26. Приближение функций.

Интерполирование алгебраическими многочленами.

Пусть известное зн-е некот. ф-и обр-т след. таб-цу:

x	x0	x1	…	xn
f(x)	y0	y1	…	yn

(1).При этом требуется получить зн-я ф-и f для такого зн-я аргумента х, кот. Входит в [x₀,x_n], но не совподает ни с одним из зн-й x_i i=0,n.

Применяется прием построения по исх. инф-ции приближ. ф-я F, кот. в некот. смысле близка к ф-и f и аналитическим выражением, кот. можно воспользоваться для выч-я зн-я ф-и f ,т.е

f(x) F(x). При интерпол-ции ф-я проходит через т.(x_i,y_i) i=0,1…,n , т.е. f(x_i)=F(x₀), f(x₁)=F(x₁), f(x_n)=F(x_n). Т. x₀, x₁,…, x_n наз. узлами интерпол-ции. Будем искать приближ. ф-ю в виде алгебр. многочлена:

F(x)=a₀xⁿ+ a₁x^n-1+…+ a_n-1x+a_n (2)

f(x₀)= a₀xⁿ₀+ a₁x^n-1₀+…+ a_n-1x₀+a_n

f(x₁)= a₀xⁿ₁+ a₁x^n-1₁+…+ a_n-1x₁+a_n

…

f(x_n)= a₀xⁿ_n+ a₁x^n-1_n+…+ a_n-1x_n+a_n

Ф-я (1) позволяет однозначно определить коэф-ты многоч-на (2). Требуя выполнение этих условий получим систему из (n+1) ур-й с (n+1) неизвест-м. Решая эту систему отн-но неизвестных a₀, a₁,…, a_n-1, a_n получим аналитическое выраж-е полином. Система всегда имеет единст.реш., поскольку ее определитель(Вандермольда) отл. от нуля:. Следовательно, интерполяционный многочлен (2) для функции, заданной таблично существует и единственный.

Погрешность интерполяционной формулы.

Если известно аналитическое выражение интерполяционной функции f(x), то можно применять формулы для оценки погрешности интерполирования, т.е. если F_n(x), то . Пустьf(x) имеет все производные до n+1 порядка включительно. Введем вспомогательную функцию , где к =const. Функция имеетn+1 корень (узлы интерполяции ). Подберем коэф-т к так, чтобы ф-яимелаn+2 корень в любой точке не равной.

При этом значении ф-ябудет иметьn+2 корня на отрезке интерполяции и будет обращаться в 0 на конце каждого из n+1 отрезка

Теорема Роля: пусть ф-я f(x) определена и непрерывна в замкнутом промежутке (a,b), существует конечная производная по - крайней мере в открытом промежутке (a,b) и на концах промежутка ф-я принимает равные значения, т.е. , тогда найдется т., в которой.

Интерполяция сплайнами.

Сплайн – это ф-я, которая на каждом частичном отрезке интерполяции является алгебраическим многочленом, а на всем заданном отрезке непрерывна вместе с несколькими своими производными.

Рассмотрим способ построения сплайнов 3-й степени или кубических сплайнов. Пусть f задана

xi	x0	x1	…	xn
yi	y0	y1	…	yn

Длину частичного отрезка обоз. черезh: h=. Будем искать частичный сплайн на каждом из частичных отрезковв след. виде: (1). Здесь- неизвестный коэф-ты. Потребуем совпадения значений ф-йс табличными значениями ф-иf.

Число этих уравнений 2n – штук, вдвое меньше числа неизвестных коэф-ов. Чтобы получить дополнительное условие потребуем непрерывности 1 и 2 производной от во всех точках, включая узлы. Для этого следует приравнять левые и правые производные ф-иво внутреннем узле

Уравнения (2) и (3) в совокупности дают еще 2(n-1) условий, не достают еще 2 условия. Обычно в качестве этих условий берут требования к поведению сплайна в конечных точках x₀ и x_n. Если потребовать нулевой кривизны сплайна на концах отрезка , то получим

Решая систему получим значения неизвестных , определяемых совокупность всех форм для искомого интерполяционного сплайна:

Дробно-рациональные приближения.

Пусть приближающая ф-я находится в виде: . Очевидно, что. Заменяем значенияиих обратными величинами по формуламии ищем для новой таблицы приближающую ф-ю вида. Найденные значенияибудут искомыми для нашей формулы. Необходимым условием для выбора дробно-рациональной функции в качестве искомой эмпирической формулы является соотношение:.

Среднеквадратичные приближения.

Будем искать приближающую ф-ю в виде квадратного трехчлена . Находим частные производные:. Составим систему вида

После преобразований получается система трех линейных уравнений с тремя неизвестными . Коэф-ты системы находятся по известным данным исходной таблицы из системы:, где

Решение последней системы дает значения параметров для приближающей ф-и.

Метод наименьших квадратов.

Пусть в результате измерений в процессе опыта получена таблица некоторой зависимости f

x	x0	x1	…	xn
f(x)	y0	y1	…	yn

Нужно найти формулу, выражающую эту зависимость аналитически. Будем искать ф-ю заданного вида , которая в точкахпринимает значения как можно более близкие к табличным значениям. Предположим, что приближающая ф-яв точкахимеет значения. Требования близости табличных значенийи значений. Можно истолковать следующим образом. Будем рассматривать совокупность значений ф-иf из таблицы и совокупностькак координаты точек- мерного пространства. С учетом этого задача приближения ф-и может быть переформулирована: найти такую ф-юзаданного вида, чтобы расстояние между точкамиибыло наименьшим. Воспользовавшись метрикой евклидово пространства, приходим к требованию, чтобы величинабыла наименьшей, что равносильно следующему: сумма квадратовдолжна быть наименьшей. Таким образом, задачу приближения ф-и методом наименьших квадратов можно сформулировать следующим образом: для ф-иf, заданной таблицей, найти ф-ю определенного вида так, чтобы сумма квадратов была наименьшей.