28. Решение обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка методами Эйлера, Эйлера – Коши, Рунге – Кутты. Метод конечных разностей.

Обыкновенным дифференциальным уравнением (ду) явл-ся уравнение первого порядка [1], где- заданная непрерывная функция в области . Основная задача, связанная с этим уравнением, известна как задача Коши: найти решение уравнения [1] в виде функции, удовлетворяющей начальному условию. Геометрически это означает, что требуется найти интегральную кривую, проходящую через заданную точку при выполнении равенства[1]. В силу теоремы Пеано задача Коши [1]- имеет решение на некотором отрезке. Если же функцияудовлетворяет условию Липшица по, то задача Коши [1]-имеет единственное решение на отрезке. Если областьвместе с любыми точкамисодержит отрезок, их соединяющий, а функцияимеет ограниченную производную, тоудовлетворяет условию Липшица. При этом. Пусть- прямоугольник, содержащийся в. В силу непрерывности функцияограничена.задача Коши [1]-имеет единственное решение на отрезке, где заможно выбрать любое положительное число, удовлетворяющее условию.

Метод Эйлера

В основе метода ломаных Эйлера лежит идея графического построения решения ду, однако этот метод дает одновременно и способ нахождения искомой функции в численной (табличной) форме.

Пусть дано уравнение с начальным условием. Выбрав достаточно малый шаг, построим, начиная с точкисистему равноотстоящих точек. Вместо искомой интегральной кривой на отрезкерассмотрим отрезок касательной к ней в точке(обозначим еес уравнением).

При из уравнения касательной, откуда видно, что приращение значения функции на первом шаге имеет вид:. Аналогично, проводя касательнуюк некоторой интегральной кривой семейства в точке, получим:, что придает, т.е.получается издобавлением приращения.

Таким образом, получение таблицы значений искомой функции по методу Эйлера заключается в циклическом применении пары формул

Метод Эйлера обладает малой точностью, к тому же погрешность каждого нового шага систематически возрастает. Наиболее приемлемым для практики методом оценки точности является в данном случае способ двойного счета – с шагом и с шагом. Совпадение десятичных знаков в полученных двумя способами результатах дает естественные основания считать их верными.

Метод Эйлера-Коши

Существуют различные уточнения метода Эйлера, повышающие его точность. Модификации метода обычно направлены на то, чтобы более точно определить направление перехода из точки в точку. Метод Эйлера-Коши, например, рекомендует следующий порядок вычислений:

.

Геометрически это означает, что мы определяем направление интегральной кривой в исходной точке и во вспомогательной точке, а в качестве окончательного берем среднее этих направлений.

Методы Эйлера и Эйлера-Коши явл-ся методами Рунге-Кутты 1-2 порядка.

Метод Рунге-Кутта.На практике наиболее распространенным являетсяметод Рунге-Кутта4го порядка. Расчетные формулы этого метода имеют вид:

Итоговое значение получается по формуле

Метод конечных разностей

Краевая задача для линейного ду , где- некоторые непрерывные нафункции, состоит в нахождении его решения, удовлетворяющего двухточечным линейным краевым условиям:, где- постоянные и.

При решении этой задачи методом конечных разностей отрезок разбивается начастей с шагом, где.

Точки разбиения имеют абсциссы .

Значения в точках деления искомой функции и ее производныхобозначим соответственно через.

Заменяя производные правыми односторонними конечноразностными отношениями для внутренних точек отрезка, приближенно будем иметь.

Для концевых точек полагаеми.

Используя формулы , дуприприближенно можно заменить линейной системой уравнений.

Кроме того, в силу формулы краевые условиядополнительно дают еще два уравнения

Т.о., получена линейная система уравнений снеизвестными, представляющими собой значения искомой функции.

Обозначим . После алгебраических преобразований система примет вид

Решив систему, получим таблицу значений искомой функции .

Аппроксимация функций

 Из курса математики известны 3 способа задания функциональных зависимостей:

1)  аналитический

2)  графический

3) табличный

Табличный способ обычно возникает в результате эксперимента.

Недостаток табличного задания функции заключается в том, что найдутся значения переменных, которые неопределенны таблицей. Для отыскания таких значений определяют приближающую к заданной функцию, называемую аппроксимирующей, а действие замены - аппроксимацией.

Аппроксимация заключается в том, что, используя имеющуюся информацию по , можно рассмотреть другую функцию, близкую в некотором смысле к, позволяющую выполнить над ней соответствующие операции и получить оценку погрешности такой замены. Тогда- аппроксимирующая функция.

Интерполяция явл-ся частным случаем аппроксимации. Если требуется получить значение функции для такого значения аргумента , который входит в отрезок, но не совпадает ни с одним из значений, то такая задача наз-сяинтерполяцией – приближенное вычисление значений функций в промежутках между узловыми точками.

При интерполяции требуется совпадение значений исходной и приближающей функции в узлах интерполяции, т.е. в точках . При аппроксимации функции совпадение значения исходной и приближающей функций не требуется.

Классический подход к решению задачи построения аппроксимирующей функции основывается на требовании строгого совпадения исходного и приближенного значений функцийив точках, т.е.. Будем искать функцию в следующем виде:. Получаем систему алгебраических уравнений с неизвестными. Система всегда имеет единственное решение, т.к. определитель не равен 0.чаем систему алгебраических уравнений с неизвестными значений фуй функций не требуется.

интерполяционный многочлен для функции, заданной таблично, имеет степень не большую.

Для определения коэффициентов применяют интерполяционные многочлены специального вида, к ним относится и многочлен Лагранжа , который имеет вид, где. В точках отличных от узлов интерполяции полином Лагранжа в общем случае не совпадает с заданной функцией.