34.Линейные уравнения и системы с постоянными коэффициентами

Рассм ЛОДУ второго порядка с постоян коэф. (1), p,q-пост. Для отыскания общ реш необх найти два ЛНЗ реш этого ур-я. Реш будем искать виде ;;;;(2) – характеристическое ур-е ур-я (1). Если k-корень (2), то– реш (1). Пустьk₁ и k₂ – корни (2). Возможны случаи: 1) k₁<>k₂, ;– реш (1).. 2)k₁=k₂=-p/2, ;– реш (1). Общ.реш.3)k₁=+i; k₂=-i, y₁=e^k1x=e^(+i)x; y₂=e^(-i)x .Реш(1) будут ф-и z₁=1/2 (y1+y2)= ½ e^x[Cosx+iSinx+Cosx-iSinx] = e^xCosx; z₂=1/2i (y1-y2)= ½i e^x[Cosx+iSinx-Cosx+iSinx] = e^xSinx; z₁, z₂ ЛНЗ, общ реш (1) y=c₁z₁+c₂z₂= e^x[c₁Cosx+c₂Sinx].

Рассм ЛНДУ второго порядка с постоян коэф. (3), p,q-пост. Ощ реш ур(3) есть сумма общ реш ОУ(1) и ч.р.(3). Ч.р. находится методом неопределенных коэф. Найдем ч.р.в зав от вида пр.ч. 1) f(x)=a₀x^m++a_m-1x+a_m. Ч.р. ищется в виде многочлена, т.к. при диф-и степень мн-на понижается, то y_ ищется в зав от p, q.

а) q<>0, то k₁<>0,k₂<>0, тогда =b₀x^m+b₁x^m-1++b_m-1x+b_m; y^/= mb₀x^m-1+…+b_m-1; y^//=m(m-1) b₀x^m-2 +…+ b_m-1; подставим в ур-е (3) умн y_ на q, y^/ на p.

x^m | qb₀=a₀;

x^m-1 | qb₁+pmb₀=a₁; …….;

x | qb_m-1+2pb_m-2+6b_m-3=a_m-1;

1 | qb_m+pb_m-1+2b_m-2=a_m; Эта сист имеет ед реш, т.к. q<>0. Находим b_i и получаем .

б) q=0; p<>0; один из корней хар мн-на нуль, др не нуль.Ур (3) будет записано в виде k²+pk=0; ищется виде:

0 |=x(b₀x^m+…+b_m);

p | =(m+1)x^m+…+2b_m-1x+b_m;

1| =(m+1)mb₀x^m-1+…+2b_m-1; получаем сист

x^m | p(m+1)b₀=a₀;

x^m-1 | pmb₁+(m+1)mb₀=a₁; …….

1 | pb_m+2b_m-1=a_m; находим b_i и получаем ч.р. .

в) p=q=0 и инт-ся непосред-но

2)

q | =e^xu; u-неизвест.ф-я

p | y^/=e^xu+e^xu^/;

1| y^//=e^x(u^//+2u^/+²u);

u^//+u^/(2+p)+u(²+p+q)=P_m(x) a)  - не корень хар ур-я u=Q_m(x); =e^x Pm(x); б)  - корень кратности 1. ²+p+q=0, 2+p<>0; u=xQ_m(x); в) - корень кр 2. ²+p+q=0, 2+p=0; u=x²Qm(x); = x^ke^x Pm(x);

3) f(x)= e^x (Pm(x)Cosx+Q(x)Sinx); это можно привести к случаю 2 воспользовавшись ф.Эйлера Cosx = (e^ix+ e^-ix)/2; Sinx=(e^ix- e^-ix)/2; f(x)=y₁(x)+y₂(x); a) если +-i не корень хар мн-на. y₁ = e^(+i)xU_l (x); y₂ = e^(-i)xV_l (x), l=max(m,n); б) x – корень хар мн-на y₁ = xe ^(+i)xU_l (x); y₂ = xe^(-i)xV_l (x), применяя ф.Эйлера для a) =e^x[Se(x) Cosx+Re(x)Sinx]; б) =xe^x[Se(x) Cosx+Re(x)Sinx];

Система ЛДУ с пост коэф. y^/_i=сум(j=1,n) aijyi+bi(x), aij – некот зад числа, bi(x)-ф-и. Общ реш сист. есть лин комбинация реш однор сист, обр ФСР. y^/_i=сум(j=1,n) aijyi, yi(x) иск ф-и. Система ОДУ с пост коэф y1 = 1e(в ст kx);.; yn = ne( в ст kx); найдем производные и поставим в систему k1e(в ст kx)= (a111++a1nn)e(в ст kx); ; kne(в ст kx)= (an11++annn)e(в ст kx); разделим на e(в ст kx). Полученная сист ((a11-k) 1++a1nn=0;; an11++(ann-k) n=0) (3) имеет не нулевое реш, следов ее опр-ль обращ в нуль. Т.о. сист имеет ненул реш вида y1 = 1e(в ст kx);.; yn = ne( в ст kx) при (k)=0 – наз характерист ур-м сист.; В зав от корней нах реш сист. 1) Корни хар ур-я действительны и различны. Для каж из корней напишим сист (3) и опред коэф ¹1, ¹n. Реш сист (1) y¹₁=¹₁ e(в ст k₁x); ; y¹_n=¹_n e(в ст k₁x); ; yⁿ₁=ⁿ₁ e(в ст k_nx); ; yⁿ_n=ⁿ_n e(в ст k_nx);. Т.к. сист (1) есть сист ЛОУ, то и лин комб реш сист будет реш сист. y1=c1¹1e (в ст k₁x) ++ cnⁿ₁ e(в ст k_nx); yn = c1¹1e (в ст k₁x) ++ cnⁿ₁ e(в ст k_nx); 2) Корни хар м-на разл и среди них компл. Пусть имеются два сопряженных числа k1=+i; k2=-i; Корню k1 соотв реш. y¹1=¹1e(в ст (+i)x);; y¹n=¹ne(в ст (+i)x); Корню k2 соотв y²1=²1e(в ст (-i)x);; y²n=²ne(в ст (-i)x); Дейст и мнимые части компл реш сист ест реш этой сист., тогда получаем систему y_¹_j=e^x(¹_jCosx+²_jSinx); y_²_j=e^x(¹_jSinx+²_jCosx); j-действ числа.