Метрология, учебное пособие

31

измеряемой величины ХД. Действительное значение находят экспериментально, путем применения достаточно точных методов и средств измерений. Оно мало отличается от истинного значения и для решения поставленной задачи может использоваться вместо него. За действительное значение обычно принимают показания высокоточных (образцовых) средств измерений Х0. Таким образом,

Относительная погрешность δ — это отношение абсолютной погрешности измерения к истинному (действительному) значению измеряемой величины (она обычно выражается в процентах)

X Д

Относительная погрешность характеризует точность конкретного измерения.

32

4.ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

4.1.Обработка результатов прямых однократных измерений

Порядок и методика выполнения прямых однократных измерений при условии, что составляющие погрешности результата известны, случайные погрешности составляющих распределены нормально, а неисключенные систематические погрешности, представленные заданными границами ±θi распределены равномерно, регламентированы МИ 1552—86. Под границами неисключенной систематической погрешности измерений понимают границы интервала, найденные нестатистическими методами, внутри которого находится неисключенная систематическая погрешность измерения. Погрешность измерения задается границами в том случае, когда сведения о вероятности нахождения ее в этих границах отсутствуют.

За результат однократного измерения Х принимают значение величины, полученное при отдельном измерении.

Составляющие погрешности результата измерения должны быть известны до проведения измерений, предполагая, что известные систематические погрешности исключены.

Условия проведения однократных измерений заключаются в следующем:

производственная необходимость (разрушение образца, невозможность повторить измерения, экономическая целесообразность и т. д.);

возможность пренебрежения случайными погрешностями.

До начала измерений проводят априорную оценку погрешности результата измерения, используя предварительные данные об измеряемой величине, условиях измерения и источниках погрешностей измерения (составляющих погрешности измерения). Если априорная оценка превышает допускаемую погрешность результата измерений, то выбирают более точное средство измерений или изменяют методику выполнения измерений.

Для определения доверительных границ погрешности результата измерения принимают вероятность, равную 0,95.

33

В особых случаях, например, при измерениях, которые нельзя повторить, допускается указывать доверительные границы для более высоких вероятностей.

При вычислениях следует пользоваться правилами округления. Погрешность результата измерения должна быть представлена не более чем двумя значащими цифрами.

Составляющими погрешности результата однократного измерения являются погрешности: средств измерений; метода; оператора.

Погрешности средств измерений, метода и оператора могут состоять из неисключенных систематических и случайных погрешностей.

Неисключенные систематические погрешности могут быть выражены одним из способов:

границами ±θi;

доверительными границами ±θ(Р).

Случайные погрешности могут быть выражены одним из способов:

средним квадратическим отклонением S;

доверительными границами ±ε(Р).

Погрешность средств измерений определяют по метрологическим характеристикам, которые указаны в нормативных технических документах (НТД) и в соответствии с РД 50—453—84.

Погрешности метода и оператора должны быть определены в НТД на конкретную методику выполнения измерений (МВИ).

Если неисключенная систематическая погрешность имеет место только у одной из составляющих (погрешности или средства измерений, или метода, или оператора), то неисключенную систематическую погрешность результата выражают границами этой погрешности.

Доверительные границы неисключенной систематической погрешности результата измерения вычисляют следующим образом.

При наличии нескольких неисключенных систематических погрешностей, заданных своими границами ±θi, доверительную границу неисключенной

34

систематической погрешности результата измерения ±θ(Р)) вычисляют по формуле

где k — поправочный коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью и числом m составляющих θi.

При доверительной вероятности Р = 0,90 поправочный коэффициент k принимают равным 0,95; при доверительной вероятности Р = 0,95 коэффициент k = 1,1. Если число суммируемых неисключенных систематических погрешностей т > 4, то при доверительной вероятности Р = = 0,99 коэффициент k = 1,4.

Погрешность, возникающая при использовании формулы для суммирования неисключенных систематических погрешностей и при нахождении поправочного коэффициента k для доверительной вероятности Р = 0,99 не превышает 5 %.

Результат вычисления границ суммарной неисключенной систематической погрешности при доверительной вероятности Р по выражению следует сравнить с алгебраической суммой этих погрешностей (без учета их знаков)

i=1

иесли эта сумма окажется меньше ΘΣ < Θ(p), то за границы суммарной

неисключенной систематической погрешности нужно принять эту алгебраическую сумму.

Доверительные границы случайной погрешности результата измерения вычисляют следующим образом.

Если случайные погрешности средств измерений (метода, оператора) представлены средними квадратическими отклонениями Si,, приведенными в технической документации, то среднее квадратическое отклонение результата однократного измерения SX вычисляют по формуле

35

где m − число составляющих.

Доверительную границу случайной погрешности результата измерения

Если случайные погрешности средств измерений (метода, оператора) представлены доверительными границами ε(Р), соответствующими одной и той же вероятности, то доверительную границу случайной погрешности результата однократного измерения вычисляют по формуле

определяют предварительно экспериментально при ограниченном числе измерений (m < 30), то доверительную границу этой случайной составляющей вычисляют по формуле

где t — коэффициент, зависящий от доверительной вероятности Р и числа измерений m. В качестве коэффициента t можно использовать коэффициент Стьюдента, соответствующий числу степеней свободы той составляющей, оценка которой произведена при наименьшем числе измерений; Si,- — оценка среднего квадратического отклонения i-й составляющей (погрешности средств измерений, метода, оператора).

Если погрешности метода и оператора пренебрежимо малы по сравнению с погрешностью используемых средств измерений (не превышают 15 % от

36

погрешности средств измерений), то за погрешность результата измерений принимают погрешность используемых средств измерений.

Если Θ(P) < 0,8 , то неисключенными систематическими погрешностями

S X

пренебрегают и принимают в качестве погрешности результата измерения доверительные границы случайных погрешностей ΔХ = ± ε(Р).

Если Θ(P) > 8 , то случайными погрешностями пренебрегают и принимают

S X

в качестве погрешности результата измерения границы неисключенных систематических погрешностей ΔХ = ±θ(Р).

Значения коэффициента KP для доверительной вероятности 0,95 и 0,99 в

зависимости от отношения Θ(P) представлены в табл. 4.1.

S X

Таблица 4.1

Значения коэффициента KP для доверительной вероятности 0,95 и 0,99

погрешности результата ΔХ сопровождается погрешностью, не превышающей 15 %. Вместе с тем допускается применение других методов суммирования случайных и неисключенных систематических составляющих погрешностей результата измерения.

Форма представления результатов однократных измерений должна соответствовать МИ 1317—86.

37

При симметричной доверительной погрешности результат однократного измерения представляется в форме

Х ± ΔХ ; Р = …. .

Числовое значение результата измерения должно оканчиваться цифрами того же разряда, что и значение погрешности ΔХ.

Пример. Ампервольтметр М2038 с пределом измерения 150 В, классом точности 0,5. Отсчет по шкале 125 В.

Решение. При отсутствии данных о поверке прибора неисключенную систематическую погрешность берут равной допускаемой основной погрешности прибора в соответствии с его классом точности. Для прибора с аддитивной полосой погрешности

Доверительные границы случайной погрешности результата измерения устанавливают для результатов наблюдений в зависимости от закона распределения плотности вероятностей этой погрешности. При измерении стрелочным прибором погрешность отсчета имеет равномерное распределение. Среднее квадратическое отклонение этого распределения связано с предельной погрешностью соотношением

Предельная погрешность отсчета по шкале прибора равна той доле деления шкалы, до которой с уверенностью в правильности результата можно проводить отсчет. Обычно ,если нет оговорок в паспорте прибора, она равна половине цены наименьшего деления шкалы (0,5 деления). Следовательно

Результат измерения U = (125,0 ± 0,7)B ; P = 0,95 .

38

4.2. Обработка результатов измерений с многократными независимыми наблюдениями и оценки их погрешностей

Результаты отдельных наблюдений одной и той же величины различаются, причем эти изменения происходят без какой-либо закономерности. Это вызвано наличием в этих наблюдениях погрешности, которая изменяется случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины, т.е. случайной погрешности.

Случайные погрешности вызываются большим числом причин, действующих независимо друг от друга. Эти причины приводят к тому, что случайные погрешности нельзя исключить опытным путем, но их влияние на результат измерения можно оценить, проведя ряд наблюдений одной и той же величины. Методика обработки результатов наблюдений зависит от тех закономерностей, которые характеризуют их рассеивание. Оценка случайной погрешности вообще возможна лишь тогда, когда рассеивание результатов наблюдений обладает статистической устойчивостью. Поэтому при пользовании каким-либо средством или методом измерения необходимо априори быть уверенным в устойчивости полученных результатов или установить это экспериментально.

Наиболее полно свойства случайной величины описываются функцией распределения. Она устанавливает связь между возможными значениями случайной погрешности и вероятностью появления этих значений. Вероятность того, что погрешность измерения находится в пределах от 1 до 2, равна площади под кривой распределения плотности вероятности (на рис. 5 заштрихована). Закон распределения случайных погрешностей может носить произвольный характер, однако при практических расчетах распределение случайных погрешностей часто аппроксимируют нормальной, равномерной или иной функцией.

Нормальный закон описывается уравнением

39

где f ( ) — функция распределения плотности вероятности случайной погрешности; S — среднее квадратическое отклонение.

Рис. 4.1. Распределение плотности вероятности случайной погрешности

Применение этого закона базируется на двух аксиомах, опирающихся на опыт. Первая из них — аксиома случайности — гласит, что при большом числе измерений погрешности, равные по значению, но разные по знаку, встречаются одинаково часто, т. е. кривая должна быть симметрична относительно оси ординат. Вторая аксиома — аксиома распределения — утверждает, что малые погрешности встречаются чаще, чем большие. Плотность вероятности

значениями S, то увидим, что с увеличением S кривая расширяется, а максимум ее снижается, т. е. увеличивается доля больших погрешностей и уменьшается доля малых. Таким образом, чем меньше о, тем выше точность измерений. На рис. 4.1 показаны две кривые плотности вероятности, причем среднее квадратическое отклонение кривой 1 меньше среднего квадратического отклонения кривой 2.

Для увеличения точности измерений, при наличии случайных погрешностей, производят не однократное наблюдение измеряемой величины, а многократное. Принято называть значение величины, полученное при отдельном наблюдении, результатом наблюдения, а среднее арифметическое группы результатов наблюдений — результатом измерения.

40

Стандартом (ГОСТ 8.207—76) установлены основные положения методики обработки измерения с многократными наблюдениями, заключающиеся в следующем.

Результат измерения, вычисленный по ограниченному числу наблюдений, содержит случайную погрешность, поэтому его значение может меняться при выполнении нескольких групп наблюдений. Точность измерения при одном и том же числе наблюдений будет тем выше, чем меньше рассеяны результаты отдельных наблюдений. Рассеивание результатов наблюдений характеризуется средним квадратическим отклонением (СКО) результатов наблюдений

4. Определяют наличие грубых погрешностей (грубых ошибок или грубых наблюдений).

Грубой погрешностью называется погрешность, существенно превышающая ожидаемую в данных условиях. Причиной грубой погрешности