Министерство образования и науки Украины

Сумской Государственный Университет

Кафедра информатики

Курсовая работа

по численным методам

на тему

«Вычисление кратных интегралов методом Монте-Карло»

Сумы 2007

Содержание

1 История рождения метода Монте-Карло

1.1 Алгоритм Буффона для определения числа Пи

1.2 Связь случайных процессов и дифференциальных уравнений

1.3 Рождение метода Монте-Карло в Лос-Аламосе

1.4 Дальнейшее развитие и современность

2 Использование метода Монте-Карло в численном интегрировании

2.1 Численное интегрирование

2.2 Одномерный случай

2.3 Многомерный случай

3 Применение метода Монте-Карло для вычисления кратных интегралов (на примере двукратных интегралов)

3.1 Постановка задачи

3.2 Программная реализация метода

3.2.1 Математическое описание метода

3.2.2 Алгоритм метода в программе

3.2.3 Описание основных значений в программе

3.2.4 Инструкция по работе с программой

3.2.5 Результат программы

3.2.6 Реализация метода в пакете Mathcad

Вывод

Литература

Приложение А (код программы)

1 История рождения метода монте-карло

Метод Монте-Карло (методы Монте-Карло) – общее название группы численных методов, основанных на получении большого числа реализаций случайного (стохастического) процесса, который формируется таким образом, чтобы еговероятностныехарактеристики совпадали с аналогичными величинами решаемой задачи. Используется для решения задач в областяхфизики,математики,экономики,оптимизации,теории управленияи др.

1.1 Алгоритм Буффона для определения числа Пи

Случайные величиныиспользовались для решения различных прикладных задач достаточно давно. Примером может служить способ определениячисла Пи, который был предложенБуффономеще в 1777 году. Суть метода была в бросании иглы длинойN на плоскость, расчерченную параллельными прямыми, расположенными на расстоянии d друг от друга (см. Рис. 1).

Рисунок 1 – Метод Буффона

Вероятность того, что отрезок пересечет прямую связана с числом Пи:

,

где A – расстояние от начала иглы до ближайшей к ней прямой;

θ – угол иглы относительно прямых.

Этот интеграл просто взять:

(при условии, что d > L), поэтому подсчитав долю отрезков, пересекающих прямые, можно приближенно определить это число. При увеличении количества попыток точность получаемого результата будет увеличиваться.

В 1864 году капитан Фокс, выздоравливая после ранения, чтобы как-то занять себя, реализовал эксперимент по бросанию иглы. Результаты представлены в следующей таблице:

	Число бросаний	Число пересечений	Длина иглы	Расстояние между прямыми	Вращение плоскости	Значение Пи
Первая попытка	500	236	3	4	отсутствует	3.1780
Вторая попытка	530	253	3	4	присутствует	3.1423
Третья попытка	590	939	5	2	присутствует	3.1416

Комментарии:

• Вращение плоскости применялось (и как показывают результаты – успешно) для того, чтобы уменьшить систематическую ошибку.

• В третьей попытке длина иглы была больше расстояния между линиями, что позволило не увеличивая числа бросаний эффективно увеличить число событий и повысить точность.