Линейные преобразования евклидова пространства

Нормальный оператор

(если сопряженный совпадает с обратным) или

Пример:

, - норм.

Ортогональные операторы

Линейный оператор называется ортогональным, если

Для того чтобы оператор был ортогональным, необходимо и достаточно, чтобы его матрица в ортонормированном базисе была ортогональной.

Ортогональные операторы и только они сохраняют длину вектора, т. е.

Сопряженные операторы

Оператор называется сопряженным линейному оператору, если

Оператор также является линейным оператором. Еслиf в некотором ортогональном базисе имеет матрицу A, то в этом базисе оператор имеет матрицу.

Свойства сопряженных операторов: (f - невырожденный).

Самосопряженные операторы

Линейный оператор называется самосопряженным (симметрическим), если

Для самосопряженного оператора . Операторявляется самосопряженным тогда и только тогда, когда его матрица в некотором ортонормированном базисе симметрическая.

Свойства самосопряженных операторов: 1) самосопряженный оператор имеет только действительные собственные числа; 2) всякий самосопряженный оператор является оператором простой структуры; 3) для всякого самосопряженного оператора существует ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов этого оператора.

Самосопряжённый оператор - совпадающий со своим сопряжённым иначе называется эрмитовым.

Комплексное линейное пространство называется унитарным пространством .

называется унитарным оператором, если он сохраняет скалярное произведение векторов (сохраняется длина векторов).

Док-во: - ортонормированная база,,.

, ,. Если, тодлина вектора после действия оператора сохраняется.

7. Действительные числа. Функция действительной переменной. Предел функции. Непрерывные функции.

Система, состоящая из всех рациональных (все числа вида) и всех иррациональных(все бесконечные непериодические десятичные дроби) чисел, называется системойдействительных (вещественных) чисел .

Свойства действительных чисел:

1. - определена операция сложения

• - коммутативность сложения;

• - ассоциативность сложения;

• - св-во нуля;

• - св-во противоположного числа

Выполнение этих св-тв означает, что - абелева (коммутативная) группа по сложению.

2. - определена операция умножения

• - коммутативность умножения;

• - ассоциативность умножения;

• - св-во единицы;

• - св-во обратного элемента.

- абелева группа по умножению.

3. - св-во дистрибутивности

4. 

• - св-во рефлексивности;

• - з-н тождества;

• - св-во транзитивности.

- линейно-упорядоченное множество.

• - св-во сохранения неравенства;

• - з-н сохранения знаков.

5. Th. Архимеда: для .

6. Th. Дедекинда (о св-ве полноты или непрерывности мн-ва )

] - два произвольных множества.

] поставлен в соответствие один и только один. Тогда это соответствие называетсяфункцией с областью определения и областью значений, лежащей в.

Свойства функций:

1. Ф-я наз. строговозрастающей (возрастающей) на мн-ве , если большему значению аргумента соответствует большее значение ф-ции.

Ф-я наз. возрастающей (неубывающей) на мн-ве , если большему значению аргумента соответствует неменьшее значение ф-ции.

Ф-я наз. строгоубывающей (убывающей) на мн-ве , если большему значению аргумента соответствует меньшее значение ф-ции.

Ф-я наз. убывающей (невозрастающей) на мн-ве , если большему значению аргумента соответствует небольшее значение ф-ции.

Все эти ф-ции наз-ся монотонными.

2. Ф-я наз-сячетной, если

• мн-во симметрично относительно начала координат;

• .

Ф-я наз-сянечетной, если

• мн-во симметрично относительно начала координат;

• .

3. Ф-я наз-сяпериодической на мн-ве , если, чтои. Числоназ-ся периодом ф-ции.

4. Ф-я , опр-ная на мн-веX наз-ся ограниченной сверху (снизу), если мн-во ее значений ограничено сверху (снизу).

M(m) –верхняя (нижняя) граница ф-ции на множествеX.

Ф-я наз-сяограниченной на мн-ве , если . Это опр-е.

Наименьшая из верхних границ наз-ся верхней гранью ф-ции .

Наибольшая из нижних границ наз-ся нижней гранью ф-ции .

Ф-я наз-ся неограниченной, если она не ограничена ни сверху, ни снизу.

Определение предела функции:

Точка называетсяпредельной точкой мн-ва , если вокрестности т.найдутся точки мн-ва, отличные от.

1. общее определение (на языке окрестностей):

Число наз-ся пределом ф-циипри, если дляокрестноститочкинайдется такая окрестностьточки, что для всехиззначение.

.

2. по Коши (на языке ):

] (аналогично формулируется опр-е предела длядругихи)

.

3. по Гейне:

Число называется пределом функциипри, если для любой последовательностипоследовательность, т.е.

Th: Определение предела функции по Гейне эквивалентно определению предела функции по Коши.

Элементарные свойства предела:

1. Th. о единственности предела.

Если функция имеет предел, то этот предел единственный.

2. Th. о локальной ограниченности ф-ции, имеющей конечный предел.

Если ф-я имеет конечный предел в точке , то в некоторой проколотой окрестности этой точки ф-я ограничена.

Док-во:

ограничена в ч.т.д.

3. Th. о сохранении ф-цией знака своего предела.

] предел ф-ции приравени. Тогда в некоторой проколотой окрестности точкизначения ф-ции положительны (отрицательны).

Основные свойства предела:

1. Th. Критерий -ния предела.

Для того, чтобы конечный пределн. и д., чтобыбыла бесконечно малой величиной в точке.

2. Th. О пределе суммы, произведения и частного.

] -ют конечные пределы:и. Тогда

при .

Докажем :

, - б.м. в т..

- б.м. в т. .

ч.т.д.

3. Th. о предельном переходе в неравенстве.

Если и, в некоторой проколотой окрестности точкивыполняется неравенство, то в этой окрестности выполняется неравенство.

4. Th. о пределе промежуточной функции.

] даны ф-ции ,. Тогда.

] опр-на на мн-ве, мн-во,- предельная т. мн-ва.

Th. Если мн-во , то. Иначе: предел в т.и равен, т. и т. т., к.пределы по мн-вамив т.и эти пределы совпадают с.

Пусть функция задана на мн-веи- предельная точка этого множества. Функция называетсянепрерывной в точке , если предел функции в этой точке равен ее значению, т.е.

Функция, непрерывная в каждой точке множества , называетсянепрерывной на множестве

Th: Если функции инепрерывны в точке, то в точкенепрерывны функции.

Функция называется непрерывной слева (справа) в точке, если().

Th: ] левый и правый пределы функциив точке. Для непрерывности функциив точкен. и д., ч. функция в этой точке была непрерывна слева и справа.

Классификация точек разрыва:

Пусть опр-на наи. Точканазываетсяточкой разрыва функции , если в этой точке ф-ция не является непрерывной в этой точке. Изолированная точка не м.б. точкой разрыва.

1. , но . Тогда т.- т.разрываI рода, разрыв ф-ции устраним.

2. . Тогда т. - т.разрываI рода, разрыв ф-ции неустраним.

3. Хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности. Тогда т. - т.разрываII рода, разрыв ф-ции неустраним.

Функция называется непрерывной на отрезке (на множестве точек, удовлетворяющих неравенствам), если она непрерывна в точках интервала(мн-во точек, для которых), непрерывна справа в точкеи непрерывна слева в точке.

Свойства непрерывных функций на отрезке:

1. Th: Если функция непрерывной на отрезке , то она ограничена на нем.

2. Th: Непрерывная на функциядостигает в некоторых точках отрезкасвоих максимума и минимума, т.е. существуют точкии, принадлежащие, для которых имеет место,. Т.о.,для всех.

3. Th: Если функция явл. непрерывной на отрезке и числаине равны нулю и имеют разные знаки, то на интервалеимеется по крайней мере одна точкатакая, что

Если функция явл. непрерывной на ,и- произвольное число, находящееся между числамии, то на интерваленайдется, по крайней мере, одна точка, для которой

Теоремы о промежуточных значениях непрерывных функций.

1. Первая теорема Больцано-Коши.

Если ф-я опр-на и непр-на на отрезкеи на концах отрезка принимает значения разных знаков, то м/у точкамии, такая, что.

Док-во:

Делим пополам. Выбираем тот отрезок, в левом конце которого ф-я принимает отриц. значение, а в правом – положительное, обозначим. Если оказалось, что в точке деления ф-я равна нулю, то ч.т.д.

Делим пополам. Если в точке деления ф-я равна нулю, то ч.т.д. Если нет, то делаем описанную выше процедуру.

В итоге получим посл-ть вложенных отрезков: .

По принципу вложенных отрезков .

ч.т.д.

2. Вторая теорема Больцано-Коши.

Если ф-я опр. и непр. на отр.и на концах этого отрезка принимает разные значения, то для.

3. Первая теорема Вейерштрасса.

Непрерывная на отрезке функция ограничена.

4. Вторая теорема Вейерштрасса.

Непрерывная на отрезке функция принимает на этом отрезке свои наибольшее и наименьшее значения.

В данных теоремах отрезок нельзя заменить интервалом или полуинтервалом.

5. Теорема Кантора.

Функция, непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на этом отрезке.

Функция называетсяравномерно непрерывной на , еслитакое, что

Из равномерной непрерывности функции на , очевидно, следует её непрерывность в каждой точке множества. Обратное неверно.

Функция, непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на этом отрезке.

Если для различных элементовиизф-я ставит в соот-вие два различных эл-таииз, то ф-яназ-ся инъекцией. При этом условии ф-яимеет обратную ф-ю, причем она также будет инъекцией.

Th. Если ф-я строго возрастает (убывает) и непрерывна в некот. промежутке, то в соот-щем промежуткеее значенийобратная ф-я, кот. непр. и строго возр. (убывает).

.

Th. ] ф-я непр в т., а ф-янепр. в т.. Тогда сложная ф-янепр. в т..

Число e.