Простейшие типы точек покоя. Автономные динамические системы двух уравнений первого порядка. Типы особых точек на фазовой плоскости

.

1. – это автономная система, т. к. правая часть от времени не зависит.

- решение системы (1)

Точку (a₁,…,a_n) фазового пространства (x₁,…,x_n) будем называть точкой покоя (точкой положения равновесия) системы. (особая точка)

Точка x_i=0 – точка покоя.

Пусть S(R) – шар

Опр. Будем говорить, что точка покоя x₁=0,…,x_n=0 системы (1) устойчива, если для такая чтотраектория системы, начинающаяся в момент времениt=t₀ в точке , все время остается в шаре.

Точка покоя асимптотически устойчива, если:

1. она устойчива;

2. что каждая траектория системы, начинающаяся в точке стремится к началу координат, когда время неограниченно растет.

Пример 1:

Траектории – это концентрические окрестности с центром в начале координат. Начало координат – точка покоя (0;0). Если взять , тотраектория, начинающаяся в, остается в.=> точка покоя (0;0) устойчива.

Однако, траектории не приближаются к 0 при => точка покоя асимптотически устойчива.

Пример 2:

С течением времени точки приближаются к началу координат. => точки покоя асимптотически устойчивы.

Пример 3:

=> устойчивости вообще нет. Точка покоя неустойчива.

Исследуем расположение траектории в окрестности точки покоя x=0, y=0 системы двух линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами:

Предполагается, что определитель (0, 0) – точка покоя.

Решение системы (2) будем искать в виде:

После нахождения λ из характеристического уравнения (3), величины α и β находятся из системы (*) с точностью до постоянного множителя.

Возможные случаи:

А) Корни λ₁, λ₂ характеристического уравнения (3) действительные и различные. Общее решение системы (2) имеет вид:

1. Пусть λ₁<0, λ₂<0.Точка покоя (0;0) в этом случае асимптотически устойчива, т.к. => Точка покоя называется устойчивым узлом.

При с₂=0 из (4) имеем:

Значит, траекториями являются лучи, входящие в начало координат с коэффициентами:Если с₁=0, то получаются лучи, входящие в начало координат с коэффициентами:

Пусть с₁≠0 и с₂≠0, |λ₁| > |λ₂|.

при Т.е. все траектории, исключая лучив окрестности точки покоя (0;0) имеют направление луча:

2. Пусть λ₁>0, λ₂>0. Решение записано в виде (4). Если λ₁>0, λ₂>0, то расположение траектории такое же, как в предыдущем случае, но точки по траектории движутся в противоположном направлении. Точки такого рассматриваемого типа называют неустойчивым узлом.

3. Пусть λ₁>0, λ₂<0. В этом случае точка покоя неустойчива. Действительно, пусть в (4) с₂=0, тогда:

. => при движении по лучу точка уходит от точки покоя в-ть.

Пусть в (4) с₁=0, тогда:

=> при движении по лучу точка приближается к точке покоя.

Пусть Тогда можно убедиться, что при движениитраектория покидает окрестность точки покоя. В этом случае, точка покоя называетсяседлом.

B) Корни λ₁, λ₂ характеристического уравнения (3) комплексные:

Общее решение системы (2) можно записать в виде:

где с₁, с₂ – постоянные коэффициенты;

c₁^*, с₂^* - некоторые линейные комбинации этих постоянных.

1)

То в (5) приа 2-е множители в (5) ограниченные периодические функции. В этом случае траекториями будут спирали, асимптотически приближающиеся к началу координат приТочка покояx=0, y=0 асимптотически устойчива. Она называется устойчивым фокусом.

2)

Этот случай переходит в предыдущий, если рассматривать не аВ этом случае траектории не отличаются от предыдущих траекторий, но придвижение происходит в обратном направлении. Точка покоя неустойчива. Она называетсянеустойчивый фокус.

3)

Из (5) видно, что решением системы (2) будут периодические функции (т.к. в (5) 1-й множитель равен1,а функции периодические). Траекториями являются замкнутые кривые, содержащие внутри себя точку покоя, называемая в этом случае центром. Центр является устойчивой точкой покоя, однако асимптотической устойчивости нет, т.к.:

: не0 при(или т.к. точка (x(t),y(t))не(0,0) при).

- этими кривыми являются логарифмические спирали, навивающиеся на начало координат, кот. достиг-ся в пределе при в зависимости от того, будет лиa<0 или a>0.

В этом случае точка покоя называется фокусом.

Если a=0, то ρ=с. Интегральными кривыми являются окружности с центром в начале координат. В этом случае точка покоя называется центром.

С) λ₁=λ₂ .

1) λ₁=λ₂ <0.

при =>Точка (0,0) – асимптотически устойчива.

Вырожденный узел отличается от узла в случае А) 1) тем, что в случае А) 1) имеется луч, который не касается траектории.

2) λ₁=λ₂ >0.

В этом случае решение находится по формуле (7). Если в (7) вместо t взять –t, то получим предыдущий случай. => траекториями будут те же, что и в предыдущем случае, но точки при движении по траектории будут удаляться от точки покоя. Движение неустойчиво. В этом случае имеет место неустойчивый вырожденный узел.

№ 36 Ур-я гиперболического типа Математическое описание многих физ процессов приводит к диф ур-ям с частными производными 2-го порядка:(1)

(1) часто оказывается линейным относит. частных производных т е имеет вид(2)

уравнение в точке принадлежит к гиперболическому типу если кв форма (3) после приведения к каноническому виду имеет все коеф-ты, кроме одного, одного знака, а этот один коэффициент имеет противоположный знак остальным. Уравнение (2), имеющее в каждой точкегиперболический тип называется гиперболическим в облG

Пример: волновое уравнение -

К ур-ям гиперболического типа приводят задачи, связанные с процессами колебаний, например, задача о колебаний струны, мембраны, газа, электромагнитных колебаниях и т д. Характерной особенностью процессов, описываемых такими уравнениями, является конечная скорость их распространения

Задача Коши: Найти решение уравнения

(1), удовлетворяющее начальным условиям (2)

Ввиду неограниченности струны функции изаданы в.

В решении (*) (решение Даламбера) уравнения (1) нужно выбрать функции так, чтобы удовлетворить начальным условиям (2).

Из начальных условий (2) имеем:

,

откуда, интегрируя второе равенство, получим: -

, , (3)

где С —произвольная постоянная. Из равенств (3) находим:

(4)

подставив (4) в (*), будем иметь

или окончательно

(5)

Формула (5) дает обычное (классическое) решение уравнения (1) только в предположении, что имеет непрерывныепроизводные до второго порядка включительно, а —до первого.

При решении конкретных физических задач может оказаться что функции не удовлетворяют указанным условиям. Тогда нельзя утверждать, что существует решение задачи Коша В этом случае вводят так называемые «обобщенные решения» задачи Коши.

Будем называть обобщенным решением задачи Коши для уравнения (1) при начальных условиях (2) функцию U(x,t), являющуюся пределом равномерно сходящейся последовательности решений уравнения (1) при начальных условиях

если последовательность функций , имеющих непрерывные вторые производные, сходится равномерно к , а последова­тельность функций, имеющих непрерывные первые произ­водные, сходится равномерно к.

Метод Фурье или метод разделения переменных:

Рассмотрим гиперболическое уравнение

(1)

где р(х), р'(х), q(x) и ρ(х) — непрерывные функций при причемр (х) > 0, q (х), р(x) > 0.

Пусть требуется найти решение уравнения (1), удовлетворяющее однородным граничным условиям

(2) где α, β, γ, δ - постоянные, причем и начальным условиям

Будем сначала искать нетривиальные (т е не равные тождественно нулю) решения уравнения (1) в виде произведения

U(х, t) = X(x)T(t) (3)

удовлетворяющие только граничным условиям (2). Подставляя (3) в уравнение (1), получим (4):

или

Левая часть последнего равенства зависит только от х, а правая часть—только от t и равенство возможно лишь тогда, когда общая величина отношений (4) будет постоянной. Обозначим эту постоянную через—λ,. Тогда из равенства (4) получим два обыкновенных дифференциальных уравнения:

(5)

Чтобы получить нетривиальные решения уравнения (1) вида (3), удовлетворяющие граничным условиям (37), необходимо чтобы функция X (х) удовлетворяла граничным условиям (6):

Таким образом, приходим к следующей задаче Штурма—Лиувилля о собственных числах: найти такие значения параметра λ , при которых существуют нетривиальные решения уравнения (5), удовлетворяющие граничным условиям (6).

Эта задача не при всяком λ имеет отличное от тождественного нуля (нетривиальное) решение. Те значения параметра λ, при которых задача (5)—(6) имеет нетривиальное решение, называются собственными числами, а сами эти решения—собственными функциями, соответствующими данному собственному числу. В силу однородности уравнения (5) и граничных условий

(6), собственные функции определяются с точностью до постоян-рюго множителя. Выберем этот множитель так, чтобы (*)

Собственные функции, удовлетворяющие условию (*), называются нормированными.

Общая краевая задача для уравнения колебаний: найти решение уравнения

с дополнительными условиями

метод решения:

Введем новую неизвестную функцию v(x, t), полагая: u(x,t)=U(x,t) + v(x,t),

так что v (x, t) представляет отклонение функции u(х, t) от не­которой известной функции U(x, t).

Эта функция v(x, t) будет определяться как решение урав­нения

с дополнительными условиями

v (x, 0) = (х), ,

v_t (х, 0) =;;

v(0, t) =,

v(l, t) =,

Выберем вспомогательную функцию U(x, t), таким образом, чтобы

= 0 и = 0;

для этого достаточно положить

.

Тем самым общая краевая задача для функции u(х, t) сведена к краевой задаче для функции v(x, t) при нулевых граничных условиях (задача Коши)

Устойчивость решений. Решение уравнения (1) однозначно определено начальными условиями(2). Это ре­шение меняется непрерывно при непрерывном изменении на­чальных условий.

Теорема: Каков бы ни был промежуток времени [0, t₀] и какова бы ни была степень, точности ε, найдется такое , что всякие два решения уравнения (1) u₁(x,t) и u₂(x,t) в течение проме­жутка времени t₀ будут различаться между собой меньше чем. на ε:

если только начальные значения

отличаются друг от друга меньше чем на δ:

Теорема единственности:

Возможно существование только одной функции u(x,t), определенной в области и удовлетворяющей уравнению

, (1)

начальным и граничным условиям:

если выполнены условия:

1) функция u(x,t) и производные, входящие в уравнение (1), а также производная u_xt непрерывны на отрезке;

2) коэффициенты ρ(х) и k(х) непрерывны на отрезке

Поверхность называется характеристической поверхностью гиперболического уравненияили просто характеристикой, если в каждой точке этой поверхности имеет место равенство(-заданные вещественные функции,)

Задача с данными на характеристиках (Задача Гурса):

Требуется найти решение уравнения(**) (a, b, c, f –непрерывные функции), принимающее заданные значения на характеристиках x = х₀ и у = у₀:

(1)

Будем считать, что иимеют непрерывные производные первогопорядка и

Введем (2) тогда уравнение (**) равносильно системе трех уравнений

Отсюда в силу (1) и (2) следует, что