Обусловленность систем линейных алгебраических уравнений

Прежде чем говорить о решении задач (1), следует убедиться в том, что решение задачи существует, единственно и устойчиво. Первые 2 требования будут выполняться, если определитель матицы.

Рассмотрим выполнение 3-го требования. Входными данными в задаче будут являться коэффициенты матрицыи компоненты вектора. Они могут задаваться с некоторой погрешностью. Тогда вместо исходной задачи получим. Чтобы дать оценку погрешности решения, если известныи, используют понятие нормы.

Существует много способов введения нормы:

1. ; 2. ; 3..

Самая распространенная - это Евклидова норма: .

Справедлива следующая оценка:(2). Из неравенства (2) видно, что наибольших изменений в решениях следует ожидать, когда “велика” матрица, т.е.близка к вырожденной.

Зависимость погрешности решения от погрешности коэффициентов в матрице задается формулой: . Число- наз. числом обусловленности матрицыи обозначается, оно зависит от способа введения матричной нормы.

Матрицы , для которых число обусловленности относительно велико наз. плохо обусловленными, тоже самое говорят о системе уравнений с матрицей. Относительная малость числа обусловленности говорит о хорошей обусловленности (систем) матр.и соответствующей системы лин. алг. ур-ний.

Пусть -точное решение, - приближенное решение. Существует 2 меры погрешности решениявектор ошибки:

1. ; 2. Невязка.

Вычисление определителей и обращение матриц

Обозначим определитель системы (1) через D. - изменения после первого шага метода Гаусса. -изменения после второго шага метода Гаусса.- изменения послеn-ого шага.

Следовательно, определитель исходной матрицы

(4)

где - ведущие элементы схемы единственного деления. Т.о. для вычисления определителя системы нужно получить произведение ведущих элементов, используемых на каждом шаге прямого хода метода Гаусса.

Схема единственного деления может использоваться также и для вычисления элементов матрицы A^-1, обратной для невырожденной матрицы A. По определению , гдеЕ — единичная матрица. Представим искомую матрицу A^-1 и единичную матрицу в виде совокупности векторов-столбцов:

(структура векторов e⁽ⁱ⁾ предельно проста: i-й элемент равен единице, а все остальные — нулю). В такой записи соотношение предстанет в виде совокупности изn систем линейных алгебраических уравнений вида (5)

Решение каждой системы дает соответствующий столбец обратной матрицы.

При нахождении обратной матрицы указанным методом существенно, что все системы, входящие в (5), имеют одинаковую матрицу и фактически могут решаться одновременно.

Итерационные методы

К итерационным методам относятся: метод простых итераций, метод Зейделя, метод релаксации, градиентные методы и их модификации. Итерационные методы применяются для решения систем порядка 10⁶.

. При решении уравнений методом итераций решение находится как предел последовательности итерационных приближений. При этом последовательность может быть сходящейся или расходящейся. Далее возникает вопрос о сходимости этой последовательности.

Функции , определенная в некотором множестве() наз.метрикой, если выполняются условия: 1. ; 2.;

3. ; 4.

Множество с введенной на ней метрикой наз. метрическим пространством. Полное метрич. пространство, если в нем любая фундаментальная посл-ть сходится. Послед-ть элементов метрического пространстваX наз-ся фундаментальной, если для

Пусть - отображение, действующее в метрическом пр-вес метрикой.- образы элементов.

Отображение пр-ваназ.сжимающим, если выполняется условие . Точканаз. неподвижной точкой отображения, если выполняется

Принцип сжимающих отображений (Теорема Банаха): Сжимающее отображение полного метрического пространства в себя имеет единственную неподвижную точку, т.е. уравнение Fx=x имеет единственное решение и оно может быть получено методом простых итераций при любом приближении.

Оценка расстояния между неподвижной точкой отображения и некоторым приближением задаются формулой:получим:, т.о. для решения методом итераций достаточно установить, что отображение является сжимающим.

Метод простых итераций

Будем решать систему лин.алгебраических уравнений методом простых итераций:

(1)

Система (1) имеет единственное решение:

(2)

Последнюю систему перепишем: X=CX+D.

Выберем начальное приближение и построим итерационную последовательность:

.

Эта последовательность будет сходиться к решению системы, если отображение F(X)=CX+D будет сжимающим(в силу теоремы Банаха о сжимающем отображении), т.е. если будет выполняться след.неравенство:

(3).

Выясним условия, при которых будет выполняться нер-во(3). В качестве метрики можно вывбрать след.норму:

Отметим, что нер-во(3) примет вид: (4).

По свойствам нормы справедливо: (5).

Сравнивая нер-ва (5) и (4) можно сделать вывод, что отображение F будет сжимающим, если . Из теоремы Банаха следует, что оценка погрешности может определяться равенством:

Метод Зейделя

Этот метод является модификацией метода простых итераций. Отличие от метода простых итераций заключается в том, что на каждом шаге итерационного процесса при вычислении используются уже найденные значения

Достаточное условие сходимости метода Зейделя: норма матрицы приводимой к итерационному виду должна быть меньше 1, т.е. Этот метод обеспечивает более быструю сходимость, чем метод простых итераций.