2.3 Многомерный случай

В небольших размерностях можно так же применять квадратурные формулы, основанные на многочленах Лагранжа. Однако в больших размерностях эти методы становятся неприемлемыми из-за быстрого возрастания числа точек сетки и/или сложной границы области. В этом случае применяется метод Монте-Карло. Генерируются случайные точки в нашей области и усредняются значения функции в них. Так же можно использовать смешанный подход – разбить область на несколько частей, в каждой из которых (или только в тех, где интеграл посчитать не удаётся из-за сложной границы) применитьметод Монте-Карло.

3 Применение метода монте-карло для вычисления кратных интегралов (на примере двукратных интегралов)

3.1 Постановка задачи

Вычислить двукратный интеграл методом Монте-Карло

3.2 Программная реализация метода

3.2.1 Математическое описание метода

Метод Монте-Карло состоит в том, что рассматривается некоторая случайная величина ξ, математическое ожидание которой равно искомой величине z, т.е.

Осуществляется серия n независимых испытаний, в результате которых получается (генерируется) последовательность n случайных величин :,, …,и по совокупности этих значений приближенно определяется искомая величина, т.е.

.

Интеграл же может быть вычислен как математическое ожидание некоторой случайной величины ξ, которая определяется независимыми реализациями η_i случайной величины η с равномерным законом распределения. Двукратные интегралы вычисляются следующим образом:

, (1)

где ,– независимые реализации равномерно распределенных навеличин.

Для использования метода Монте-Карло при вычислении определенных интегралов, как и в других его приложениях, необходимо вырабатывать последовательности случайных чисел с заданным законом распределения.

Существуют различные способы генерирования таких чисел. В настоящее время наиболее распространенный способ выработки случайных чисел на ЭВМ состоит в том, что в памяти хранится некоторый алгоритм выработки таких чисел по мере потребности в них.

Поскольку эти числа генерируются по наперед заданному алгоритму, то они не совсем случайны (псевдослучайны), хотя и обладают свойственными случайным числам статистическими характеристиками. То есть случайные величины, равномерно распределенные на отрезке , в ЭВМ задаются с помощью специальных программ – генераторов псевдослучайных чисел.

3.2.2 Алгоритм метода в программе

1. Ввод количества испытаний n.

2. Запустить генератор случайных чисел.

3. Определение общих пределов интегрирования.

4. Случайным образом (с учетом общих пределов интегрирования) генерировать значения x и y.

5. Если значения x и y лежат в текущих пределах интегрирования, то к значению интеграла прибавить значение функции при этих значениях.

6. Пункты 4 и 5 повторить n раз.

7. Окончательно полученную сумму (из формулы 1) перемножить на оставшиеся части формулы (1) для получения значения интеграла.

3.2.3 Описание основных значений в программе

n	Количество испытаний
DInt	Основная подпрограмма
F	Функция для вычисления значений точек подынтегральной функции
x, y	Аргументы функции
S	Текущее значение суммы (интеграла)
Ax, Ay, Bx, By	Пределы интегрирования
i	Счетчик

В программе MonteKarlo используются стандартные модули WinCrt, Strings.

В программе MonteKarlo описан метод Монте-Карло, который осуществляется с помощью функций: function F(x,y: real): real; – расчет значения функции и function DInt(A: real; n: longint): real; – вычисление двойного интеграла.