Интеграл Пуассона

Физические задачи, приводящие к уравнению параболического типа.

Рассмотрим стержень длины l (стержень достаточно тонкий). U₁, U₂ – температура на концах стержня. Линейное распределение температуры: U(x)= U1+ ((U2-U1)x)/l. Количество тепла, протекающего по поперечному сечению стержня S за единицу времени: Q=-kS U/x,где k – коэффициент теплопроводности, зависящий от материала стержня. Рассмотрим процесс распространения температуры в стержне. U(x,t) – температура в сечении x в момент времени t. Количество тепла, протекающее через сечение за промежуток <t,t+t>:, где q – плотность теплового потока= кол-ву тепла, потекающего в единицу времени через единичную площадку. q=-k(x)U/x -закон Фурье. Интегральная форма закона Фурье: Q=-S(от t1 t2) kU/x (x,t)dt. Здесь Q – кол-во тепла, протек за промежуток t1,t2 через сечение x. Количество тепла, которое надо сообщить однородному телу, чтобы повысить его температуру на Q: , гдес – удельная теплоемкость. Если стержень неоднороден, то Q= (от x1 x2) cSUdx, F(x,t) - плотность тепловых источников. В итоге действия тепловых источников выделится тепло: dQ=SF(x,t)dxdt => Q=S(отt1до t2)(от x1 до x2)F(x,t)dxdt. Используя закон сохранения энергии, теорему о среднем, теорему о конечных приращениях получим уравнение теплопроводности: /x (kU/x) +F(x,t) = cU/t. Если стержень однороден, то U/x =a²²U/x²+f(x,t), где a²=k/c-коэффициент теплопроводности, f(x,t)=F(x,t)/c. Если источники тепла отсутствуют, то U/x =a²²U/x². Уравнение теплопроводности в :U/t =a²(²U/x²+²U/y²+²U/z²)+f(x,y,z,t).

Принцип максимального значения. Теорема единственности. Th1. Если функция U(x,t) определена и непрерывна в прямоугольнике 0<=t<=T, 0<=x<=l, удовлетворяющая уравнению теплопроводности в точках открытого прямоугольника 0<=t<=T, 0<=x<=l, то минимальное и максимальное значения функции U(x,t) достигаются или в начальные моменты, или в точках границы x=0,x=l. Физ.смысл: Если температура на границах и в нач момент не превосходит некот зн-я М, то при отсутствии источников тепла не может создаться температура >М. Th2: Если две функции U1(x,t), U2(x,t) определены и непрерывны в0<=t<=T, 0<=x<=l, удовлетворяют уравнению теплопроводности дляt>0, 0<x<l, одинаковы на начальных граничных условиях U1(x,0)=U2(x,0)=(x), U1(0,t)=U2(0,t)=1(t), U1(l,t)=U2(l,t)= 2(t), то U1(x,t)=U2(x,t). Сл1. Если два решения ,уравнения теплопроводности удовлетворяют условиями, то

.Сл2. если три решения уравнения теплопроводности удовлетворяют условиюпри,,, то эти же неравенства выполняются дляпри.

Сл3. Если для двух решений теплопроводности ,имеет место неравенстводля,,, то дляимеет место неравенствопри.

Th3. Теорема единственности на бесконечном промежутке. Если ,непрерывны и ограничены во всей области изменения переменныхx,t, удовлетворяю уравнению теплопроводности при ,и условиюдля

.Постановка основных задач. Краевые задачи: 1) Граничные усл-я м/б на конце стержня x=0 с зад t, т.е. U(0,t)=(t)- ф-я на некот промежутке [0,T]. 2) На конце x=l могут задаваться значения производной, т.е. U/x(l,t)=(t). 3) На конце x=l задается линейное соотн между произв и ф-й. U/x(l,t)=-[U(l,t)-(t)], аналогично в начале U/x(0,t)=-[U(0,t)-(t)].

Первая краевая задача состоит в отыскании решений U(x,t)=U для ур-я U/x =a²²U/x², удовл гран усл U(x,0)=(x), U(0,t)=1(t), U(l,t)=2(t).

Общая первая краевая задача.Найти решение уравнения: U/x =a²²U/x2+f(x,t) с дополнительными условиями U(x,0)=(x),U(0,t)=1(t),U(l,t)= 2(t).Будем искать решение задачи в виде: U(x,t)=u(x,t)+V(x,t).Подставляя в исходное уравнение, получим: V^/(x,t)=a²V^//_xx(x,t)+f_(x,t), где f_(x,t)=f(x,t)-(u^/_t(x,t)-a²u^//_xx(x,t)) с дополнительными условиями: ,,. Функциявыбирается таким образом, чтобы. Т.о. Первая краевая задача решена.

Метод разделения переменных. Однородная краевая задача.

Задача: найти в непрерывной замкнутой области решение однородного уравнения, где, удовлетворяющее начальному условиюи однородным граничным условиям.

Метод разделения переменных: решить уравнениеU/x =a²²U/x², удовлетворяющее однородным граничным условиям U(0,t)=0; U(l,t)=0. U(x,t)=X(x)T(t)=> X(x)T^/(t)=a²X^//(x)T(t), 1/a² T^//T = X^///X=- => X^//+X=0 и T^/+a²T=0, кроме того X(0)=0, X(l)=0. Мы получили задачу на собственные значения – задача Штурма-Лаувиля: для значения=(n)²/l², n=1,2,... Существуют нетривиальные решения этой задачи: X_n(x)=Sinnx/l. Этим значениям соответствует решения уравнения T^/+a²T=0: . В итоге получаем решение задачи:=. Перейдем к решению основной задачи. Для этого составим формальный ряд:. Функцияудовлетворяет граничным условиям, т.к. им удовлетворяют все члены ряда. Из начальных условий =>=>является коэффициентом Фурье функциипри разложении ее в ряд поsin в (0,l): . В силу принципа суперпозиции ряд составленный из частных решений тоже является решением.

Интеграл Пуассона U(r,)=1/2 (-;) f(t) (a²-r²)/(r²-2arCos(-t)+a²) dt. k(r,,a,t)= (a²-r²)/(r²-2arCos(-t)+a²) наз ядром Пуассона.

Фундаментальное решение ур-я теплопроводности. Рассм на бесконечной прямой зад Коши. Найти огр ф-ю U(x,t) опред в обл -<x<, t>0, удовл ур-ю теплопроводности U/t=a² ²U/x²(1)с нач усл U(x,0)=(x)(2). Ф-я U(x,t) непр при t=0,т.е. lim U(x,t)= (x₀) (xx0,t0), (x₀)-непр ф-я. Рассм схему реш зад(1)(2). Ищем огранич реш ур-я(1) в виде произведения U(x,t)=X(x)T(t)=> X(x)T^/(t)=a²X^//(x)T(t), 1/a² T^//T = X^///X=-² => X^//+²X=0 и T^/+a²²T=0. X(x)=e^ix T(t)=A()e(в степени -²a²t). В итоге получаем U_(x,t)=A()e(в степени -²a²t+ix). Эта ф-я есть реш ур-я(1). -люб число. Образуем ф-ю U(x,t)=(-;+ )( A()e(в степени -²a²t+ix)d). При t=0 U(x,0)=(x)= (-;+ )(A()e(в степени ix)dx). Это значит, что ф-я (x) есть обратное преобразование Фурье. 1/2 (-;+ )(e(в степени -ix)f(x))=f() прямое преобраз Фуре. Воспользуемся формулой преобразования Фурье. A()=1/2 (-;+ )() e(в степени -i)d. U/t=(-;+ ) (A()e(в степени -²a²t+ix)(-i)d. U/x=(-;+ )(A()e(в степени -²a²t+ix) (i)d. ²U/x²=(-;+ )(A()e(в степени -²a²t+ix) (-²)d.подставим, получим U(x,t)= 1/2 (-;+ )(-;+ )()e(в степени i)d e(в степени -²a²t+ix)d=1/2 (-;+ )(-;+ )()e(в степени -²a²t+i(x-)) d. Внутренний интеграл = 1/2(a²t) *e(в степени -(x-)²/4a²t). Подставим, получим U(x,t)=(-;+ )G(x,,t) ()d, где G(x, ,t)= 1/2(a²t) *e(в степени -(x-)²/4a²t). G(x, ,t) наз фундаментальным реш ур-я теплопроводности.

№38. Уравнения эллиптического типа.

Уравнение Лапласа является простейшим уравнением эллиптического типа, т.е. или,U(x,y,z). Неоднородное ур-ние Лапласа называется уравнением Пуассона, т.е. .

Рассмотрим некоторый объем Т ограниченный поверхностью S. Задача о стационарном распределении температуры внутри тела T формируется так: найти ф-цию U(x,y,z), удовлетворяющую внутри Т ур-нию: и одному из граничных условий:

1)U=f₁ на S, U(x,y,z)=f_1, - первая краевая задача.

2)- вторая краевая задача наS. - производная по внешней нормали поверхностиS.

3) наS. иh – заданные ф-ции. Первая краевая задача называется задачей Дирихле, вторая – задача Неймана, третья – это смешанная задача. Если ищется решение в области Т₀ внутренней(внешней) по отношению к S поверхности, то задача внутренняя(внешняя) краевая задача.

Частные решения уравнения Лапласа. Ур-ние Лапласа в сферических координатах имеет вид: (1). Важный класс представляет решение ур-ния Лапласа, зависящее только от одной переменной. Решение ур-ния ЛапласаU=U(r) обладающее сферической симметрией определяется из(1). интегрируя получим:, отсюда имеем

, . Выберем постоянные с₁, с₂, если с₁=1, с₂=0, то это решение наз-ся фундаментальным решением ур-ния Лапласа в пространстве.

Ур-е Лапласа в цилиндрических координатах: ,,

Функция Грина. Формула: (1), где

- производная по направлению ,dV=dxdydz.

Формула (1)- первая форма Грина. учитывая это формулу Грина запишем в виде:(2)

Поменяем ф-ции U и V местами: 3. Вычтем из (2) (3), получим:(4). Формула (4)- вторая формула Грина. Основная формула Грина:(5), где

т. М₀ лежит на границе Т.

Если ,U- гармоническая, то формула (5) принимает вид (6).

Единственность и устойчивость первой краевой задачи. Пусть требуется найти ф-цию U, которая: а) определена и непрерывна в замкнутой области T+S. б) удовлетворяет уравнению Лапласа U=0 внутри области T. с) принимает заданные значения на границе S.

Теорема1 (единственности): первая краевая задача имеет единственное решение.

Теорема2: решение первой краевой задачи с кусочно-непрерывными граничными значениями единственно.

Интеграл Пуассона: . Под интегральное выражение - называется ядро Пуассона.