Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Umk_Oed

.pdf
Скачиваний:
3
Добавлен:
29.03.2016
Размер:
1.8 Mб
Скачать

ρˆ coˆv( X ,Y ) ,

Sx S y

а оценками двух коэффициентов регрессии:

ˆ

ˆ

xy ρˆSx / Sy ,

yx ρˆS y / Sx .

Все приведенные оценки будут так же и состоятельными, т.е. при n→∞ сходятся по вероятности к соответствующим теоретическим характеристикам.

Рассмотрим теперь m – мерную случайную величину

(Х1 , Х2 , …, Хm ). Пусть над системой произведено n независимых наблюдений и результаты оформлены в виде таблицы.

Табл. 3.8

i

X1

X2

 

Xk

 

Xm

1

х1 1

х2 1

 

хk 1

 

хm 1

2

х1 2

х2 2

 

хk 2

 

хm 2

 

 

 

 

 

 

 

i

х1 i

х2 i

 

хk i

 

хm i

 

 

 

 

 

 

 

n

х1 n

х2 n

 

хk n

 

хm n

Здесь хk i – это значение, принятое компонентой вектора Xk в i-ом наблюдении.

Требуется найти оценки для числовых характеристик m − мерной

случайной величины: математических ожиданий

mx ,

mx

, …,

mx

, и

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

m

элементов ковариационной матрицы

 

 

 

 

 

 

 

σ

σ

σ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

12

1m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σ22

σ2m

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σmm

 

 

 

 

 

 

По главной диагонали ковариационной матрицы стоят дисперсии

компонент

Х1 , Х2 , …, Хm :

 

 

 

 

 

 

 

σ11 DХ1 , σ22 DХ 2 , …, σmm DХ m .

Оценки для математических ожиданий найдутся как средние арифметические:

 

 

n

 

 

 

 

Х

k (n) xki / n,

k 1, n .

 

 

i 1

 

 

 

Несмещенные оценки для дисперсий определяются по формулам

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S 2

(n) (x

ki

 

Х

k

(n))2 /(n 1)

,

 

 

 

 

 

k

 

i1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а для ковариаций – по формулам

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σˆkl (xki

Х

k

(n))(xli

Х

l (n)) /(n 1).

 

 

 

i 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

По этим данным определяются также оценки для элементов

корреляционной матрицы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σˆkl

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ρˆ

kl

 

, где S

k

 

S 2 (n),

S

l

 

S 2 (n).

 

 

 

 

Sk Sl

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 3.14. Ниже в таблице приведены результаты опытов, в которых исследовалась зависимость глубины h (мм) проникновения снаряда в преграду от удельной энергии ε (т.е. энергии, приходящейся на 1 см2 площади соударения). Найти все вышеперечисленные оценки, а также построить эмпирические линии регрессии.

Решение. Находим несмещенные оценки:

 

 

13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ε ( εi) /13 164,46;

 

 

 

h

( hi ) /13 21,08;

 

 

 

i 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13

hi

 

 

2

 

 

 

Sε2 εi ε 2

/12 6660,19;

 

 

Sh2

 

 

h

/12 103,84;

σˆ

 

i 1

 

 

ε h h /12 826,62;

 

 

i1

 

 

σˆ h 0,994;

 

 

ε

 

 

 

ρˆ

 

 

h

13

 

i

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S Sh

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ˆ

 

ρˆSε /Sh 7,96;

 

 

 

 

 

 

 

ˆ

 

ρˆSh /Sε

0,124.

 

βεh

 

 

 

 

 

 

 

βhε

 

 

 

 

i

1

2

3

4

5

6

7

 

8

 

9

 

10

 

11

12

13

 

 

 

εi

41 50 81 104 120 139 154 180 208 241 250 269 301

 

 

 

hi

4

8

10

14

16

20

19

23

26

30

 

31

36

37

После подстановки полученных оценок получим следующие эмпирические линии регрессии:

h на ε: h−21,08=0,124(ε−164,46); ε на h: ε−164,46=7,96(h−21,08).

Проверим эти расчеты с помощью программы « Statistica».

Рис. 3.16

Рис. 3.17

Результаты расчетов совпадают, разница только в том, что в расчетах мы использовали несмещенные оценки, что не влияет на конечный результат.

Эмпирические линии регрессии h на ε и ε на h показаны на рис. 3.18, 3.19

h

 

ε

40

 

 

300

 

30

200

20

100

10

0

100

200

300 ε 0

10

20

30

40 h

 

Рис. 3.18.

 

Рис. 3.18

 

 

Результаты расчетов по программе «Statistica» подтверждают правильность проведенных расчетов.

3.12 Задание №2 на самостоятельную работу

3.1 Допустим, что данные о времени обслуживания (мин.), представленные в таблице 3.9, являются независимыми наблюдениями относительно времени обслуживания в системе массового обслуживания с одним устройством. Используя все подхо дящие методы, описанные в разделе 3 , построить гипотезу относительно формы распределения, определить оценки его параметра (параметров) с помощью оценок максимального правдоподобия и определить степень согласия.

Таблица 3.9

0,02

3,37

1,92

3,09

4,21

11,31

2,93

0,86

2,54

3,23

8,52

1,39

5,83

2,28

0,37

2,82

2,57

5,12

5,08

1,58

2,08

4,95

5,02

0,72

2,50

2,66

4,56

1,99

8,22

5,16

3,19

1,15

3,57

3,04

0,89

3,34

0,99

7,15

10,29

1,04

5,79

6,88

2,19

 

3,45

3,43

3,79

2,83

5,08

4,73

3,27

1,36

7,12

1,65

 

1,35

4,33

6,03

4,45

2,07

5,00

2,66

0,51

0,94

1,52

 

0,83

4,04

2,80

3,78

0,84

4,19

2,14

4,46

7,02

3,67

 

4,39

4,85

5,97

7,66

4,85

1,03

7,23

6,36

3,29

5,49

 

4,39

4,75

2,10

6,03

2,39

4,05

3,43

3,14

3,35

0,71

 

7,78

16,44

2,82

3,41

4,06

6,64

3,07

1,95

2,34

3,46

 

2,66

6,71

3,47

1,16

5,03

2,12

7,98

2,13

10,79

3,26

 

3.2 Предположим, что данные о погрешностях в диаметре шарикоподшипников, представленные в табл. 3.10, являются независимыми наблюдениями относительно отклонений от требуемого диаметра шарикоподшипников, изготовляемых на новом высокоскоростном станке. Используя все подходящ ие методы, описанные в разделе 3 , построить гипотезу относительно формы распределения, определить оценки его параметра (параметров) с помощью оценок максимального правдоподобия и степен ь согласия.

Табл. 3.10

2,31

0,56

2,73

1,50

1,00

2,54

1,51

2,24

1,18

1,23

1,74

1,49

0,38

1,33

0,17

0,19

1,55

1,06

1,06

1,59

2,26

0,78

2,10

0,77

0,26

1,55

2,28

0,49

2,04

1,75

1,63

1,06

1,01

0,30

2,29

3,11

1,48

0,01

1,62

1,64

2,21

0,44

1,13

1,63

0,48

1,55

0,99

1,97

0,31

2,40

1,68

1,71

2,44

1,98

1,62

1,71

0,27

0,24

0,59

−0,12

0,59

3,21

1,96

2,20

0,89

0,46

0,19

1,62

1,35

1,15

0,89

2,18

2,72

1,69

2,30

0,48

2,08

0,00

0,94

0,60

0,95

0,60

1,14

2,14

1,78

1,30

4,01

1,70

0,66

0,94

1,17

0,45

0,21

1,21

0,70

−0,67

0,22

0,28

2,05

−1,27

1,20

1,12

−0,51

1,90

1,43

1,28

2,29

1,09

1,50

0,02

1,01

0,26

2,79

2,36

1,10

2,02

1,23

1,26

3,27

1,47

−0,05

−0,54

1,40

0,17

1,03

0,85

1,82

0,06

1,12

0,49

−1,72

1,85

1,70

2,12

0,44

0,24

1,09

1,11

1,00

−0,16

1,08

−1,62

1,50

2,58

1,41

0,78

2,66

1,99

2,69

1,37

1,71

0,77

1,87

0,49

3.3 Пусть имеется нормально распределенная случайная величина Х. Произведено N = 31 независимых наблюдений этой величины, ре - зультаты которых приведены в табл. 3 .11.

Табл.3.11

60

55

53

69

58

47

56

58

59

62

61

67

67

61

58

54

65

60

61

61

59

54

57

56

48

61

43

57

63

65

62

 

Определить 90% -е доверительные интервалы для истинного сред него значения и истинной дисперсии случайной величины Х.

Ответ: 90%-ные доверительные интервалы для среднего значения и дисперсии случайной величины Х составляют

56,85 < mх <60,37,

22,91 < σ2x < 54,22.

3.4 Предположим, что есть основания считать среднее значение mx случайной величины Х равным 10, и пусть известна дисперсия величины

Х, σ2x 4 . Определить, каков должен быть объем выборки для проверки

гипотезы mx = 10 при 5%-м уровне значимости, причем вероят ность допустить ошибку второго рода при определении 10% -го отклонения от гипотетической величины также должна соста вить 5%. Определить при этих условиях область принятия, ко торую следует использовать при проверке гипотезы.

Ответ: искомый объем выборки N=52. Область принятия гипотезы

9,46 < mx < 10,54.

3.5 Проверка гипотезы о нормальности распределения. В табл.2.12 приведены N=200 независимых наблюден ных значений, расположенных в порядке возрастания процесса на выходе генератора теплового шума.

Пример выполнения задания приведен ниже.

Задание 1. Допустим, что данные о времени обслуживания (мин.), представленные в таблице 1, являются независимыми наблюдениями относительно времени обслуживания в системе массового обслуживания с одним устройством. Используя все подходящие методы, описанные в разделе математической статистики (р.3), построить гипотезу относительно формы распределения, определить оценки его параметра (параметров) с помощью оценок максимального правдоподобия и определить степень согласия.

Таблица 1

0,02

3,37

1,92

3,09

4,21

11,31

2,93

0,86

2,54

3,23

8,52

1,39

5,83

2,28

0,37

2,82

2,57

5,12

5,08

1,58

2,08

4,95

5,02

0,72

2,50

2,66

4,56

1,99

8,22

5,16

3,19

1,15

3,57

3,04

0,89

3,34

0,99

7,15

10,29

1,04

5,79

6,88

2,19

 

3,45

3,43

3,79

2,83

5,08

4,73

3,27

1,36

7,12

1,65

 

1,35

4,33

6,03

4,45

2,07

5,00

2,66

0,51

0,94

1,52

 

0,83

4,04

2,80

3,78

0,84

4,19

2,14

4,46

7,02

3,67

 

4,39

4,85

5,97

7,66

4,85

1,03

7,23

6,36

3,29

5,49

 

4,39

4,75

2,10

6,03

2,39

4,05

3,43

3,14

3,35

0,71

 

7,78

16,44

2,82

3,41

4,06

6,64

3,07

1,95

2,34

3,46

 

2,66

6,71

3,47

1,16

5,03

2,12

7,98

2,13

10,79

3,26

 

Проверка гипотезы о независимости признаков:

Analysis - Tables and banners - в окне Specify Table, в поле Analysis: Crosstabulation tables - кнопка Specify Table - отбираем признаки,- в окне Crosstabulation Tables Results (результаты таблиц сопряженности) отмечаем (потребуем определить)

Expected frequencies (ожидаемые или теоретические частоты) и Pearson Chi-Square - Review Summary tables.

Проверка гипотезы о типе распределения. Работаем в модуле Nonparametric Statistics (непараметрическая статистика), Distribution Fitting (подбор распределения). В поле Continuous Distributions: Normal - Variable: d - в поле Plot distribution: Frequency distribution (частоты распределения) - отказываемся от теста Колмогорова - Смирнова - ОК - наблюдаем оценки параметров Mean: 13.42, Variance: 0.018, соглашаемся с параметрами группирования (в частности, c числом групп Number of categories: 19) - ОК.

Наблюдаем таблицу частот, в которой нам нужны столбцы observed frequency (наблюдаемые частоты) и expected frequency (ожидаемые частоты). Сравним графически наблюдаемые и ожидаемые частоты: выделим соответствующие столбцы - Graphs - Custom Graphs - 2D Graphs...- OK.. Наблюдаем некоторое различие.

Аналогично Задание 2

3. Пусть имеется нормально распределенная случайная величина Х. Произведено N = 31 независимых наблюдений этой величины, результаты которых приведены в табл. 3.

Табл.3

60

55

53

69

58

47

56

58

59

62

61

67

67

61

58

54

65

60

61

61

59

54

57

56

48

61

43

57

63

65

62

 

Определить 90% -е доверительные интервалы для истинного среднего значения и истинной дисперсии случайной величины

Х.

Ответ: 90%-ные доверительные интервалы для среднего значения и дисперсии случайной величины Х составляют

56,85 < mх <60,37,

22,91 < σ2x < 54,22

4. Проверка гипотезы о нормальности распреде ления. В табл.4 приведены N=200 независимых наблюден ных значений, расположенных в порядке возрастания процесса на выходе генератора теплового шума.

Табл. 4

7,6 − 4,3 − 3,0 − 2,1 − 1,5 − 0,7 0,0 0,7 1,5 2,3 3,4 4,3 6,3

6,9 − 4,1 − 3,0 − 2,1 − 1,4 − 0,7 0,1 0,8 1,5 2,4 3,5 4,3 6,5

6,6 − 4,0 − 2,9 − 2,0 − 1,4 − 0,6 0,1 0,9 1,6 2,4 3,5 4,4 6,9

6,4 − 3,8 − 2,9 − 2,0 − 1,2 − 0,6 0,2 0,9 1,6 2,5 3,6 4,4 7,1

6,4 − 3,8 − 2,9 − 1,9 − 1,2 − 0,5 0,2 1,0 1,6 2,5 3,6 4,6 7,2

6,1 − 3,8 − 2,7 − 1,9 − 1,2 − 0,5 0,2 1,0 1,7 2,6 3,6 4,8 7,4

6,0 − 3,7 − 2,6 − 1,8 − 1,1 − 0,4 0,2 1,1 1,8 2,6 3,7 4,8 7,9

5,7 − 3,6 − 2,6 − 1,8 − 1,1 − 0,4 0,3 1,1 1,8 2,6 3,7 4,9 9,0

5,6 − 3,5 − 2,5 − 1,8 − 1,0 − 0,4 0,3 1,1 1,8 2,7 3,7 5,0

5,5 − 3,4 − 2,5 − 1,7 − 1,0 − 0,3 0,3 1,1 1,9 2,8 3,7 5,2

5,1 − 3,4 − 2,4 − 1,7 − 1,0 − 0,3 0,4 1,2 1,9 2,8 3,8 5,3

4,8 − 3,4 − 2,3 − 1,6 − 0,9 − 0,2 0,4 1,2 2,0 2,9 3,8 5,4

4,8 − 3,3 − 2,3 − 1,6 − 0,9 − 0,2 0,5 1,3 2,0 3,1 3,9 5,6

4,6 − 3,2 − 2,3 − 1,6 − 0,8 − 0,2 0,5 1,3 2,1 3,2 4,0 5,9

4,4 − 3,2 − 2,2 − 1,6 − 0,8 − 0,1 0,6 1,3 2,3 3,2 4,2 6,1

− 4,4 − 3,1 − 2,2 − 1,5 − 0,7 0,0 0,6 1,4 2,3 3,3 4,2 6,3

Проверить гипотезу о нормальности процесса на выходе генератора теплового шума, применяя критерий согласия χ2 при уровне значимости α = 0,05. Использовать равновероятный подход к определению значения критерия χ2 , положив k = 16

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]