Методические указания к практическим занятиям по математике 4 семестр

задание данной функции.

Наклонный отрезок графика есть часть прямой

y t

2 1 . Тогда

функция f1 t η t t

2 1 будет иметь график (рис. 7.2):

y

f1 t

1

y

t

2

Рис. 7.2

Для

того чтобы «стереть» часть

прямой линии на

промежутке

2; и

сохранить

часть графика на

промежутке

; 2 , применим

1

функцию

η t 2

t

1 :

2

1

f 2

t f1 t η t 2

t

1 .

2

График функции y

f 2 t

приведем на рис. 7.3.

y

1

y f 2 t

2

t

Рис. 7.3

Для того чтобы продолжить функцию y f 2 t

значениями, равными

2, на множестве 2;

еще раз применим функцию Хевисайта и получим

заданную функцию:

1

f t f 2 t 2 η t 2 ,

f t f1 t η t 2

t

1 2 η t 2

,

2

1

1

f t η t

t

1

η t 2

t

1

2 η t 2 .

2

2

2

2

2

2

f t

1

η t t

2

1

η t

2 t 2

4

1

1

2

2

2

2

2

p

p

1

1

4

1 e 2 p

4 p 1 2 p 1

2 p

.

2 e

p

2

p

2

p

2

Ответ.

1 e 2 p 4 p 1

2 p 1

.

2

p

2

1)

f t 3 t 3 2sh 2t ; 2)

f t 1

1

1

sh

t ;

cos

2 t

2

2

2

3)

f t sh 3tcos 2t .

1)

f t η t 3 4t 1 ; 2) f t η t 1 te t ;

3)

f t η t 1 t 2

η t 2 cos

π

t .

2

2

t

y

2)

y

f t

1

1

2

t

–1

Рис. 7.5

3 p 2 16

p 4

p 3 p

2

4

p 2 2

Ответы. 1. 1)

;

2)

;

3)

.

p

p 2

4

p 4 p 4

p 4 4

2.

1)

e

3 p 11 p 4

;

2)

pe p 1

; 3)

e p p 2

2 p 2

4

e

2 p p

.

p

2

p 1 2

p

3

4 p 2 π 2

3

p

1

1 2 p e 2 p 6 p 1 1

1 p e 2

sh

p

3.

1)

; 2)

2

2

.

2

p

2

p

2

1

e at

t k 1 .

p a k

k

1 !

Если

a α iβ , то

дальнейшие

преобразования

выполняются с

применением формулы e at

e αt cos βt isin βt .

Если знаменатель дробно рационального изображения имеет множитель

p 2 bp c

с дискриминантом

b 2 4c 0 , то в

разложении в

сумму

простейших дробей допускают дробь вида Bp D

p 2

bp c k .

После

2

2

b

b 2

b 2

b

2

2

,

p

bp c

p

2 p

c

p

d

2

4

4

2

где d 2

b 2

4 c

. Тогда, например, при k 1

4

b

Bb

b

Bp D

B p

D

p

2

2

B

2

p 2 bp c

b 2

2

b

2

2

p

d

p

d

2

2

2 D Bb

d

.

2 d

b

2

2

p

d

2

Bp

b

t

2 D Bb

b

t

D

Be 2

cos dt

e 2 sin dt .

p 2 bp

c

2 d

Неэлементарные методы восстановления оригинала

К неэлементарным методам отнесем методы, основанные на

следующих утверждениях.

Теорема умножения. Пусть

f t F p , g t G p . Тогда

F p G p f g t ,

t

где

f g t f τ g t

τ dτ так называемая свертка оригиналов. Если σ 0

0

и σ1

есть индексы роста соответственно функций f t и g t , то оригинал

f g t имеет индекс роста, не превосходящий числа ω max σ 0 , σ1 .

Теорема (формула Дюамеля). Пусть f t F p ,

g t G p , g t

также оригинал. Тогда имеет место соответствие

pF p G p g 0 f t f g t

t

где f

g t f τ g t

τ d τ .

0

Это соответствие называется формулой Дюамеля.

Если считать производную

f t оригиналом, то,

с учетом свойств

5

2

81

5 2

9

2

p

p

.

2

4

2

2

9

2

2

F p

.

9

p

5

2

9

2

2

2

Тогда

5

t

F p

2

9

e 2 sh

t .

9

2

Второй способ. Знаменатель дроби

имеет

корни p 2

и p 7 .

Тогда он представим в виде

произведения

p 2 p 7 .

Получим

1

1

p 2 p 7

1

1

1

.

p 2 p 7

9

p 2 p 7

9

p 7

p 2

5

9

t

9

t

5

e

2t

t

t

1

1

1

1

7 t

2

e 2

e

2

2

9

e 2

e 2

t .

e

sh

9

p 7

p 2

9

9

2

9

2

2)

Квадратный

трехчлен

p 2 2 p 2

не

имеет

действительных

1

M

N

Bp

D

p 2 p 2 2 p 2

p

p 2

p 2 2 p 2