Метрология, учебное пособие

41

может быть кратковременное изменение условий эксперимента, неправильный отсчет по шкале прибора, неправильная запись результата наблюдений и т. п. Для обнаружения наблюдений, содержащих грубые погрешности, пользуются специальными критериями, позволяющими решить, рассматривать ли данное наблюдение содержащим грубую погрешность и, следовательно, отбросить его или считать его содержащим большую случайную погрешность. Наиболее простым, хотя и недостаточно теоретически обоснованным, является критерий

3σ .

Этот критерий основан на том, что в группе с небольшим числом наблюдений появление результата с отклонением, превышающим маловероятно. Поэтому считают, что если X i − X > 3S Xi , то результат

наблюдения содержит грубую погрешность и его следует отбросить.

Другим, достаточно простым критерием, применяемым при небольшом числе наблюдений, является критерий Шовене. В этом случае также отбрасываются наблюдения с отклонением, превышающим 3S Xi в

установленное число раз, но оно будет различным для разного числа наблюдений. Значения критерия Шовене приведены в табл. 4.2.

Таблица 4.2.

Значения критерия Шовене

5. Оценивают СКО результата измерений.

Как отмечалось выше результат измерения X , вычисленный по ограниченному числу наблюдений, содержит случайную погрешность, поэтому его значение может меняться при выполнении нескольких групп наблюдений.

42

Характеристикой рассеивания результата измерения от его математического ожидания служит оценка СКО результата измерения SХ , определяемая по формуле

Оценки СКО результатов измерения и наблюдения связаны соотношением

Таким образом, СКО результата измерения с ростом числа наблюдений в группе уменьшается в n раз. Например, при 9 наблюдениях СКО результата измерений будет втрое меньше, чем при однократном наблюдении.

6. Находят доверительные границы случайной погрешности результата измерения. Доверительные границы случайной погрешности результата измерения ε(Р) — это границы интервала, накрывающего с заданной вероятностью Р случайную погрешность измерения. При нормальном распределении случайных погрешностей доверительные границы связаны с оценкой СКО результата измерения соотношением:

где t − коэффициент Стьюдента, зависящий от двух параметров: числа п наблюдений в группе и выбранной доверительной вероятности Р. Рекомендуется доверительную вероятность Р принимать равной 0,95, а в особо ответственных случаях — 0,99 и выше.

Значения коэффициентов Стьюдента приведены в табл. 4.3.

Случайная погрешность, определенная по выше приведенной методике, является одной из составляющих общей погрешности результата измерений. Другими составляющими являются неисключенные систематические погрешности.

43

Таблица 4.3.

Значения коэффициента Стьюдента

7. При наличии нескольких неисключенных систематических погрешностей, заданных своими границами ±θi доверительные границы суммарной неисключенной систематической погрешности результата измерения при их равномерном распределении вычисляют по формуле

доверительной вероятности Р; k — коэффициент, зависящий от принятой доверительной вероятности; при Р = 0,95 коэффициент k = 1,1.

Примечание: результат вычисления границ суммарной неисключенной систематической погрешности при доверительной вероятности Р по выражению () следует сравнить с алгебраической суммой этих погрешностей

m

(без учета их знаков) ΘΣ = ∑Θi , и если эта сумма окажется меньше ΘΣ < Θ(P) , то

i=1

за границы суммарной неисключенной систематической погрешности нужно принять эту алгебраическую сумму.

8. Границы погрешности результата измерения находят по-разному, в зависимости от соотношения СКО результата измерения SХ и неисключенной систематической погрешности θ(Р).

45

Искомое значение физической величины Х находят на основании результатов измерений аргументов a1 . . . , ai, . . . , aт , связанных с искомой величиной уравнением

X = f (a1 , a2 ,...ai ,...am ) .

Вид функции f должен быть известен из теоретических предпосылок или установлен экспериментально с погрешностью, которой можно пренебречь.

Результаты измерений аргументов и оценки их погрешностей могут быть получены из прямых, косвенных, совокупных, совместных измерений или из справочной литературы, технической документации.

При оценивании доверительных границ погрешностей результата косвенного измерения принимают вероятность, равную 0,95, или 0,99. Использование других вероятностей должно быть обосновано.

Основные положения определения результатов измерений и их погрешностей устанавливаются для оценивания косвенно измеряемой величины и погрешностей результата измерения:

при линейной зависимости и отсутствии корреляции между погрешностями измерений аргументов;

при нелинейной зависимости и отсутствии корреляции между погрешностями измерений аргументов;

для коррелированных погрешностей измерений аргументов при наличии рядов отдельных значений измеряемых аргументов.

Для косвенных измерений при нелинейных зависимостях и некоррелированных погрешностях измерений аргументов используют метод линеаризации.

Метод линеаризации предполагает разложение нелинейной функции в ряд Тейлора.

Границы неисключенной систематической погрешности результата косвенного измерения вычисляют следующим образом.

Если неисключенные систематические погрешности результатов измерений аргументов заданы границами ±θi, то доверительные границы

измерений аргументов не противоречит нормальному распределению, вычисляют по формуле:

где t — коэффициент Стьюдента, соответствующий доверительной вероятности Р числу степеней свободы fЭФ , вычисляемому по формуле

где ni — число измерений при определении ai-го аргумента.

Погрешность результата косвенного измерения оценивают на основе композиции распределений случайных и неисключенных систематических погрешностей.

Если Θ(P) < 0,8 , то неисключенными систематическими погрешностями

S X

пренебрегают и принимают в качестве погрешности результата измерения доверительные границы случайных погрешностей ΔХ = ± ε(Р).

Если Q(P) > 8 , то случайными погрешностями пренебрегают и принимают

S X

в качестве погрешности результата измерения границы неисключенных систематических погрешностей ΔХ = ±θ(Р).

Значения коэффициента KP для доверительной вероятности 0,95 и 0,99 в

зависимости от отношения Q(P) представляются в справочной литературе.

S X

48

Погрешность, возникающая при использовании формулы (24) для суммирования случайных и неисключенных систематических погрешностей не превышает 12 %.

4.4. Правила представления результатов измерений

Форма представления результатов однократных измерений должна соответствовать МИ 1317—86.

При симметричной доверительной погрешности результат однократного измерения представляется в форме Х ± ΔХ ; Р = …. Числовое значение результата измерения должно оканчиваться цифрами того же разряда, что и значение погрешности ΔХ.

Результат измерений представляется именованным или неименованным числом. (Пример: 100 кВт; 20 ° С — именованные числа; 0,44; 2,765 — неименованные числа.)

Совместно с результатом измерений должны быть представлены характеристики его погрешности или их статистические оценки. Если результат измерений или определенная группа результатов измерений получены по аттестованной методике выполнения измерений, то их можно сопровождать, вместо характеристик погрешности измерений, ссылкой на документ (аттестат), удостоверяющий характеристики погрешностей, получаемых при использовании данной методики, и условия применимости этой методики.

Если результат измерений получен по такой методике, когда характеристики погрешности измерений оценивались в процессе самих измерений или непосредственно перед ними, он (результат) должен сопровождаться статистическими оценками характеристик погрешности измерений.

Допускается представление результата измерений доверительным интервалом, покрывающим с известной (указываемой) доверительной вероятностью, истинное значение измеряемой величины. В этом случае

49

статистические оценки характеристик погрешности измерений отдельно не указываются.

Представление результатов измерений, полученных как среднее арифметическое значение результатов многократных наблюдений, должно сопровождаться указанием числа наблюдений и интервала времени, в течение которого они проведены. Если измерения, при которых получены данные результаты, проводятся по методике выполнения измерений, установленной в каком-либо документе, вместо указания числа наблюдений и интервала, допускается давать ссылку на этот документ.

Пример. Упрощенная запись результатов измерений:

Однократное измерение L= ( 10, 375 ± 0,005) м; Р = 0,95. U= ( 10, 375 ± 0,025) В.

Примечание. Во втором результате доверительная вероятность не указывается, т.к. погрешность была определена по классу точности СИ и она является предельно допустимой погрешностью.

Многократное измерение L= ( 10, 375 ± 0,005) м; Р = 0,95; n = 10.

Рассчитывая значения погрешности по формулам, особенно при пользовании электронным калькулятором, значения погрешностей получают с большим числом знаков. Однако исходными данными для расчета являются нормируемые значения погрешности СИ, которые указываются всего с одной или двумя значащими цифрами. Вследствие этого и в окончательном значении рассчитанной погрешности должны быть оставлены только, первые одна-две значащие цифры. При этом приходится учитывать следующее обстоятельство. Если полученное число начинается с цифр 1 или 2, то отбрасывание второго знака приводит к очень большой ошибке (до 30—50%), что недопустимо. Если же полученное число начинается, например, с цифры 9, то сохранение второго знака, т. е. указание погрешности, например, 0,94 вместо 0,9, является дезинформацией, так как исходные данные не обеспечивают такой точности.

Исходя из этого на практике установилось следующее правило: если полученное число начинается с цифры, равной или большей, чем 3, то в нем

50

сохраняется лишь один знак; если же оно начинается с цифр, меньших 3, т. е. с цифр 1 и 2, то в нем сохраняют два знака. В соответствии с этим правилом установлены и нормируемые значения погрешностей средств измерений: в числах 1,5 и 2,5 % указываются два знака, но в числах 0,5; 4; 6 % указывается лишь один знак.

В итоге можно сформулировать следующие три правила округления рассчитанного значения погрешности и полученного экспериментального результата измерения.

1 Погрешность результата измерения указывается двумя значащими цифрами, если первая из них равна 1 или 2, и одной — если первая есть 3 и более.

2.Результат измерения округляется до того же десятичного разряда, которым оканчивается округленное значение абсолютной погрешности.

3.Округление производится лишь в окончательном ответе, а все предварительные вычисления проводят с одним-двумя лишними знаками.

Пример. На вольтметре класса 2,5 с пределом измерений Uк = Uном = 300 В был получен отсчет измеряемого напряжения U = 267,5 В.

Расчет погрешности удобнее вести в следующем порядке: сперва необходимо найти абсолютную погрешность, а затем — относительную.

Абсолютная погрешность U = γ∙Uк/100 = 2,5∙300/100 = 7,5 В Относительная погрешность δ = ( U/U)∙100 = (7,5/267,5) ∙100 = 2,81 %

Так как первая значащая цифра значения абсолютной погрешности (7,5 В) больше трех, то это значение должно быть округлено о обычным правилам округления до U = 8 В, но в значении относительной погрешности (2,81 %) первая значащая цифра меньше 3, поэтому здесь должны быть сохранены в ответе два десятичных разряда и указано δ = 2,8 % Полученное значение U = 267,5 В должно быть округлено до того же десятичного разряда, которым оканчивается округленное значение абсолютной погрешности, т. е. до целых единиц вольт.