а) Если при переходе через точкуменяет знак с «+» на « - », то- точка максимума;

б) если меняет знак с « - » на «+», то- точка минимума;

в) если знак не меняет, тоточкой экстремума не является.

4. Вычислить значения функции в точках экстремума и.

5. При необходимости построить схематически график.

П р и м е р. Исследовать функцию на экстремум и построить схематически график.

Решение. 1. Найдём производную функции: .

Найдём критические точки:

, если или.

или

Отметим полученные значения на числовой прямой и определим знак производной в каждом из полученных интервалов.

+ - +

Вычислим значения функции в точках экстремума.

. Получаем точку .

. Получили точку .

По полученным точкам строим график.

Второе правило исследования функции на экстремум.

Часто бывает рациональнее исследовать функцию на экстремум с помощью второй производной. Рассмотрим сущность этого метода.

Знак первой производной данной функции характеризует возрастание и убывание функции. Точно так же знак второй производной характеризует возрастание и убывание первой производной.

Теперь выясним, как изменяется первая производная в точках экстремума и близких к ним точках с увеличением аргумента. Первая производная при переходе через точку максимума меняет знак с «+» на «-». Иными словами, она от положительных значений переходит через ноль к отрицательным, т. е. убывает, а значит, её производная должна быть отрицательна. Итак, в точке максимума данной функции первая производная равна нулю, а вторая производная отрицательна.

Аналогично можно показать, что в точке минимума функции первая производная равна нулю, а вторая отрицательна.

Отсюда вытекает правило исследования функции на экстремум с помощью второй производной.

Найти первую производную .

Найти критические точки, т.е. точки, в которых

Найти вторую производную .

Во вторую производную подставить поочерёдно все критические значения

;

если то - точка минимума,

если то - точка максимума,

если то следует обратиться к первому правилу.

Вычислить значения функции в точках экстремума и построить схематически график.