Пособие по контрольным. Линейная алгебра

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Красноярск 2015

Составитель Т. И. Качаева, канд. физ.-мат. наук, кафедра высшей математики 1, ИМиФИ.

Предназначено для студентов – заочников экономического факультета.

@ Сибирский Федеральный Университет, 2015

2

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

1.Контрольная работа должна выполняться самостоятельно.

2.При решении задач нужно обосновывать каждый этап решения, исходя из теоретических положений курса.

3.Решение задачи должны доводиться до ответа.

4.Полученный ответ следует проверить способами, вытекающими из существа данной задачи.

5.Не следует применять формулы, которые не входят в программу курса.

6.Работа выполняется в отдельной тетради.

7.Условия задач должны быть переписаны полностью.

8.На обложке должны быть аккуратно записаны:

1)Фамилия, имя, отчество.

2)Курс, номер группы.

3)Номер варианта

4)Номер зачетной книжки.

9.Контрольная работа должна быть выполнена в срок (за 2 недели до сессии). В период сессии работы на проверку не принимаются.

10.Работа, выполненная не по своему варианту, не учитывается и назад не возвращается.

11.Студенты, не имеющие контрольной работы, к экзамену не допускаются.

3

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

ПРИМЕР 1. Выполнить действия в алгебраической форме. Результат записать в алгебраической, тригонометрической и показательной формах .

РЕШЕНИЕ: Алгебраическая форма комплексного числа z: z = x + iy , x, y R , i − мнимая единица, причем i2 = -1. Выполним действия:

z = 3 + 3i – результат в алгебраической форме. Тригонометрическая форма комплексного числа z:

z = r(cosϕ + sin ϕ) , где r = x2 + y2 , j = arctg xy .

Т.к. x = 3 > 0 и y = 3 > 0 , то число находится в 1-oй четверти.

Показательная форма комплексного числа: z = reij , поэтому 3 + 3i = 3 2ei×p4 .

ПРИМЕР 2. Вычислить по формуле Муавра:

4

ПРИМЕР 3. Разложить многочлен на неприводимые множители в R и линейные множители в С, используя схему Горнера. Сделать проверку.

Р( х) = х4 + х3 - 3х2 + 3х -18.

РЕШЕНИЕ: Из основной теоремы алгебры следует, что многочлен четвертой степени имеет ровно четыре корня .Так как у многочлена с действительными коэффициентами корни являются делителями свободного члена, то делителями а0 = −18 являются числа: ±1,±2,±3,±6,±18 .

По схеме Горнера выясним, какие из них являются корнями многочлена

6

x2 = − 3 − корень.

Итак: х4 + х3 − 3х2 + 3х − 18= ( х − 2) ( х + 3) ( х2 + 3) − разложение в R.

х2 + 3 = 0, х3,4 = ±3i , отсюда

х4 + х3 − 3х2 + 3х −18 = ( х − 2) ( х + 3) ( х − 3i)( х + 3i) − разложение в С.

Проверка:

(х − 2) ( х + 3) ( х − 3i)( х + 3i) = ( х2 + х − 6)( х2 + 3) =

=х4 + 3х2 + х3 + 3х − 6х2 −18 = х4 + х3 − 3х2 + 3х −18.

ПРИМЕР 4. Используя свойства определителей, вычислить определитель:

РЕШЕНИЕ: Для вычисления определителя надо в одной из строк (столбцов) получить нули на месте всех элементов, кроме одного. Будем использовать следующие свойства определителей:

1)перестановка строк и столбцов меняет знак определителя;

2)если умножить строку (столбец) на число и сложить с другой строкой (столбцом), то определитель не изменится;

3)из строки (столбца) можно вынести общий множитель k;

4)определитель равен сумме произведений элементов строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

столбце и раскроем определитель по 5 столбцу.

7

Складываем 3-ю строку со 2-ой строкой умноженной на ( -1) , записываем 3- ей строкой.

Складываем 4-ую строку с 1-ой, записываем 4-ой строкой.

5-ую строку складываем со 2-ой, умноженной на 4, записываем 5-ой строкой.

1-ую строку складываем со 2-ой умноженной на ( -5) и записываем 1-ой

второй строке.

Складываем 4-ый столбец с 1-ым, записываем 1-ым столбцом. Складываем 4-ый столбец со 2-ым, записываем 2-ым столбцом. Складываем 3-ий столбец с 4-ым, умноженным на ( -1) , записываем 3-им

Складываем 1-ый столбец со 2-ым, умноженным на ( -1) , записываем 1-ым

Ответ: = −20 .

ПРИМЕР 5. Доказать совместность системы

8

ì 2х1 + 7х2 +13х3 = 0 ïí3х1 +14х2 +12х3 =18 и решить:

ïî5х1 + 25х2 +16х3 = 39 а) методом Гаусса, б) методом Крамера,

в) методом обратной матрицы.

РЕШЕНИЕ: По теореме Кронекера – Капелли система совместна тогда и

только тогда, когда r ( A) = r ( A) .

А) Выпишем расширенную матрицу и преобразуем ее по методу Гаусса:

Произведем преобразования:

Умножим 1-ую строку на 3, а 2-ую строку на ( -2) сложим их и запишем 2-ой строкой.

Умножим 1-ую и 2-ую строки на ( -1) и сложим все три строки вместе, запишем 3-ей строкой.

После преобразований получается:

Умножим 2-ую строку на 4, а 3-ю на 7, сложим и запишем 3-ей строкой. В итоге получаем cледующую матрицу:

9

Итак, система совместна, так как r(A) = r ( A) и имеет единственное

решение, так как r = n = 3 (n − число неизвестных). Найдем решение:

Из последнего уравнения: −3х3 = 3 Þ х3 = −1.

Из второго уравнения: −7х2 +15х3 = −36 Þ 7х2 = −15 + 36 = −21, х2 = 3 . Из первого уравнения: 2х1 + 7х2 +13х3 = 0 2х1 + 21−13 = 0 , 2х1 = −8 ,

х1 = −4 .

Ответ: х1 = −4 , х2 = 3 , х3 = −1.

Б) Метод Крамера:

10