- •Сыктывкарский государственный университет
- •1. Контрольные задания 4
- •Задание 1. Задача о выпуске продукции при ограниченных ресурсах.
- •Задание 2. Классическая транспортная задача.
- •2. Методические указания по выполнению контрольных заданий Задача о выпуске продукции при ограниченных ресурсах.
- •Классическая транспортная задача.
- •Задача об аренде оборудования.
- •3. Пример решения классической транспортной задачи.
- •Исходные данные (запасы, потребности и цены)
- •Начальный план
- •Значения оценок
- •План грузоперевозок
- •Новый план грузоперевозок
- •2 Этап.
- •Значения оценок
- •План грузоперевозок
- •Новый план грузоперевозок
- •3 Этап.
- •Значения оценок
- •План грузоперевозок
- •Новый план грузоперевозок
- •4 Этап.
- •Значения оценок
- •План грузоперевозок
- •Новый план грузоперевозок
- •5 Этап.
- •Значения оценок
- •Оптимальный план грузоперевозок
- •4. Задача об аренде оборудования Планы аренды. Постановка задачи.
- •Сетевая модель задачи и ее решение.
- •Табличный метод решения задачи.
- •Рекомендуемый библиографический список
- •Приложение. Бесконтурные сети
- •Неправильная нумерация Правильная нумерация(1 и 2, 4 и 5 можно поменять местами) Рис. 2.
Сетевая модель задачи и ее решение.
Изобразим моменты i=1,2,..,N+1 в виде вершин графа, а пары (i,j) в виде ориентированных дуг этого графа (основные понятиятеории графови терминология приведены в Приложении). Проставим на дугах (i,j) соответствующие стоимости арендыCijи будем считать их длинами этих дуг. Тогда произвольный планможно представить как путь из вершины1в вершинуN+1, а стоимость плана – длиной этого пути. Наоборот, каждый путь указанного вида является планом аренды. Оптимальным планом аренды будет кратчайший путь из1вN+1. Таким образом, задача об аренде оборудования является частным случаем известной задачи о нахождении кратчайшего пути (маршрута) [1,2,4].
Полученный граф (сеть) с заданными числами-стоимостями на дугах называется сетевой модельюзадачи об аренде оборудования, а нахождение оптимального плана (оптимальных планов) аренды как кратчайшего пути на этой сети – решением на сетевой модели.
Найдём путь методом потенциалов[2-3, 6] для бесконтурных сетей.
На 1-м этапе находим потенциалы— числаVi для каждой вершиныi, означающие кратчайшие расстояния от вершиныiдо конечной вершиныN+1. Потенциалы найдем, начиная с последней и далее по убыванию номеров вершин по формуле
; ,
минимум берётся по всем дугам (i,j),выходящимизвершиныi .
На втором этапе, начиная с вершины i=1, находятся и выделяются дуги (i,j), на которых потенциал начала дугив точности равен сумме потенциала конца дугии стоимости дугиCij. Выделенные таким образом дуги дают кратчайший путь (пути), то есть оптимальные планы аренды. Потенциалначальной вершины будет равен длине кратчайшего пути, то есть стоимости оптимального плана аренды.
Пример 2. . Пусть при N=6 стоимости аренды Cij заданы в таблице:
j i |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
1 |
49 |
99 |
145 |
197 |
244 |
296 |
2 |
– |
50 |
96 |
146 |
198 |
247 |
3 |
– |
– |
48 |
95 |
147 |
189 |
4 |
– |
– |
– |
49 |
98 |
148 |
5 |
– |
– |
– |
– |
51 |
101 |
6 |
– |
– |
– |
– |
– |
53 |
Составим сетевую модель:
Определим потенциал каждого месяца:
V7 = 0 V6 = C6,7+V7 = 53
V5 = min (C5,6+V6;C5,7 +V7) = min (51+53;101) = C5,7+V7 = 101
V4 = min (C4,5+V5;C4,6+V6;C4,7+V7) = min (49+101;98+53;148) = C4,7+V7 = 148
V3 = min (C3,4+V4;C3,5+V5;C3,6+V6;C3,7+V7) = min (48+148;95+101;147+53;189) = C3,7 +V7= 189
V2 = min (C2,3+V3;C2,4+V4;C2,5+V5;C2,6+V6;C2,7+V7) = min (50+189; 96+148; 146+101; 198+53; 247) = C2,3 + V3 = 239
V1 = min (C1,2+V2;C1,3+V3;C1,4+V4;C1,5+V5;C1,6+V6;C1,7+V7) = min (49+239; 99+189; 145+148; 197+101; 244+53; 296) = C1,2 + V2 или С1,3 + V3 = 288.
Получаем сеть следующего вида:
Найдем оптимальный план аренды оборудования.
Начиная с первого месяца, будем выделять пунктиром графы, которые позволяют получить наименьший потенциал в данном месяце. Получаем окончательную сеть следующего вида:
Анализируя полученную модель, можно сделать вывод, что существует два оптимальных плана аренды: a) (1, 2, 3, 7) = 1мес + 1 мес + 4 мес и b) (1, 3, 7) = 2 мес + 4 мессо стоимостью Cmin = V1 =288.