29. Разностные методы решения задач математической физики.

Уравнения математической физики

Рассматриваются классические уравнения математической физики. Это уравнения с двумя независимыми переменными: t - временем и пространственными координатами (декартовы­ми, цилиндрическими или сферическими).

Задача называется стационарной, если ее решение не зависит от времени, и нестационарной или эволюционной, если оно зависит от времени. Задачи с одной пространственной переменной называются одномерными, с двумя - двумер­ными, с тремя - трехмерными.

Каноническая форма уравнений с двумя независимыми переменными имеет вид: , гдеA,B,C имеют непрерывные производные второго порядка и не обращаются одновременно в 0.

Пусть . ЕслиD=0, ур-е параболическое, D>0 – гиперболическое, D<0 – эллиптическое.

Рассмотрим некоторую задачу, определяемую дифференциальным уравнением и граничными условиями. Запишем ее в операторной форме: (1), гдеL - некоторый дифференциальный оператор, действующий на искомую функцию и, f - правая часть. Будем считать, что оператор L включает как дифференциальные уравнения, так и граничные условия. На некоторой разностной сетке строим разностный оператор , действующий на сеточную функцию. Примером дифференциального оператора является оператор Лапласа , а соответствующий ему разностный оператор возникает при аппроксимации вторых производных разностными отноше­ниями. При подстановке точного решения уравнения (1) в оператор, имеем:

, где величина называется невязкой.

Разностная схема называется аппроксимирующей на решении, если норма не­вязки стремится к нулю при стремлении к нулю шага разностной схемы, т.е. при. Если при этом норма невязки удовлетворяет условиюи константаС_р не зависит от , то говорят, что разностная схема имеетр -й порядок аппроксимации или разностная схема аппроксимирует дифференциальный оператор с порядком р.

Разностная схема называется сходящейся, если норма разности точного и при­ближенного решений стремится к нулю при стремлении к нулю шага разностной сетки.

Если при этом , то говорят, что разностная схема имеетq -й порядок точности или имеет место сходимость с порядком q.

Порядок аппроксимации ду не всегда совпадает с порядком точно­сти разностной схемы, так как порядок точности разностной схемы зависит как от аппроксимации ду, так и от аппроксимации граничных условий. Не всякая аппроксимирующая схема является сходящейся.

В связи с этим важным является понятие устойчивости разностной схемы.

Устойчивостью разностной схемы называется непрерывная зависимость реше­ния разностной задачи от правых частей и граничных условий. Для линейного оператора схема ус­тойчива, если где С - константа, не зависящая от шага разностной сетки и входных ус­ловий.

Метод сеток.

Метод сеток (или метод конечных разностей) сводит решение систем уравнений в частных произ­водных к решению систем, как правило, линейных алгебраических уравнений с достаточно разре­женными матрицами. При этом решение уравнения методом сеток можно разделить на три этапа:

1) Область непрерывного измене­ния аргумента (или аргументов) заменяется конечным дискрет­ным множеством точек, назы­ваемых разностной сеткой. Для этого проводятся прямые, параллельные осям координат. Расстояние между двумя параллельными прямыми наз-ся шагом сетки. Шаги по осям могут быть различными. Точки пересечения прямых наз-ся узлами разностной сетки. В разностной сетке выделяются внутренние и граничные узлы. Решение разыскивается во внут­ренних узлах, а в граничных уз­лах задается значение искомой функции или находится с помощью аппроксимации из граничных условий исходной задачи. Множество всех узлов, расположенных в области и на границе явл-ся сеточной областью. Функция дискретного аргумента, определенная на разностной сет­ке, называется сеточной функци­ей.

2) Ду и граничные условия заменяются по определенным правилам своими разностными аналогами. Разностные операторы, соответствующие ду, записываются во внутренних узлах.Разностные операторы, соответствующие граничным услови­ям, записываются в граничных узлах. В результате получается система алгебраических урав­нений, число которых пропорционально числу внутренних узлов сеточной области. При замене дифференциального оператора разностным аналогом выбирают шаблон разностной схемы - набор (конфигурацию) узлов, с использованием которых производится замена произ­водных конечными разностями. Шаблон, содержащий р точек, называется р – точечным.

3) Осуществляется решение системы алгебраических уравнений каким-либо из известных мето­дов. В большинстве случаев полученная система уравнений есть система линейных алгебраи­ческих уравнений очень большого порядка, но с очень разреженной матрицей. В случае нели­нейных систем итерационные процедуры, как правило, сводят их к линейным системам.

Классическим примером уравнения параболического типа явл-ся уравнение теплопроводности или диффузии в области , гдекоэффициент теплопроводности (если-температура) и массопроводности (если- концентрация).

Неявная разностная схема для уравнения теплопроводности имеет вид:

. Здесь соответствует пространственной, а- временной координате. В отличие от явной схемы, для вычисления в правой части уравнения используются значения функции на том же самом временном шаге. Пусть, тогда, или. В матричной форме это уравнение имеет вид:

, где

Классическим примером уравнения гиперболического типа явл-ся уравнение колебаний струны: , где- отклонение струны от положения равновесия,- скорость перемещения колебаний.

Используя разностные аналоги для частных производных , запишем уравнение в конечных разностях

. Здесь индекс соответствует пространственной, а- временной координате. Полученное уравнение позволяет выразить значение функциив момент временичерез значения функции в предыдущие моменты времени. Это явная разностная схема, т.к. искомая величина получается в явном виде. Она устойчива, если.

№ 30. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка.

ОДУ наз. ур-е (1),y-неизв. ф-я от x.

Порядком ДУ наз. наивысший порядок входящей в него производной.

определенная на некотором промежутке<a,b> наз.решением ДУ, если после замены y на ,наи т.д. оно обращается в тождество. ДУ может иметь множество решений.

Основной задачей теории ДУ является отыскание всех решений данного ДУ. В простейшем случае задача сводится к вычислению интеграла.

Решение наз. интегралом, а процесс интегрированием.

График решения ДУ наз. интегральной кривой. Пр. ,. Для определения постоянной необходимо задать доп. ус-я, которые обычно вытекают из постановки задачи. В общем случае ДУ может содержатьn-произ.постоянных. Доп.усл-я: x=x0; y(x0)=y0;..; (2). Задача отыскания ф-и, удовл. (1)(2) наззадачей Коши. Пусто обл.G содержится в (n+1) мерном пр-ве. Для широкого класса уравнений (1) и нач.ус из G ур-е(1) имеет единственное решение, следовательно интегральные кривые зависят от нач.усл., причем при n=1 мн-во интегральных кривых без пересечения покрывает обл.G. Такие реш.наз частными реш.зад.Коши(1-2). Мн-во всех ч.р.образует общ.реш. Общее решение – ф-я , что при соотв. выборе с1,.,сn получается любое решение уравнения (1) с нач.ус. в G.

Поле направлений. (3),f(x,y) опред. в нек.обл.Д. Посмотрим геометрически. реш.,угловой коэф касат к этой кривой. С геом т зр ур(3) задает в каждой точке области Д значение углового коэф касс, прох ч/з эту т к гр реш ур(3)., т.е.(3) опр в каж т (x,y) принадл. Д касательную к искомой интегральной кривой, т.о. ур(3) определяет поле напрвления. Щадача интегрального уравнения заключается в том, чтобы найти кривые касс к кот в каж т совпадают с пр определен полем. Такое истолкование ДУ и интегрирование дает графический способ решения ур-я наз. метод изоклин. Сначала на пл-ти XOY проводем линию, вдоль которой ф-я f(x,y) имеет постоянное значение=P. Эту линию интегральные кривые пересекают под одним углом в направлении оси OX tg которого = P = . ПридаваяP ряд значений получим ряд изоклин – линии постоянного наклона интегральных кривых. Затем на изоклинах расставим стрелки под таким углом в полож.напр. OX, чтобы tg=P. Для получения приближ граф решур-я с нач усл x=xo, y=y0 надо исходя из т с корд x0,y0 провести кр т.о., чтобы она пересекала изоклины так, как указ стрелки на изоклинах. Т.О с помощью изоклин строится приближ гр некот реш ДУ.

Метод ломанных Эйлера. yш = f(x,y) y(x0)=y0; yш=f(x,y); рассмотрим некоторую т(x0,y0) принад обл Д. Проведем ч/з нее касательную. Найдем f в этой точки. На этой касательной возьмем т.(x1,y1).проведем еще одну касательную. Получим график – ломанную Эйлера.

Ур-я с разделяющимися переменными.:Д.у.наз ур-м с раздел. перем.

Общий интеграл

Линейные уравнения: ур=е вида , гдеp(x) и q(x)-известные функции, наз. линейным д.у. 1-го порядка. Ур-е линейно,т.к. оно линейно относительно y и . Предп-ся, чтоp(x) и q(x)-непрерывные функции. Р-е в виде (2), гдеu,v-неизвестные фунции от х, тогда (3). (2)и (3) в (1):

(4). Выберем v так,чтобы ,. В силу выбора 2-е слагаемое=0,тогда(4):

Ур-я в полных дифференциалах. Полный диф-л ЭP=ЭQ; ДУ вида P(x,y)dx + Q(x,y)dy=0 наз уравнением полных диф-лов, если левая часть есть полный диф-л некот ф-и. Пусть ЭP=ЭQ, тогда найдется ф-я du=P(x,y)dx = Q(x,y)dy=0; dU=0; u(x,y)=c. Для нахождения общ инт ур-я надо найти u(x,y) и приравнять к постоянной. Ф-я u(x,y)м/б найдена сл обр. du=(эu/эx)dx + (эu/эy)dy = P(x,y)dx + Q(x,y)dy; эu/эx=P(x,y); эu/эy=Q(x,y); U(x,y) = инт P(x,y)dx + (y); du/dy = (э(инт P(x,y)dx)/эy) + ш(y) = Q(x,y); ш (y) = Q(x,y)-(э(инт P(x,y)dx/эy). Получаем  (y) и подставляем в ур-е и получаем u(x,y)=с.

№ 31 Теорема Пеано. Теорема Коши.

- задача Коши (1)

Теорема Пеано: Если функция f(x,y) непрерывна и ограничена в обл.G,то через каждую т.проходит по крайней мере одна интегральная кривая уравнения.

В условии т.Пеано через т.могут проходить 2 интегральные кривые, покажем это:

Пример: непрерывна на всей плоскости и ограничена на любой ограниченной обл. G, поэтому она удовлетв. Условию т.Пеано,однако, имеет 2интегр. кр., проход. через т.(0,0): 1) у=0; 2), поэтому т.Пеано явл. Теоремой существоания, но не единственности реш-я задачи Коши.

Дана задача Коши (1). Функция f(x,y) удовлетв. в обл. G условию Липшеца по у, если (2).

Если f(x,y) имеет ограничен. вG, кот. Вместе с содержат соединяющий их отрезок, то она удовл. усл. Липшеца.

Теорема о существовании и единственности р-я задачи коши для ур-й 1-го порядка:

Если f(x,y) определена и непрерывна в некоторой обл.G, содержащей т. и удовлет. ВG условию липшеца по у, то на некотором существует единственное р-езадачи коши (1).

Док-во: По т.Пеано задача (1) имеет р-е на покажем, что это р-е единственно, еслиh>0 и Nh<1. Т.к. р-е (1) на,тоиинтегрируя это тождество междуиx, кот. содержится в .,,

. Пусть -произвольное р-е (1) на. Ан-но (3) получим:

. Из (3) и (4):

,

Т.е. р-е задачи Коши единственное на . Ч.т.д.

Продолжений решений: Опр: решение какого-либо д.у.,заданной наназовем продолжаемым вправо(влево),если сущ. р-етого же ур-я наина. Р-е не продолжаемое ни вправо, ни влево наз непродолжаемым.

Гладкость р-я: ,(*) где правая часть непрерывна.

Теорема: если f(x,y) имеет непрерывные производные по x и у до p-го порядка (p>=1), то всякое решение д.у.(*) имеет непрерывные производные по x до (p+1) порядка.

№ 32 Основные понятия

Уравнения вида

(1)

где y ­неизвестная функция от x, называется обыкновенным дифференциальным уравнением.

Порядком дифференицального уравнения называется наивысший порядок входящих в него производных.

Функция , определенная на некотором промежутке < a, b >, называется решением дифференциального уравнения (1), если после замены y на,на,...,y(n) наоно обращается в тождество.

Основной задачей теории дифференциальных уранений является отыскание всех решений данного дифференциального уравнения и изучение свойств этих решений. В простейших случаях эта задача сводится к вычислению интеграла. Поэтому решение дифференциального уравнения называют также его интегралом, а процесс нахождения этого решения ­интегрированием дифференцального уравнеия.

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Для определения произвольных постоянных, входящих в условие, необходимо задать дополнительные условие, которые обычно вытекают из поставленной задачи. Так в задаче 3 из такие условия были заданы в виде s(0) = s0 и v(0) = v0 , где ­s0 ­начальное расстояние, а v0 ­начальная скорость.

В общем случае уравнение (1) может иметь n произвольных постоянных. Для их определения можно можно задать дополнительные условия в виде

(2).Условия (2) называются начальными условиями.

Задача отыскания функции, удовлетворяющей уравнению (1) и начальным условиям (2), называется задачей Коши.

Начальные условия (2) образуют координаты точки P (n +1)­мерного пространства. Пусть область G содержится в (n +1)­мерном пространстве. Для широкого класса уравнений (1) и начальных условий из G уравнение (1) имеет единственное решение. Такие решения называют частными решениями задачи Коши. Множества всех частных решений дифференциального уравнения образует общее решение в области G. Таким образом, интегральные кривые зависят от начальных условий, причем при n =1 множество интегральных кривых без пересечений покрывает область G.

Для уравнения (1) общее решение зависит от n произвольных постоянных:

Для получения частного решения из общего решения указываются начальные условия, по которым однозначно определяются постоянные.

Существуют и другие определения общего решения. Часто называют общим решением функцию такую, что при соответствующем выборе постоянныхполучается любое решение уравнения (1) с начальными условиями в G.

Общим решением зачастую называют совокупность всех частных решений, при этом область G не указывается.

Уравнения, допускающие понижение порядка

Рассмотрим уравнение (3)

В ряде случаев это уравнение можно заменить эквивалентным уравнением более низкого порядка.

1. y(n) =f (x) Интегрируя n раз имеем:

2. F (x, y(k), y(k+1), ..., y(n))=0

В уравнении отсутствует неизвестная функция и ее производная

до (n­-1)­го порядка включительно. Порядок уравнения может быть понижен до (n­-k) с помощью подстановки y(k) = z. В этом случае уравнение примет вид:

Если найдено общее решение этого уравнения , то

3.

В уравнении отсутствует x. Порядок уравнения можно понизить с помощью подстановки , здесь p рассматривается как новая неизвестная функция, а y как независимая переменная.

,

Аналогично показывается, что все производные от y по x выражаются через производные от p по y порядка на единицу ниже подстановка понижает порядок уравнения на единицу.

4. Левая часть уравнеия (3) есть производная функции

, .

Т.е. порядок уравнения понижается на 1.

5., где, т.е. функция F ­однородная относительно y и ее производных. Порядок уравнения можно понизить на 1 с помощью подстановки:

Теорема существования и единственности для нормальной системы уравнений (задача Коши для системы уравнений)

Система обыкновенных д.у. 1­го порядка с n неизвестными функциями назыв. нормальной, если она имеет вид: (4)

Система функцийгде i =1, ...n назыв. решением системы(4), если при подстановке этих функций и их производных в ур-­е (4) эти ур-­я обращаются в тождество. Будем рассматривать ур-­е (4) при нач. усл-­ях (5) Задачу отыскания решений ур­я (4), удовлетворяющих усл­ям (5), будем называть задачей Коши.

Т: Пусть функции fi определены и непрерывны в некоторой области и содержащей точки с координатамии пусть эти функции удовлетворяют условию Липшица:(6).Тогда на некотором отрезке [x0 − h, x0 +h]существует единственное решение задачи Коши (4) ­(5).

Теорема о существовании и единственности решений задачи Коши для уравнений n­-го порядка

Пусть дано уравнение (7) и заданы нач. условия (8)

Т: Пусть функция f определена и непрерывна в некоторой области

и содержащей точки с координатами и удовлетворяет условию Липшица:(9)

Тогда на некотором отрезке [x0 − h, x0 +h]существует единственное решение задачи Коши (7) ­(8).

Гладкость решений

Если ф-и имеют непрерывные производные по x и по y1,…,yn до (p+1)­го порядка (p ≥ 1), то всякое решение нормальной системы д.у.имеет непрерывные производные по x до (p+1)­го порядка

Док-во: р=1, тогда правая часть имеет непрерывную производную по х, значит левая часть также имеет непрерывную производную по х, сл-но, фун-я у(х) – имеет непрерывную производную 2-го порядка.(дальше нужно найти производную 2 порядка)

р=2, применяя те же рассуждения , получаем, что у(х_ имеет непрерывные производные 3-го порядка