A10-262
.pdf
7. Определяем элементарную работу всех сил, действующих на механическую систему.
Вспомним, что элементарная работа силы или пары сил определяется формулами:
dA FdS cos F dS , dA = MZ d ,
где F – сила, МZ – момент силы относительно оси Z,
dS – элементарное перемещение точки приложения силы,
d - элементарный угол поворота тела, к которому приложен момент.
Выберем и покажем на чертеже элементарные перемещения, точек и тел (см. рис.2):
dSA - элементарное перемещение точки А, dSC - элементарное перемещение точки С,
d 2 – элементарный угол поворота блока 2 вокруг оси Z2, проходящий через центр масс – точку В.
d 3 - элементарный угол поворота катка 3 вокруг оси Z3, проходящий через центр масс – точку С.
Тогда элементарная работа внешних сил, приложенных к системе: dAG1 G1 sin dSA ,
dAFтр1 Fтр1 dSD f1 N1 dS D f1 G1 cos dSA ; dAN1 0, т.к. N1 dSA ;
dA |
|
|
|
|
|
|
dA |
|
BX |
dA |
|
BY 0 , т.к. точка В неподвижна; |
||||||
G1 |
R |
R |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 0 , т.к. |
|
|
|
|
|
|
||||||
dA |
|
|
|
|
N |
3 dS |
C ; |
|
||||||||||
N |
|
|||||||||||||||||
dA |
|
|
3 |
G3 dSC cos 90 G3 |
sin dSC , |
|||||||||||||
G |
||||||||||||||||||
dA |
|
тр3 |
0 , т.к. |
|
|
|
|
dS p 0 |
(Р – МЦС), |
|||||||||
F |
|
|
|
|
||||||||||||||
dAМтр М тр |
d 3 G3 cos k3 d 3 |
|||||||||||||||||
Здесь Mтр - момент пары сил трения качения,
М тр N3 k3 G3 cos k3
11
Сложив все элементарные работы, получим
dAke G1 sin dSA f1 G1 cos dSAG3 sin dSC G3 cos k3 d 3
Выразим dSС и d 3 через dSA,учитывая, что зависимости для перемещений такие же как и для скоростей, т.е.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dS |
|
|
|
1 |
|
R2 |
dS |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
2 |
r2 |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d 3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
R2 |
|
|
|
dS A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
R3 r2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
R2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
k 3 |
|
R2 |
|
|
|
||||||
|
d |
G sin |
f |
1G1 |
cos |
|
G3 |
sin |
|
|
|
G3 |
cos |
|
|
|
dS |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Ak |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
r2 |
|
|
|
2 |
|
|
R3 |
|
r2 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k3 |
|
|
|
R2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dSA FПР dSA , |
|
|
|||||||||||||||||
G1 sin f 1 cos G3 sin cos |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R3 |
|
2r2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k3 |
|
|
R2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
где |
F |
|
G1 |
|
f |
|
|
cos |
G3 |
sin |
cos |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ПР |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 r2 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R3 |
|
|
|
|||||||||
|
|
Сумма элементарных работ внутренних сил dAki = 0, так как |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
внутренними силами являются попарно равные и противоположно |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
направленные силы натяжения нитей, и, кроме того, вследствие |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
нерастяжимости |
нитей, точки |
приложения |
|
|
этих |
сил |
имеют |
|
одинаковые |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
элементарные перемещения:
dSA dSL , dS N dSH
12
8. Определяем производную от кинетической энергии по времени.
dT |
|
d 1 |
|
2 |
1 |
|
|
|
dVA |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
M |
ПРV A 2 |
|
M |
ПРVA |
|
|
M |
ПРVA |
aA |
dt |
|
2 |
2 |
dt |
||||||||||
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
d V A |
a |
|
, т.к. точка движется прямолинейно, и a |
n |
0 |
||||||
|
dt |
A |
A |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. Разделим выражение dAke на dt , получим |
|
|
||||||||||
|
dAe |
|
|
|
dS |
A |
F |
|
|
|
|
|
|
|
K |
F |
|
V |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
dt |
|
|
|
ПР |
dt |
ПР |
|
A |
|
|
|
10. Подставим полученные выражения в формулу теоремы об изменении кинетической энергии.
M ПР VA aA FПР VA
Отсюда определим ускорение точки А
aA FПР
М ПР
Подставив полные выражения для FПР и MПР окончательно получим
|
|
sin |
|
|
cos |
|
|
|
|
k3 |
|
|
R2 |
|
|
||
|
G1 |
f |
|
|
sin cos |
|
|
|
|||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
G3 |
|
|
|
|
|
2 r2 |
|
|
|||||
a A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R3 |
|
|
g |
|||
|
|
|
|
G1 |
G |
|
R2 |
G |
R22 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
2 |
r22 |
3 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r22 |
|
|
|
|
||||
13
11. Производим числовой расчет.
Определяем ускорение груза 1 – aA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
400 sin 60 0,12 cos 60 |
|
|
|
|
|
|
0,0025 |
|
|
0,20 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
250 sin 30 |
|
|
|
cos 30 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
2 0,15 |
|
||||||||||||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,25 |
|
|
|
9,81 |
||||
A |
|
|
|
|
0,182 |
|
3 |
|
|
|
0,202 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
400 100 |
|
250 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
0,152 |
8 |
0,152 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
400 0,867 0,06 250 0,5 0,009 0,667 |
9,81 |
344 85 |
|
9,81 |
|||||||||||||||||
|
|
400 144 166 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
400 1001,44 |
|
250 |
1,77 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
259 |
9,81 0,365 9,81 3,58м / c2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
710 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
12. Проводим анализ полученных результатов.
Так как все параметры ,входящие в выражение ускорения являются постоянными ,то и ускорение груза I является величиной постоянной
аA = const . Поэтому для определения закона движения груза необходимо дважды проинтегрировать величину аA по времени.
После первого интегрирования получим скорость груза
VA aAdt aAt C1
Закон движения получим интегрированием скорости
SA VAdt aAtdt C1dt aA |
t 2 |
C1t C2 |
|
||
2 |
|
|
Если в начальный момент система находилась в покое , то это означает,
что для t = 0;
SA 0 0,VA 0 0.
Определив произвольные постоянные, используя начальные условия,
получим C1 = C2 =0 и уравнение движения груза I будет SA aAt 2 , а
2
скорость груза VA aAt , т.е. груз совершает равноускоренное движение по
закону SA aAt 2 .
2
14
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
1.Как вычисляется кинетическая энергия твердого тела в различных случаях его движения?
2.Как выразить элементарную работу силы, приложенной к некоторой точке, через приращение дуговой координаты этой точки?
3.Каково векторное выражение элементарной работы силы?
4.Каково выражение элементарной работы силы через проекции силы на оси координат?
5.Как вычисляется работа сил тяжести и силы упругости?
6.Как вычисляется работа сил сопротивления качению?
7.Сформулируйте теорему об изменении кинетической энергии механической системы.
8.Какая форма выражения теоремы об изменении кинетической энергии применяется при определении скорости и какая форма – при определении ускорения?
15