7. Полнота и замкнутость (примеры полных систем). Теорема Поста.

(1) – система булевых функций.

Система (1) называется полной, если любую булеву функцию можно реализовать формулой в этой системе.

Примером полной системы является сам класс булевой функции.

Пусть даны две системы булевых функций

(1)

(2)

относительно которых известно, что (1) – полная система и каждая функция первой системы представляется в виде суперпозиции функций (2) системы, тогда (2) – полная система.

Система (1) называется функционально замкнутым классом, если любая суперпозиция функций этой системы принадлежит ей же.

Функционально замкнутые классы отличные от пустого класса и от класса называютсясобственными функционально замкнутыми классами.

Рассмотрим важнейшие функционально замкнутые классы.

1. - это класс функций, сохраняющий ноль, т. е. функций для которых Пример. .

2. - это класс функций, сохраняющий единицу, т. е. функций для которых Пример. .

3. - это класс линейных функций, т. е. функции, для которых полином Жегалкина является линейным относительно каждой переменной.

.

4. - это класс монотонных функций

Пусть

, где - двоичные векторы,

являющиеся наборами значений переменных

;

Вектор предшествует или младше вектора, если, такиенаборы называются сравнимыми.

Свойства отношений.

1) - рефлексивность

2) и - симметричность

3) и - транзитивность

Булева функция называется монотонной, если для каждой пары сравнимых наборов.

Пример монотонных функций.

1)

2)

5. - это класс самодвойственных функций, для которых

Теорема Поста. Для того чтобы система булевых функций (1) была полной необходимо и достаточно, чтобы она целиком не содержалась ни в одном из пяти функционально замкнутых классов.

Для проверки полноты системы функций составляется специальная критериальная таблица:

	+	-	-	+	-
	+	-	+	-	-
	-	+	+	+	-

По теореме Поста система является полной, если каждый столбец таблицы содержит хотя бы один « - ».

40. Графы и их свойства

Графические представления - удобный способ иллюстрации содержания различных понятий, относящихся к другим способам формализованных представлений. Мощным и наиболее исследованным классом объектов, относящихся к графическим представлениям, являются так называемые графы, изучаемые в теории графов. Теория графов основана на работе с конечными множествами.

Графическое представление в узком смысле – это описание исследуемой системы, процесса, явления средствами теории графов в виде совокупности двух классов объектов: вершин и соединяющих их линий – ребер или дуг. Графы и их составляющие характеризуются определенными свойствами и набором допустимых преобразований (операций) над ними.

Графом G называется совокупность двух множеств: вершин и ребер:.

Ребрами графов наз-ся отрезки, концами которых явл-ся вершины.

Между элементами мн-ва введемотношение смежности: две вершины графа наз-ся смежными, если они соединены одним ребром.

Между элементами мн-ва и мн-ваопределеноотношение инцидентности – вершина А и ребро наз-ся инцидентными, если вершина А явл-ся концом ребра( или ребровыходит из вершиныА) .

Ребро, соединяющее две вершины, может иметь направление от одной вершины к другой; в этом случае оно называется направленным, или ориентированным, или дугой и изображается стрелкой, направленной от вершины, называемой началом, к вершине, именуемой концом.

Граф наз-ся обыкновенным, если он не содержит кратных ребер и петель.

Граф, заданный мн-ом вершин и дуг, называется ориентированным (орграфом).

Ребра, инцидентные одной и той же паре вершин, называются параллельными, или кратными. Граф, содержащий кратные ребра, именуется мультиграфом. Ребро, концевые вершины которого совпадают, называется петлей.

Граф называется конечным, если множество его элементов (вершин и ребер) конечно, и пустым, если его множество вершин А (а значит и ребер ) пусто. Обыкновенный граф именуется полным, если каждая пара вершин соединена ребром.

Дополнением графа G называется граф , имеющий те же вершины, что и графG, и содержащий только те ребра, которые нужно добавить к графу G, чтобы получить граф.

Каждому неориентированному графу канонически соответствует ориентированный граф с тем же множеством вершин, в котором каждое ребро заменено двумя ориентированными ребрами, инцидентными тем же вершинам и имеющими противоположные направления.

Локальной степенью (или просто степенью) вершины н-графаG называется количество ребер, инцидентных данной вершине- .

Вершина, не соединенная ни с одной вершиной, наз-ся изолированной. Ее степень равна 0.

Вершины графа, степени которых четные числа, наз-ся четными вершинами, а вершины графов, степени которых нечетные – нечетные вершины. Введем обозначения: - число вершин,- число ребер,- вершины графа,- ребра графа.

Сумма степеней всех вершин графа явл-ся четным числом и равна удвоенному количеству ребер

Типы и способы задания.

Задать граф – значит описать множества его вершин и ребер, а также отношение инцидентности. Для описания вершин и ребер достаточно их занумеровать. Пусть вершины графаG; ребра. Помимо этого графы можно задавать с помощью специальным образом построены матриц двух типов:

1. Матрицей инцидентности , причем каждый элемент определяется следующим образом:. Такая матрица явл-ся бинарной; в общем случае прямоугольная порядка; в каждом столбце матрицы не более двух единиц, т.к. ребро инцидентно только двум вершинам

2. Матрицей смежности , каждый элемент которой определяется следующим образом: .Эта матрица всегда квадратная порядкомn,бинарная (состоит из 0 и 1), на главной диагонали все элементы 0, симметрична относительно главной диагонали, сумма всех элементов, стоящих либо в строке или столбце, определяет степень соответствующей вершины .

Кроме того, для любого геометрического графа единственнаяабстрактная интерпритация – это набор из трех объектов , гдефункция инцидентности:, т.е. в качестве инцидента выступают ребра графа, а значениями этой ф-и явл-ся вершины графа, инцидентные данному ребру. Для любого абстрактного графа существует целое мн-во соответствующих геометрических графов.

В теории графов понятие равенства заменено термином изоморфизм.

Два графа и- изоморфные, если выполняется равенство, где- биективные отображения – функции композиций двух функций. Т.е. графы изоморфныпосле применения каждой из этих композиций получаются одни и те же вершины. Композицией нескольких функций наз-ся последовательное изменение каждой из этих функций, причем аргументом каждой последующей функции явл-ся значение предыдущей. Для установления изоморфности отображения чаще всего задают с использованием номерования, т.е.

. Но такой метод не всегда эффективен, и в случае сложных графов задача проверки изоморфизма еще не решена.

Операции над частями графа.

Граф Н называется частью графа G, , если множество его вершинA(H) и ребер U(H) является подмножеством множеств вершин A(G) и ребер U(G) соответственно, т.е. .

Над частями графа G могут производиться следующие операции:

• Дополнение к части Н – определяется множеством всех ребер графаG, не принадлежащих Н: U(H),;

• Сумма частейиграфаG:

и;

• Произведение :

и .

Две части инепересекаются по вершинам, если они не имеют общих вершин , а значит , и общих ребер. Частиине пересекаются по ребрам, если . Если, то сумманазываетсяпрямой.

Последовательность ребер, в которой каждая пара соседних имеет общую вершину, наз. маршрутом.

Путем из вершины вназ. такой соединяющий маршрут, в котором каждое ребро не встречается более одного раза.

Две вершины графа наз-ся связными, если существует маршрут, их соединяющий. На множестве всех вершин графа можно ввести отношение связности:

1. рефлексивность – любая вершина графа сама с собой связна;

2. симметричность – если вершина а связна с вершиной b, то и вершина b связна с вершиной а.

3. транзитивность - если вершина а связна с вершиной b, и вершина b связна с вершиной с, то вершины а и с связны, т.е. существует маршрут .

Отношение связности явл-ся отношением эквивалентностиразбивает любое множество на непересекающиеся классы, называемые связными компонентами.

Граф, состоящий из одной связной компоненты, наз-ся связным. Или: граф наз. связным, если любые две его вершины связны.

Деревом называется всякий связный граф, не имеющий циклов.

Изображение графа, в котором никакие 2 ребра не имеют общих точек, кроме их общей вершины, наз. плоским представлением графа. Граф, имеющий плоское представление, наз. плоским. Гранью плоского графа наз-ся максимально связная область на плоскости.

Граф, изоморфный плоскому графу, наз. планарным.

Теорема Понтрягина – Куратовского: Граф явл-ся планарным он не содержит в качестве подграфа граф типа1 или граф типа 2(граф, который можно было сжать до 5- и 6 – угольного графа).

Теорема Эйлера: для любого плоского графа без перегородок справедливо соотношение

, n - число вершин; m - число ребер; k-число граней

Доказательство: Пусть дан связный граф G с n, m, k. Предположим, что этот граф содержит циклы. Рассмотрим процедуру удаления ребра, лежащего в цикле. В результате получим граф с. Составим соотношение:, т.е. соотношение не изменило своей величины. Если в полученномостались еще циклы, то опять повторяем описанную процедуру удаления ребра. При этоми т.д. до тех пор, пока не получим граф без циклов, т.е. дерево.

(бесконечно-удаленная грань, т.е. элемент графа). По теореме о деревьях .

чтд.