№37 Физические задачи, приводящие к уравнению параболического типа

l - длина стержня (стержень достаточно тонкий)

U₁, U₂ – температура на концах стержня

Линейное распределение температуры: Количество тепла, протекающего по поперечному сечению стержняS за единицу времени:

где k – коэффициент теплопроводности, зависящий от материала стержня.

Рассмотрим процесс распространения температуры в стержне. U(x,t) – температура в сечении x в момент времени t. Количество тепла, протекающее через сечение за промежуток :, гдеq – плотность теплового потока. -закон Фурье.

Интегральная форма закона Фурье:

Количество тепла, которое надо сообщить однородному телу, чтобы повысить его температуру на :

, где с – удельная теплоемкость. Если стержень неоднороден, то

- плотность тепловых источников. В итоге действия тепловых источников выделится тепло: =>. Используя закон сохранения энергии, теорему о среднем, теорему о конечных приращениях получим уравнение теплопроводности:

Если стержень однороден, то , где-коэффициент теплопроводности,.

Если источники тепла отсутствуют, то

Уравнение теплопроводности в :

Принцип максимального значения. Теорема единственности.

Теорема 1. Если функция определена и непрерывна в прямоугольнике, удовлетворяющая уравнению теплопроводностив точках открытого прямоугольника, то минимальное и максимальное значения функциидостигаются или в начальные моменты, или в точках границы,.

Теорема 2. Если две функции ,определены и непрерывны в, удовлетворяют уравнению теплопроводностидля, одинаковы на начальных граничных условиях,,, то.

Следствие 1. Если два решения ,уравнения теплопроводности удовлетворяют условиями, то.

Следствие 2. если три решения уравнения теплопроводности удовлетворяют условиюпри,,, то эти же неравенства выполняются дляпри.

Следствие 3. Если для двух решений теплопроводности ,имеет место неравенстводля,,, то дляимеет место неравенствопри.

Теорема 3. Теорема единственности на бесконечном промежутке. Если ,непрерывны и ограничены во всей области изменения переменныхx,t, удовлетворяю уравнению теплопроводности при ,и условиюдля.

Метод разделения переменных. Однородная краевая задача.

Задача: найти в непрерывной замкнутой области решение однородного уравнения, где, удовлетворяющее начальному условиюи однородным граничным условиям.

Метод разделения переменных:

1. Найдем решение следующей задачи: решить уравнение , удовлетворяющее однородным граничным условиям. Уравнение представимо в виде=>=>и, кроме того. Мы получили задачу на собственные значения – задача Штурма-Лаувиля:для значения. Существуют неправильные решения этой задачи:. Этим значениям соответствует решения уравнения:. В итоге получаем решение задачи:.

2. Перейдем к решению основной задачи. Для этого составим формальный ряд: . Функцияудовлетворяет граничным условиям, т.к. им удовлетворяют все члены ряда. Из начальных условий =>=>является коэффициентом Фурье функциипри разложении ее в ряд поsin в (0,l): .

В силу принципа суперпозиции ряд составленный из частных решений тоже является решением.

Общая первая краевая задача

Найти решение уравнения: с дополнительными условиями.

Будем искать решение задачи в виде: . Подставляя в исходное уравнение, получим:, гдес дополнительными условиями:,,. Функциявыбирается таким образом чтобы.

|=> Первая краевая задача решена.