3. Основные законы логики.

1. Свойства констант

2. Закон противоречия

Закон исключения третьего

3. Закон двойного отрицания

4.

5. Коммутативный закон дизъюнкции и конъюнкции

6. Ассоциативные законы

7. Дистрибутивные законы

8. Закон де Моргана

4. Логические функции.

Совокупность {0, 1, *, +, -} называют алгеброй логики.

Логической функцией от n – переменных (функцией алгебры логики или булевой функцией) называется n- арная функция, заданная на множестве {0, 1}.

, где - высказывательные переменные,,.

Все логические функции образуют класс , где- целое, положительное число.

Логическая функция может быть задана таблицей, в левой части которой указаны всевозможные двоичные наборы значений её переменных, в правой части соответствующие значения функций.

0	0	0	0
0	0	1	1
0	1	0	1
0	1	1	1
1	0	0	0
1	0	1	0
1	1	0	0
1	1	1	1

Наборы значений переменных, на которых функция принимает значение 1, называются единичными наборами, а их совокупность единичным множеством данной функции. Наборы значений переменных, на которых функция принимает значение 0, называются нулевыми наборами, а их совокупность нулевым множеством.

Теорема. Существует булевых функций отn переменных.

5. Нормальные формы. Совершенные нормальные формы.

Пусть - система высказывательных переменных.

Дизъюнктивная нормальная форма называется совершенной (СДНФ), если она представляет дизъюнкцию полных различных элементарных конъюнкций.

Пример 3. - СДНФ.

- не является СДНФ.

Элементарной дизъюнкцией (конъюнкцией) называется дизъюнкция (конъюнкция) некоторых переменных этой системы или их отрицания.

Дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ) называется формула, являющаяся дизъюнкцией некоторого числа элементарных конъюнкций.

Теорема. ДНФ является тождественно ложной тогда и только тогда, когда каждая её составляющая элементарной конъюнкции содержит некоторую высказывательную переменную и её.

Элементарная конъюнкция (дизъюнкция) называется полной, если она содержит все переменные данной системы и при том только по одному разу.

Алгоритм построения сднф.

1) Приводим формулу к ДНФ.

2) Избавляемся от повторяемости переменных

3) Избавляемся от повторяющихся элементарных конъюнкций.

4)Дополняем элементарные конъюнкции недостающими высказывательными переменными.

- СДНФ.

Теорема. Для любой не тождественно истинной формулы алгебры высказывания существует эквивалентная ей СДНФ.

6. Арифметические операции в алгебре логики. Полином Жегалкина.

, где - арифметические операции сложение и умножение по модулю 2.

Полиномом Жегалкина называется полином вида

, где

Суммирование ведётся по всем несовпадающим наборам .

Теорема. Для любой булевой функции существует единственный полином Жегалкина.

Булева функция от переменных называется линейной, если её полином Жегалкина имеет вид: .