8. Производная и дифференциал. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора

Производной ф-й в т.наз. предел отношения приращения ф-и к приращению аргумента, который стремиться к 0:.

Если ф-я в т.имеет конечную производную, то эта ф-я наз-ся дифференцируемой в т.. Если ф-ядифференцируема в каждой точке промежутка, то она наз-ся дифференцируемой на промежутке. Производная ф-и в т. есть двусторонний предел.

Геометрический смысл производной- тангенс угла наклона касательной к кривой в данной точке.

Используется для построения нормали и касательной к кривой в заданной точке.

Касательной к кривой в данной т. наз-ся предельное положение секущей, когда т.по кривой движется в т..

- прямая с заданным угловым коэффициентом ч/з т.с.

- Ур-е касательной к зад. кривой в т. кривой.

Нормалью к кривой в т. наз-ся прямая,к касательной, проведенной к кривой в т..

Механический смысл производной:

Это задача о нахождении мгновенной скорости тела.

Теорема.: Если функция дифференцируема, то она непрерывна. Обратное неверно.

Пусть ф-я диф-ма в т.. Тогда ее приращение м.б. записано в видепри.Дифференциалом функции наз. главную линейную часть приращения функции и обозначают.

, - независимая переменная:.

, - зависимая переменная:,.

Формула для записи дифференциала обычной и сложной функции совпадают только по внешнему виду. Это и называют инвариантностью формы первого дифференциала.

Теорема: пусть идиф-мые в некот. промежуткеф-ции. Тогда,,диф-мы в этом промежутке, причем,,.

Док-во: , ,.

- диф-ма непр..

Производная сложной ф-ции:

; ;имеет производную, тов,в,в, которая вычисляется по формуле.

Производная обратной ф-ции:

Если ,и имеет не = 0 производнуюв произвольной точке этого промежутка, то обратная ей ф-цияимеет производную в соот-щей точке, кот вычисляется.

Док-во: т.к. ф-я монотонна и имеет на промежутке производную, то она на нем непрерывна. Всякая непрерывная монотонная на промежутке ф-я имеет обратную, т.е. - определена.соот-ет. Если, то,- непрерывна..

Производной -го порядка наз. производная от производной -го порядка, если эта производная существует.

Дифференциалом -го порядка наз. дифференциал от дифференциала -го порядка, при условии, что- фиксировано.

Если ф-я опр. в некот. окрестности т.и имеет в этой окрестности производную до-го порядка вкл., тогда дляиз этой окрестности найдется т.м/уитакая, что справедлива формула:

. Это формула Тейлора.

Производные основных элементарных функций:

9. Основные теоремы дифференциального исчисления и их применения

Теорема Ферма: если-ф-я опр-на на некот. промежутке и во внутренней т.она принимает свое наибольшее или наименьшее значение, тогда, если в этой точке сущ. поизводная, то она равна нулю.

Теорема Роля. Пусть ф-я : 1) непрерывна на отрезке; 2) дифференцируема в каждой точке интервала; 3) принимает равные значения на концах отрезка, т.е.; тогда существует хотя бы одна такая точка,, что.

Доказательство. Ф-я, непрерывная на отрезке, принимает наибольшее и наименьшее значение в некоторых точках этого отрезка. Пусть ; тогда для всехвыполняется неравенство. Если, то ф-япостоянна и, значитна. В качестве точкиможно взять любую точку интервала. Если же, то из условияследует, что хотя бы одно из значенийилине принимается на концах отрезка. Пусть этим значением является, т.е. существует такая точка, что, и, значит, в этой точкеф-япринимает наибольшее значение и на интервале. Поэтому из теоремы Ферма следует, что.Ч.т.д.

Геометрический смысл: на графике ф-ции найдется хотя бы одна точка в интервале , касательная к графику в которой || оси ОХ.

Теорема Лагранжа. Если ф-я непрерывна на отрезкеи в каждой точке интерваладиф-ма, то в этом интервале существует по крайней мере одна такая точка, что.

Геом. смысл: . Нанайдется точка, касательная к графику ф-ции в кот. || секущей.

Теорема Коши. Пусть ф-и и: 1) непрерывны на отрезке; 2) имеют производные в каждой точке интервала; 3)во всех точках интервала. Тогда существует такая точка,, что. Заметим, что из условий теоремы следует, что эта формула имеет смысл, т.е.. В самом деле, если, то ф-яудовлетворяла бы условиям теоремы Роля и, значит, нашлась бы такая точка, что, что противоречило бы условию 3.

Теорема Дарбу: если производная дифференцируемой на отрезке ф-ции принимает все значения междуии на отрезкев ноль не обращается, то она на этом отрезке сохраняет свой знак.

Следствие: если диф-ма на некот промежутке, то ее производная на этом промежутке м. иметь разрывы только второго рода.

Правила Лопиталя.

Неопределенность вида 0/0. Теорема 1. Пусть ф-и и, определенны в некот. окрестности т.а,, существуют конечные производныеипричем. Тогда существует предел.

Теорема 2. Пусть ф-и и: 1) дифференцируемы на интервале; 2); 3)для всех; 4) существует конечный или бесконечный предел. Тогда существует предел.

Неопределенность вида . Теорема 1. Пусть ф-и идифференцируемы в некот. окрестности,,, существует конечный или бесконечный предел. Тогда существует предел.

Теорема 2. Пусть ф-и и: 1) дифференцируемы на, 2); 3)на; 4) существует конечный или бесконечный предел. Тогда существует предел.

Условие монотонности дифференцируемости функций.

Теорема 1. Для того чтобы дифференцируемая на интервале ф-явозрастала (убывала) на этом интервале необходимо и достаточно, чтобы во всех его точках производная была неотрицательной,(соответственно, неположительной,). Если всюду напроизводная положительна:(соответственно отрицательна:), то ф-ястрого возрастает (строго убывает) на рассматриваемом интервале.

Точки экстремума функций.

Пусть ф-я определена в некоторой окрестности точки. Тогданазывается точкой максимума (соответственно точкой минимума) ф-и, если существует такое, что для всехудовлетворяющих условию, выполняется неравенство(соответственно). Если существует такое, что для всех, таких, что, выполняется неравенство(соответственно, тоназывается точкой строгого максимума (соответственно строгого минимума). Точки (строгого) максимума и минимума называются точками (строгого) экстремума.

Теорема 2 (необходимые условия экстремума). Пусть является точкой экстремума ф-и, определенной в некоторой окрестности точки. Тогда либо производнаяне существует, либо.

Теорема 3 (достаточные условия строгого экстремума). Пусть ф-я дифференцируема в некоторой окрестности точки, кроме, быть может, самой точки, в которой она является, однако, непрерывной. Если производнаяменяет знак при переходе через(это означает, что существует такое число, что значения производнойимеют один и тот же знак всюду ви противоположный знак для всех), тоявляется точкой строгого экстремума. При этом, если длявыполняется неравенство, а для- неравенство, тоявляется точкой строгого максимума, а если длявыполняется неравенство, а для- неравенство, тоявляется точкой строгого минимума. Если ф-яопределена в некоторой окрестности точки, непрерывна при, имеет всюду в рассматриваемой окрестности кроме, может быть, точки, производную и эта производная с каждой стороны отсохраняет постоянный знак (следовательно, можно говорить о сохранении или перемене знака у производной при переходе через), то для того чтобы приф-я достигала экстремума необходимо и достаточно, чтобы производная меняла знак при переходе через точку.

Условие выпуклости графика ф-и.

Ф-я называется выпуклой вверх (выпуклой вниз) на интервале, если каковы бы ни были точкии,, для любой точкиинтервала, выполняется неравенство, (соответственно), где. Если выполняются строгие неравенстваипри любыхтаких, что, то ф-яназывается строго выпуклой вверх (строго выпуклой вниз) на интервале. Всякий интервал, на котором ф-я (строго) выпукла вверх, соответственно вниз, называется интервалом (строгой) выпуклости вверх, соответственно вниз, этой ф-и.

Теорема (достаточное условие строгой выпуклости). Пусть ф-я дважды дифференцируема на интервале. Тогда, еслина, то ф-ястрого выпукла вверх, а еслина, то ф-ястрого выпукла вниз на этом интервале.

Точки перегиба.

Пусть ф-я дифференцируема прии пусть- уравнение касательной к графику ф-ив точке. Если разностьменяет знак при переходе через точку, тоназывается точкой перегиба ф-и.

Асимптоты.

Пусть ф-я определена для всех(соответственно для всех). Если существуют такие числаи, чтопри(соответственно при), то прямаяназывается асимптотой графика ф-ипри(соответственно при). Пусть ф-яопределена в некоторой окрестности точки(быть может, односторонней) и пусть выполнено хотя бы одно из условий, или. Тогда прямаяназывается вертикальной асимптотой графика ф-и.

Общая схема построения графика функции.

1.Определить область существования ф-и, область непрерывности и точки разрыва. 2. Найти асимптоты. 3. Приблизительно нарисовать график ф-и. 4. Вычислить первую, а если нужно, и вторую производную. 5. Найти точки, в которых первая и вторая производные либо не существуют, либо равны нулю. 6. Составить таблицу изменения знака первой и второй производных. Определить промежутки возрастания, убывания, выпуклости вверх или вниз ф-и, найти точки экстремума (в том числе концевые) и точки перегиба. 7. Окончательно вычертить график.

Исследование графиков ф-и.

Пусть ф-я определена в некоторой окрестности точки. Будем называтьточкой возрастания (убывания) ф-и, если существует такое, что привыполняется неравенство(соответственно), а при- неравенство(соответственно).