МАТРИЧНЫЕ ИГРЫ

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Игра – упрощенная модель конфликта, имеющая четкие правила: варианты действий игроков, объем информации о действиях противника, выигрыш (исход конфликта), к которому приводит совокупность действий игроков.

Игроки – стороны, участвующие в игре: 2 игрока – парная игра, более 2 – множественная игра (рассматриваются парные игры).

Игра с нулевой суммой (антагонистическая игра) – выигрыш одного из игроков равен проигрышу другого.

Стратегия игрока – совокупность правил, определяющих действия игрока при каждом личном ходе в зависимости от сложившейся ситуации.

Решение антагонистической игры – выбор стратегий, удовлетворяющих условию оптимальности (игрок А должен получать максимальный выигрыш,когда игрок В придерживается своей стратегии, а игрок В должен получать минимальный проигрыш, когда игрок А придерживается своей стратегии).

Устойчивость оптимальных стратегий – ни одному из игроков не выгодно отклоняться от своей оптимальной стратегии.

Игра с полной информацией – перед каждым ходом каждый игрок знает все предшествующие ходы и выигрыши.

Кооперативная игра – допускается возможность предварительных переговоров между игроками (рассматриваются некооперативные игры).

МАТРИЦА ИГРЫ (платежная матрица)

Пусть у игрока есть возможных ходов (стратегий) , а у игрокаестьвозможных ходов (стратегий). Если игроксделает ход, а игроксделает ход, то эти ходы однозначно определяют исходы игрыдля игрокаидля игрока. Эти числа записывают в виде платежных матриц

(Стратегии игрока указаны по строкам, стратегии игрока– по столбцам )

Биматричная игра – у каждого из игроков своя платежная матрица.

Матричная игра – интересы игроков противоположны (выигрыш игрока является и проигрышем игрока), т.е..

В этом случае можно ограничиться одной матрицей – матрицей игрока .

СЕДЛОВАЯ ТОЧКА МАТРИЦЫ ИГРЫ

Нижняя цена игры(гарантированный выигрыш игрока А при любой стратегии игрока В).

Верхняя цена игры(гарантированный проигрыш игрока В при любой стратегии игрока А).

Очевидно, что .

Если, то говорят оцене игры .

Соответствующие цене игры стратегии –

оптимальные чистые стратегии, а сама игра –

игра с седловой точкой.

Если седловой точки не существует.

СМЕШАННЫЕ СТРАТЕГИИ –

применение своих чистых стратегий с частотами,

задаваемыми векторами и

соответственно. Средний выигрыш игрока :.

Оптимальные смешанные стратегии и, если(отклонение любого из игроков от своей оптимальной смешанной стратегии риводит в уменьшению его среднего выигрыша).

ТЕОРЕМА (Дж.ф. Нейман): Каждая конечная матричная игра имеет, по крайней мере, одно оптимальное решение, возможно, среди смешанных стратегий.

ПРИМЕРЫ

1. Пример игры

Игроки А и В одновременно и независимо друг от друга записывают натуральные числа.Если их сумма четна, то единицу выигрывает игрок А (игрок В проигрывает единицу), если нечетна, то столько же выигрывает игрок В (игрок А единицу проигрывает). Матрица игры имеет вид:

­­– первая стратегия игрока (он записывает четное число)

­­– вторая стратегия игрока (он записывает нечетное число)

­­– первая стратегия игрока (он записывает четное число)

­­– вторая стратегия игрока (он записывает нечетное число)

2. Седловая точка платежной матрицы.

Нижняя цена игры

Верхняя цена игры

Цена игры

–оптимальная чистая стратегия игрока

–оптимальная чистая стратегия игрока

3. Смешанные стратегии

Для игры из 1.

–оптимальная смешанная стратегия игрока

–оптимальная смешанная стратегия игрока

ДУБЛИРОВАНИЕ И ДОМИНИРОВАНИЕ СТРАТЕГИЙ

Дублирование стратегий – из одинаковых строк (столбцов) оставляем одну (один).

Доминирование стратегий – если одна строка поэлементно больше либо равна другой, удаляем меньшую. Это же правило (со знаком ) применяем к столбцам.(Если игра имеет седловую точку, то после всех описанных преобразований получим игру).

СВЕДЕНИЕ МАТРИЧНОЙ ИГРЫ К ЗАДАЧЕ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Р

Припишем строкам вероятности . Умножая этот вектор на столбцы матрицы, получаем выражения для среднего проигрыша игрока, который не превосходит цены игры:

Вводя новые переменные сумма которых равна, и учитывая, что игрокстремится понизить цену игры (минимизировать свой проигрыш), получаем (после деления каждого неравенства на)задачу линейного программирования (ЗЛП-I):

Аналогично,приписывая столбцам матрицы вероятности , получим(ЗЛП-II), двойственную к (ЗЛП-I):

Любую из этих задач можно решить одним из алгоритмов симплекс-метода, а затем, на основание теории двойственности, найти решение другой задачи.

В

ПРИМЕРЫ

4

У

П

5. Графический способ решения игр и

Игра : Приписав 1-й строке вероятность p, а 2-й – вероятность (1- p), получим n линейных сооношений, по графикам которых выберем их нижнюю огибающую. Максимум этой огибающей даст нам точку, координатами которой являются: значения вероятности p и цены игры v. Пусть эта точка является пересечением i-й и j-й прямых. Приписываем i-му столбцу вероятность q, а j-му столбцу – вероятность (1- q). Из получившейся системы уравнений находим q и (1- q).Найдем решение матричной игры:

Решая уравнения (1) и(3) получаем p =2/5, (1- p) =3/5 и v = w(2/5)= –2/5.

Оптимальная стратегия игрока А: .Цена игры (выигрыш) – v = –2/5.

Первому столбцу припишем ненулевую вероятность q, а третьему – (1- q). Второму столбцу будет соответствовать нулевая вероятность. Решая систему

находим q = 4/5 и (1- q) = 1/5. Оптимальная стратегия игрока В: .

И

гра

:

q

Ненулевые вероятности p и (1-p)

припишем 1-й и 2-й строке. Решая

полученную систему, находим

p =5/8, (1- q) =3/8

Оптимальные стратегии:

Игрок А –

Игрок В – Цена игры – 7/4