами, их порядком и количеством повторений элементов. Число всех размещений из n элементов по m с повторениями обозначается символом Anm и вычисляется по формуле

	m n m .	(10.4)
A
n

Если при выборке m элементов из n элементы возвращаются обратно без последующего упорядочения, то говорят, что это сочетания с повторениями.

Число всех сочетаний из n элементов по m с повторениями

обозначается символом C nm и вычисляется по формуле
C nm C nm m 1.	(10.5)

Пусть в множестве с n элементами есть k различных элементов, при

этом 1-й элемент повторяется n1 раз, 2-й элемент – n2 раз, …, k-й элемент nk раз, причем n1 n2 ... nk n . Перестановки из n элементов данного

множества называют перестановками с повторениями из n элементов.

Число перестановок с повторениями из n элементов обозначаются символом Pn ( n1 , n2 ,..., nk ) и вычисляются по формуле

Pn (n1, n2 ,..., nk )	n !	.	(10.6)

	n1 !n2 !...nk !

126

Примеры решения задач

1. В группе 30 студентов. Необходимо выбрать старосту, заместителя старосты и профорга. Сколько существует способов такого выбора?

Решение: Старостой может быть выбран любой из 30 студентов, заместителем – любой из оставшихся 29, а профоргом – любой из оставшихся 28 студентов, т.е. n1 30 , n 2 29 , n3 28 . Согласно правилу

умножения общее число способов выбора старосты, его заместителя и профорга равно

Nn1 n 2 n3 30 29 28 24360 .

2.Два почтальона должны разнести 10 писем по 10 адресам. Сколькими способами они могут распределить работу?

Решение. Первое письмо имеет 2 альтернативы – либо его относит первый почтальон, либо второй. Для второго письма также есть две альтернативы и т.д. Следовательно, в силу правила умножения общее число способов распределения писем равно

N2 2 2 210 1024 .

10раз

3.В расписание одного дня включены 5 уроков. Определить число вариантов расписания при выборе из 11 дисциплин.

Решение. Каждый вариант расписания представляет набор 5 дисциплин из 11, отличающихся от других вариантов как составом, так и их порядком следования, поэтому

N A 5	11!		11!	7 8 9 10	11	55440 .

11	(11 5)!	6!

4. В конкурсе по 5 номинациям участвуют 10 кинофильмов. Сколько существует вариантов распределения призов, если по каждой номинации установлены различные премии?

Решение. Каждый из вариантов распределения призов представляет собой комбинацию 5 фильмов из 10, отличающуюся от других как составом, так и порядком следования. Поскольку каждый фильм может получить призы как по одной, так и по нескольким номинациям, то одни и те же фильмы могут повторяться. Потому число таких комбинаций равно

127

числу размещений с повторениями из 10 элементов по 5:

N A 5	10 5	100000 .
10

5. В условиях задачи 4 определить, сколько вариантов распределения призов существует, если по каждой номинации установлены одинаковые призы?

Решение. Если по каждой номинации установлены одинаковые призы, то порядок фильмов в комбинации 5 призов значения не имеет, и число вариантов представляет собой число сочетаний с повторениями из 10 элементов по 5, определяемое по формуле:

			14 !
N C105	C105	5 1 C145	14 !		2002 .

			5!(14	5)!
			5!(14	5)!

6. Порядок выступления семи участников конкурса определяется жребием. Сколько различных вариантов жеребьевки при этом возможно?

Решение. Каждый вариант жеребьевки отличается только порядком следования участников конкурса, т.е. является перестановкой из 7 элементов. Их число равно P7 7! 5040 .

7. Требуется составить расписание отправления поездов на различные дни недели. При этом необходимо, чтобы: 3 дня отправлялись по 2 поезда в день, 2 дня - по 1 поезду в день, 2 дня - по 3 поезда в день. Сколько можно составить различных расписаний?

Решение. Количество поездов, отправляемых в день (числа 1, 2, 3), – это три группы одинаковых элементов, из которых должна быть составлена выборка. При этом в расписании на неделю число 1 повторяется 2 раза, число 2 повторяется 3 раза и число 3 повторяется 2 раза. Число различных расписаний равно

P 2, 3, 2	7 !	210.

	2! 3! 2!
	2! 3! 2!

Задачи для самостоятельного решения

1.Сколькими способами можно переставить буквы слова «кофеварка» так, чтобы гласные и согласные буквы чередовались?

2.Сколькими способами можно расставить 12 белых и 12 черных шашек на черных полях шахматной доски?

128

3.Несколько человек садятся за круглый стол. Будем считать, что два способа рассадки совпадают, если каждый человек имеет одних и тех же соседей в обоих случаях. Сколькими различными способами можно посадить четырех человек? А семь человек? Во скольких случаях два данных человека из семи оказываются соседями? Во скольких случаях данный человек (из семи) имеет двух данных соседей?

4.Десять человек при встрече обмениваются рукопожатиями. Сколько всего рукопожатий будет сделано?

5.Сколькими способами можно вытащить две карты пиковой масти из колоды в 36 крат?

6.Сколькими способами можно расположить на полке 10 томов энциклопедии?

7.Группу из 10 человек требуется разбить на две непустые подгруппы, сколькими способами это можно сделать?

8.Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 составляются всевозможные пятизначные числа, не содержащие одинаковые цифры. Определить количество чисел, в которых есть цифры 2, 4 и 5 одновременно.

9.Имеются 7 билетов: 3 – в один театр, 4 – в другой. Сколькими способами они могут быть распределены между студентами группы из 25 человек?

10.Из ящика, в котором лежат 10 красных и 5 зеленых яблок, выбирают одно красное и два зеленых. Сколькими способами это можно сделать?

11.В ящике 5 красных и 4 зеленых яблока. Сколькими способами можно выбрать 3 яблока из ящика?

12.Сколько четырехзначных чисел, составленных из нечетных цифр, содержит цифру 3 (цифры в числах не повторяются)?

13.Два наборщика должны набрать 16 страниц текста. Сколькими способами они могут распределить эту работу между собой?

14.Поезд метро делает 16 остановок. Сколькими способами могут распределиться между этими остановками 100 пассажиров, вошедших в поезд на конечной остановке?

15.Шесть студентов нужно распределить по 3 группам второго курса. Сколькими способами это можно сделать?

16.Автомобильный номер состоит из 3 букв и 3 цифр. Сколько различных номеров можно составить, используя 30 букв и 10 цифр?

Ответы.				1)	720; 2) C 3212 C 1220 ; 3) 24; 4) 45;	5)	36;	6)		10!; 7) 1022;
8) 1800; 9)	C	3	C	4	16824500 ; 10) 100; 11) 84; 12)	A	4	A	4	96 ; 13) 216 ;
		25		22			5		4

14) 16 100 ; 15) 36 ; 16) 30 3 10 3 .

129

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 11

Пространство элементарных исходов. Событие и его вероятность. Геометрическая вероятность. Условная вероятность

1. Классическое и геометрическое определения вероятности.

Пространством элементарных исходов называется множество,

содержащее все возможные результаты данного опыта (эксперимента), из которых в опыте происходит ровно один. Элементы этого множества называют элементарными исходами и обозначают буквой , с индексами или без. Пространство элементарных исходов записывают как

1, 2 ,..., n ,

где 1 , ..., n элементарные исходы опыта.

Тогда любое случайное событие A , возможное в данном опыте, есть некоторое подмножество пространства элементарных исходов, то есть

A :

A i1 , i2 ,..., ik , 0 ik n,

где k число исходов, благоприятствующих событию A .

Мы говорим, что в результате опыта произошло событие A , если произошло элементарное событие j , которое принадлежит A .

Вероятностью события А называется отношение числа исходов опыта m | A | , благоприятных этому событию, к числу всех возможных исходов n | | :

P ( А)	т	.	(11.1)

	п

Это классическое определение вероятности.

Теперь рассмотрим геометрическое определение вероятности. Пусть на отрезок L наудачу брошена точка. Это означает, что точка обязательно попадет на отрезок L и с равной возможностью может совпасть с любой точкой этого отрезка. При этом вероятность попадания точки на любую часть отрезка L не зависит от расположения этой части на отрезке и пропорциональна его длине. Тогда вероятность того, что брошенная точка попадет на отрезок l, являющийся частью отрезка L, вычисляется по

130

формуле:

p	l	,	(11.2)

	L

где l – длина отрезка l, а L – длина отрезка L.

Можно дать аналогичную постановку задачи для точки, брошенной на плоскую область S и вероятности того, что она попадет на часть этой области s:

p	s	,	(11.2а)

	S

где s – площадь части области, а S – площадь всей области.

В трехмерном случае вероятность того, что точка, случайным образом расположенная в теле V, попадет в его часть v, задается формулой:

p	v	,	(11.2б)

V
где v – объем части тела, а V – объем всего тела.
2. Вероятность суммы и произведения событий.
Вероятность P A B суммы событий А и В равна
P A B P A P B P AB .			(11.3)
Если же события А и В несовместны, то P A B 0			и вероятность
суммы этих событий равна сумме их вероятностей:
P A B P A P B .			(11.4)

Противоположными событиями называют два несовместных события, образующих полную группу. Если одно из них обозначить А,


то второе принято обозначать А .

Таким образом, событие А заключается в том, что				событие А
не произошло.
Сумма вероятностей противоположных событий равна 1:
	P A P		1 .	(11.5)
	P A P	А	1 .	(11.5)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2213 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.08.20191.01 Mб16МЕТОДИКА РАСЧЕТА КОНЦЕНТРАЦИЙ В АТМОСФЕРНОМ ВОЗ...docx
#
01.04.2025956.42 Кб3методич указания.doc
#
01.05.2025564.74 Кб3Методич_указ_к_сам._работам_2010.doc
#
16.11.2019202.75 Кб17МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К КУРСОВОМУ ЭОИ.doc
#
01.04.20254.33 Mб2Методические указания к модулю 3.doc
#
29.03.20163.9 Mб165Методические указания к практическим занятиям по математике 4 семестр.pdf
#
01.07.2025688.13 Кб0Методичка по РАСЧЕТУ СИСТЕМ КОНДИЦИОНИРОВАНИЯ.doc
#
10.06.2015936.96 Кб92методичка (с контрольными).doc
#
25.11.201894.21 Кб11методичка 4 курс незаконч.2.doc
#
16.11.20193.22 Mб40Методичка Банкротство.doc
#
15.08.20192.65 Mб6МЕТОДИЧКА ГОСТ 2.105-95.doc