Физпрактикум (labs) / Маглаб 4

Работа № 4

Изучение статистических закономерностей на математических моделях.

§ 1. Введение

В природе, в технике часто встречаются случайные явления. Предсказать отдельные случайные явления нельзя, так как на них сказывается влияние очень большого числа не поддающихся контролю факторов. Например, при стрельбе в цель, при измерении физических величин, в движении молекул и т.п. В той или иной степени наблюдаются элементы случайности. Однако, даже если можно было бы учесть все определяющие данное явление факторы, то одно явление ещё не характеризует общей картины случайных явлений. Например, одно наугад выбранное попадание в мишень почти ничего не говорит о меткости стрелка, в то время как большое число произведенных выстрелов дает понятие о точности стрельбы в цель. Случайные явления наиболее полно описываются при помощи математического аппарата теории вероятностей.

Большая совокупность случайных явлений или величин подчиняется так называемым статистическим законам. Статистические законы дают возможность определять вероятность, с которой осуществляется то или иное событие в серии случайных и однотипных событий, средние величины в серии измеряемых величин, наиболее вероятные отклонения от среднего и т.п. Все эти характеристики определяются законом распределения случайных величин – зависимостью вероятности появления данной величины от значения самой величины.

Наиболее распространённым в природе законом распределения случайных величин является так называемый закон нормального распределения (закон Гаусса). Это распределение имеет место в том случае, если случайная величина зависит от большого числа факторов, которые могут вносить с равной вероятностью положительные и отрицательные отклонения. Примером такого распределения может служить распределение случайных ошибок при измерении любой физической величины. Действительно, на величину полученного результата измерения влияют такие факторы, как нестабильность физических условий (например, температуры), при которых проводились измерения, случайные колебания прибора, различные положения глаза при отсчете показаний прибора, индивидуальные свойства глаза наблюдателя и т.п. Ошибку каждого измерения можно разбить на более мелкие элементарные ошибки, вызванные различными причинами, предположив, что они имеют одинаковую величину и равновероятные знаки. Однако следует помнить, что ошибки не могут быть сколь угодно малыми. Скажем, при измерении длины ограничением всегда являются атомные размеры (10^-8 см), при измерении электрического заряда – величина заряда электрона (4.8 ·10^-10 СГСЕ) и т.д.

И зобразим результаты некоторых измерений графически (рис.1).Отложим по оси абсцисс отклонение результата измерений от среднего значения, а по оси ординат – число серий, в которых этот результат получился.

При большом числе серий кривая будет иметь вид, близкий к изображенному на рис.1. Вид кривой существенно зависит от качества измерений. Если случайные ошибки велики («плохие» измерения), кривая ведет себя как сплошная, а при малых случайных ошибках («хорошие» измерения) – как штриховая линия. Сплошная и штриховая кривые на рис.1 имеют под собой одинаковые площади, что соответствует одинаковому общему числу серий измерений.. Кривые, изображенные на рис.1, носят название кривых Гаусса. Кривые описываются следующей функцией:

(1),

где ² – дисперсия измерений (см. ниже), х – отклонение измеряемой величины от её истинного значения.

Соответствующее функции Гаусса распределение называется гауссовым, или нормальным распределением. Плотность такого распределения:

а) симметрична относительно нулевого значения;

б) достигает максимального значения при нулевом отклонении от истинного значения;

в) быстро стремится к нулю, когда x становится большим по сравнению с .

По своим свойствам такая функция вполне подходит, если речь идёт о распределении результатов измерений при наличии только случайных ошибок. Множитель:

(2)

взят для того, чтобы функция f(x) удовлетворяла условию:

(3)

Это действительно так, поскольку:

(4)

Выясним смысл величины . Для этого введём среднеквадратичное отклонение:

(5)

можно показать, что:

(6)

Таким образом, дисперсия имеет смысл среднеквадратичного (или стандартного) отклонения. Причем 68% всех серий измерений, показанных на рис.1, отличаются от истинного не более, чем на +. В пределах от –2 до +2 находится 95% серий измерений, а в пределах от –3 до +3 – 99.7%.

Сказанное выше можно сформулировать иными словами, а именно: говорят, что результат измерений с вероятностью 68% лежит в пределах +, с вероятностью 95% - в пределах +2 и с вероятностью 99.7% - в пределах +3.

В качестве наилучшего приближения к истинному значению разумно выбрать среднее арифметическое от n измерений.

§ 2. Методика измерений

В работе определяется некоторый заданный параметр, назовём его R, у совокупности однородных объектов. Проводятся 4 серии измерений, по 100 измерений в каждой. Обработка результатов производится следующим образом:

1. Вычислить среднее арифметическое всех измерений .

2. Вычислить среднеквадратичное отклонение по формуле

3. Найти минимальное и максимальное значение R. Разделить разность этих значений на 25-30 одинаковых интервалов

4. Для первой серии измерений построить гистограмму – по горизонтальной оси отложить номер интервала, по вертикали, на середине каждого интервала, выставить вертикально через равные промежутки, например, в 5 мм, столько точек, сколько измеренных значений из первой серии попадают в данный интервал. Соединить вершины получившихся столбиков из точек ломаной линией.

5. Продолжить гистограмму результатами второй серии и также соединить вершины итоговых столбиков

6. Проделать то же для 3 и 4 серий.

Построить, используя значения и , Кривую распределения Гаусса.

При построении кривой выбрать такой масштаб, чтобы максимум кривой соответствовал высоте самого большого столбика итоговой гистограммы.

4