Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение касательной к кривой.

2. Что называется нормалью к кривой?

3. В чём заключается геометрический смысл производной? Запишите формулу.

4. Запишите уравнение касательной к кривой в данной точке.

5. Запишите уравнение нормали к кривой в данной точке.

Задачи для самостоятельного решения

1. Найти угловой коэффициент касательной, проведённой к кривой

в точке .

2. Кривая задана уравнением Определить углы наклона касательных к положительному направлению оси, проведённых к кривой в точках в точках с абсциссами.

3. На кривой найти точку, в которой касательная параллельна прямой.

4. В какой точке касательная к кривой : а) параллельна оси; б) образует с осьюугол 45?

5. Найти абсциссу точки параболы , в которой касательная параллельна оси абсцисс.

6. Найти угловой коэффициент касательной, проведённой к кривой

в точке .

7. В какой точке касательная к кривой образует с осьюугол 30?

8. В какой точке касательная к графику функции образует угол 135

с осью ?

9. В какой точке касательная к графику функции параллельна оси абсцисс?

10. В каких точках угловой коэффициент касательной к кубической параболе равен 3?

11. Найти угол наклона касательной к кривой в точке, абсцисса которой равна 2.

12. Составить уравнение касательной к параболе в точке с абсциссой

13. Составить уравнение касательной к гиперболе в точке

14. Составить уравнение касательной к кривой в точке.

15. Найти касательную к кривой в точке с абсциссой.

Урок № 12

Т е м а. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ НА МОНОТОННОСТЬ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ

Рассмотрим приложение производной к исследованию функции на возрастание и убывание.

1. Признаки возрастания и убывания функции.

Теорема 1 (признак возрастания функции). Если дифференцируемая функция

возрастает на данном интервале, то производная этой функции не отрицательна на этом интервале.

Теорема 2 (признак убывания функции). Если дифференцируемая функция

убывает на данном интервале, то производная этой функции не положительна на этом интервале.

Обратные теоремы также справедливы.

Теорема 3 (признак возрастания функции). Если производная функции

положительна на некотором интервале, то функция на этом интервале монотонно возрастает.

Теорема 4 (признак убывания функции). Если производная функции

отрицательна на некотором интервале, то функция на этом интервале монотонно убывает.

Эти утверждения можно пояснить геометрически.

Если функция возрастает, тои, а это возможно только при

. Следовательно, угол наклона касательной – острый.

Если функция убывает, тои, а это возможно только при. Следовательно, угол наклона касательной – тупой.

Такие рассуждения приводят к выводу: на промежутке монотонности (возрастания или убывания) производная свой знак не меняет.

Изменение характера монотонности происходит при изменении знака производной . А это возможно лишь при переходе производной через нольили через точку, в которой производная не существует (точка.

Из этих рассуждений следует правило нахождения промежутков монотонности.

2. Правило исследования функции на монотонность

1. Найти производную функции .

2. Найти точки, в которых производная илине существует.

Эти точки называются критическими точками для функции

3. Отметить критические точки на числовой прямой и определить знак производной в каждом из полученных интервалов, входящих в область определения функции.

4. По полученным знакам производной сделать вывод о характере монотонности: если , то функция возрастает;

если , то функция убывает.

П р и м е р. Найти промежутки монотонности функции .

Решение. 1) Найдём производную функции

2)Найдём критические точки

, если 3или(разделили на 3).

Решив уравнение, получим и.

3. Отметим критические точки на числовой прямой и определим знак производной

-1 2

4. Вывод: функция возрастает при

функция убывает при