33. Линейные уравнения и системы.

Ур- вида y^/+p(x)y=q(x) наз линейным. (p,q - непрерывны)

Рассмотрим дифференциальное уравнение (1), где- функции, непрерывные на некотором интервале.

Это уравнение называется линейным, поскольку все величины входят в него в первой степени, т.е. линейным образом. Если, то это уравнение называетсялинейным однородным (2). Если же, то (1) –линейное неоднородное уравнение.

Удобно записывать уравнения (1) и (2) в операторной форме: и, соответственно, где величинуможно рассматривать как результат действия линейного дифференциального операторана функцию.

Теорема 1. Для любого и любыхзадача Коши имеет единственное решение, определенное на.

Док-во. Применим общую теорему существования и единственности. Уравнение перепишем в виде. Соответствующая функцияимеет вид. Ее частные производные поравны, соответственно. Поскольку, по условию, непрерывны на, все условия общей теоремы выполнены. Применяя ее, получаем требуемое.

Определение. Любые линейно независимых решений линейного однородного дифференциального уравнения-ного порядка называетсяфундаментальной системой решений этого уравнения.

Теорема 2. Решения уравнения (2) образуют фундаментальную систему решений этого уравнения тогда и только тогда, когда их определитель Вронскогоотличен от 0 хотя бы в одной точке.Теорема 3. Для любого линейного однородного дифференциального уравнения (2) существует фундаментальная система его решений.

Теорема 4. Пусть - фундаментальная система решений уравнения (2). Тогда для любого решенияэтого уравнения существуют постоянныетакие, что.

Док-во. Возьмем произвольную точку и рассмотрим систему уравнений относительно неизвестных:(11). Определитель этой системыне равен 0, т.к.- фундаментальная система решений. Поэтому у нее существует (и притом единственное) решение. Рассмотрим теперь функцию. По теореме 2 она является решением уравнения (2). Ввиду равенств (11) значения этой функции и ее производных до порядкавключительно в точкесовпадают со значениямии ее последовательных производных в точке. По теореме 1 оединственности решения задачи Коши ,.

Для этого будем искать решения уравнения в виде. При этом(3). Подставим полученные величины в уравнение (1):, или. Посколькупри всех, из этого уравнения следует, что(4).

Таким образом, функция удовлетворяет уравнению (1) тогда и только тогда, когдаудовлетворяет уравнению (4). Уравнение (4) называетсяхарактеристическим уравнением уравнения (1).

Далее мы установим вид фундаментальной системы решений уравнения (1) в зависимости от свойств корней уравнения (4).

Случай 1. Пусть все корни уравнения (4) действительные и различные. Обозначим их и рассмотрим функции, являющиеся решениями уравнения (1), функциилинейно независимы и составляют искомую фундаментальную систему решений.

2 случай. Все корни - различные, но среди них есть комплексные числа. В случае, когда все- различные, причем- действительные, а- пара комплексно сопряженных чисел (), причем, то фундаментальная система решений уравнения (1) имеет вид:.

Случай 3. Корни характеристического уравнения действительные, но среди них есть кратные. Напомним, что число называетсякорнем многочлена кратности, если , где- многочлен, причем.

Пусть корни имеют, соответственно, кратности. Тогда можно доказать, что ф-исоставляют фундаментальную систему решений уравнения (1).

Пример. Приведем пример, подтверждающий это утверждение. Уравнению соответствует характеристическое уравнение,. Оно имеет кореньс кратностью 2. Рассмотрим функции.и подставляяв исходное уравнение, получаем, т.е. верное равенство. Далее,и подстановка функциив уравнение дает верное равенство:. Итак,- действительно решения уравнения. Эти функции линейно независимы, т.к. из равенстваприследует. Значит,. Тогда при.

В случае 4, когда действительные корни уравнения (4) имеют кратности, а комплексные корниимеют кратностиможно доказать, что функцииобразуют фундаментальную систему решений уравнения (1).

Th. Пр-во реш..L(y)=f(x)(1); L(y)= y⁽ⁿ⁾+a1(x)y^(n-1)++an(x)y = k=1,n a_k(x)y^(n-k)(2) L(y) наз диф опер-р n-ого порядка. F(x), a0(x),an(x) заданы непр на (a,b) ф-и. Если f(x)=0, то ур-е наз однородным. Св-ва опер-ра L(y):1) L(cy)=cL(y) 2) L(y1+y2)=L(y1)+L(y2) 3) L(сумk=1,n c_ky_k)= сумk=1,n c_kL(y_k). Ур-е (1) и нач усл y(x₀)=y₀,.,y^(n-1)(x₀)=y₀^(n-1) имеет ед реш. Если нач усл нулевые, то ур-е имеет нулевое реш.

Th1: Если ф-я y₁(x),.,y_n(x) является реш однород ур-я, то и лин комбинация явл реш ур-я.

ФСР. Опр1: Ф-и y₁(x),.,y_n(x) наз лин незав на (a,b), если тождество L₁y1(x)++L_ny_n(x)0, выполняется только при L1=.=Ln=0. Лиин зав, если тождество выполняется, когда хотя бы одно L отлично от нуля. Лиин зав ф-и y₁(x),.,y_n(x) означ, что одна из них явл лин комб др. Опр2: Система из n лин незав на (a,b) y₁(x),.,y_n(x) однород лин ДУ с непрер на (a,b) коэф наз. ФСР этого ур-я. Если y₁(x),.,y_n(x) ФСР ДУ L(y)=0 (4), то по Th1 y(x)= k=1,n c_ky_k(x) (5) явл реш дан ур-я. Покажем, что (5) определяет общ реш ур-я. Т.о для нахождения общ реш (4), надо найти ФСР y₁(x),.,y_n(x) и воспользоваться ф(5). Определитель Воронского (W(y1,,yn)=W(x)=|y1(x) y2(x) yn(x) вторая y^/1(x) y^/2(x) y^/n(x) посл y^(n-1)1(x), y^(n-1)n(x)|) позволяет решить вопрос об усл-х, при кот реш y₁(x),.,y_n(x) ур-я образуют ФСР. Th:Если ф-и y₁(x),.,y_n(x) ЛЗ на (a,b) и имеют производные до (n-1) порядка, то опр-лб Вронского тож=0 на (a,b). Сл: Если W(x)<>0 хотя бы в одной тX(a,b), то сист y₁(x),.,y_n(x) ЛНЗ.

Th: Для того, чтобы реш y₁(x),.,y_n(x) лин ДУ было ЛНЗ на (a,b) н и д, чтобы W(y1,,yn)<>0 для люб x(a,b). Th: Лин однор ДУ порядка L(y)=0 имеет ФСР. Th: Если y₁(x),.,y_n(x) ЛНЗ на (a,b) реш и ЛОДУ n-го порядка с непр коэф, то общ реш имеет вид y(x)=сумk=1,n c_ky_k(x). Формула Остраградского-Лиувилля. W(x)=c e в степени – инт a1(x)dx. Th: Неоднородное ур-е L(y)=f(x). Общ реш НЛДУ явл сумма реш соотв ОЛДУ и какого-нибудь частного реш НУ.

Метод вариации постоянных

Этот метод позволяет найти общее р-е ЛНДУ, если известна ФСР соотвтс. ОДУ. Рассм ур-е

L(y)=yⁿ+a1(x)y^(n-1)++an(x)y=f(x)(1) и соответ ему L(y)=0. Общее р-е:(2), где с_i -постоянные, yi(x) – ФСР. Основная идея метода состоит в том, что р-е неодн. ур-я (1) ищется в виде: (3), где неизвестные фун-и с1(х),…,сn(х) определены из условий:

_{(тут f(x) и М нет} (4).

При этих условиях (3) явл р-м ур-я (1)

Формула Остроградского: