6. Линейные операторы и их свойства

Пусть заданы линейные пространства X и Y. Правило, по которому каждому элементу ставится в соответствие единственный элемент, называетсяоператором, действующим в линейных пространствах X, Y. Результат действия оператора A на элемент x обозначают Y = A x или Y = A (x). Если элементы X и Y связаны соотношением, тоY называют образом элемента X; элемент X - прообразом элемента Y.

Множество элементов линейного пространства X, для которых определено действие оператора A, называют областью определения оператора и обозначают . Множество элементов линейного пространстваY, которые являются образами элементов из области определения оператора A, называют образом оператора и обозначают .

Оператор A, действующий в линейном пространстве X называется линейным оператором, если

для .

Пример: Образ линейного пространства есть пространство.

Док-во: Пусть – л. о., действующий в.сущ., такие, что.,.

Линейный оператор и его матрица. Переход к другому базису

Рассмотрим линейный оператор A, действующий в конечномерном линейном пространстве X, и пустьбазис вX. Обозначим через образы базисных векторов.

Матрица

столбцами которой являются координаты образов базисных векторов, называется матрицей линейного оператора в заданном базисе.

Доказано, что каждому линейному оператору, действующему в n-мерном линейном пространстве, отвечает единственная квадратная матрица порядка n; и обратно - каждая квадратная матрица порядка n задает единственный линейный оператор, действующий в этом пространстве. При этом соотношения

с одной стороны, связывают координаты образа с координатами прообразаX, с другой стороны - описывают действие оператора, заданного матрицей A.

Единичное преобразование Е, ставящее в соответствие вектору тот же самый вектор Ех=х.

Нулевое преобразование – преобр-е ставящее в соотв. каждому вектору х нулевой вектор.

Основная теорема о линейном операторе.

Пусть - некот. базис вn-мерном пространстве Х, А – линейное преобразование в Х.

Для любых n векторов g1,g2, …,gn существует одно и только одно линейное преобразование А, такое, что Ае1=g1, Ае2=g2,…, Аеn=gn.

Док-во:

1. Докажем, что А определяется векторами Ae1, Ae2,…, Aen.

Пусть x=m1e1+m2e2+…+mnen – произвольный вектор из R. Тогда Ax=A(m1e1+m2e2+…+mnen)= m1Ae1+m2Ae2+…+mnAen => Ax однозначно определяется по Ae1, Ae2,…, Aen.

2. Докажем, что для g1,g2, …,gn существует л.о. А, такой, что Аеi=gi. Поставим в соответствие векторам ei векторы gi, произвольному вектору x=m1e1+m2e2+…+mnen поставим в соответствие вектор m1g1+m2g2+…+mngn. Т.к. в-р х выражается через ei вполне однозначно, то ему ставится в соответствие вектор Ax. Преобразование A определенное таким образом, является линейным.

Обозначим координаты вектора gk в базисе e1,…,en через а1k,a2k,…,ank, т.е. . Совокупность чиселобразует матрицу, которая является матрицей линейного преобразованияA в базисе .

Т.о., мы доказали, что при заданном базисе линейному преобразованию А однозначно соотв. матрица, и обратно кажд. матр. соотв. лин. преобразование.

Связь между матрицами одного и того же линейного оператора в разных базисах

Если в базисе линейный операторимеет матрицуA, в базисе - матрицуB, а S - матрица перехода от первого базиса ко второму, то

Произведение и сумма линейных операторов

Если f и g - линейные операторы пространства с матрицамиA и B в базисе , то операторы произведенияи суммы- линейные и имеют в том же базисе матрицыBA и A + B соответственно.

Линейный оператор называетсяобратным линейному оператору , еслиОбозначение:

Для существования необходимо и достаточно, чтобыf был невырожденным оператором. Если A - матрица оператора f в некотором базисе, то оператор в том же базисе имеет матрицу.

Образ и ядро линейного оператора

Рассмотрим линейный оператор А, действующий в конечномерном линейном пространстве Х. Доказано, что образ линейного оператора - линейное пространство.

Размерность образа линейного оператора называется рангом оператора, обозначается .

Ядром линейного оператора называется множество элементов из Х, образом которых является нулевой элемент. Ядро оператора обозначают :. Ядро линейного оператора - линейное пространство; размерность ядра линейного оператора называетсядефектом оператора, обозначается :.

Для линейного оператора, действующего в n-мерном линейном пространстве , справедливы следующие утверждения:

• сумма ранга и дефекта оператора равна размерности пространства, в котором действует оператор: ;

• ранг оператора равен рангу его матрицы;

• ядро оператора совпадает с множеством решений линейной однородной системы с матрицей А, размерность пространства решений этой системы равна дефекту оператора, а ее фундаментальная система решений образует базис в ядре оператора;

• столбцы, входящие в базисный минор матрицы оператора образуют базис в образе оператора.

• Сформулированные утверждения позволяют описать структуру образа и ядра линейного оператора, заданного матрицей, используя язык матричных преобразований и общей теории линейных систем.

Собственные значения и собственные векторы линейного оператора

Пусть А - линейный оператор, действующий в линейном пространстве.

Число λ называется собственным значением, а ненулевой вектор х - соответствующим собственным вектором линейного оператора А, если они связаны между собой соотношением Ах=λ х

Пусть А - матрица оператора в некотором базисе.

Собственные значения оператора и соответствующие им собственные векторы связаны соотношением , где Е- единичная матрица, а 0 - нулевой элемент пространства Х. Это означает, что собственный вектор оператора является ненулевым решением линейной однородной системы, которое существует тогда и только тогда, когда. Следовательно, собственные значения линейного оператора могут быть вычислены как корни уравнения, а собственные векторы - как решения соответствующих однородных систем.

Уравнение называетсяхарактеристическим уравнением оператора, а многочлен характеристическим многочленом оператора.

Для собственных значений и собственных векторов линейного оператора справедливы следующие утверждения:

• хар. многочлен оператора, действующего в n-мерном линейном пространстве является многочленом n-й степени относительно λ;

• линейный оператор, действующий в n-мерном линейном пространстве имеет не более n различных собственных значений;

• собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, линейно независимы;

• если линейный оператор, действующий в  n-мерном линейном пространстве X, имеет n различных собственных значений, то собственные векторы оператора образуют базис в пространстве X ; этот базис называют собственным базисом оператора;

• матрица оператора в базисе из его собственных векторов имеет диагональную форму с собственными значениями на диагонали.

Инвариантные подпространства

Пусть А – линейное преобразование в R. Линейное подпространство R1 называется инвариантным относительно A, если для каждого вектора х из R1 вектор Ах также принадлежит R1.

Тривиальные инв. подпространства – состоящее лишь из нуля и все пространство.

Пример

1. Пусть R – трехмерное пространство и А – поворот вокруг некоторой оси, проходящей через нуль. Инвар подпростр-ва – ось вращения(одномерное); плоскость, проход. через начало координат и ортогональная к оси.

2. Пусть R – произвольное n-мерное пространство и А – произвольное линейное преобразование в нем. Тогда образ М и ядро N преобразования А явл. инвариантными подпространствами. Пусть у є М => Ау є М по определению. Аналогично и с ядром преобразования.

Каноническая форма матрицы линейного оператора

λ-матрица над пространством P – выражение вида

, где

А-λE – пример λ-матриц. Числовая матрица - λ-матрица 0й степени.

λ-матрица имеет канонический вид, если

1)- диагональная.

2) старший коэффициент при равен 1.

3)

Если на главной диагонали 0, то они расположены в нижней части, ненулевые элементы в верхней части главной диагонали.

Всякую λ-матрицу можно привести к каноническому виду конечным числом элементарных преобразований.

Построим цепь преобразований.

1. Если A(λ)=||0|| теорема доказана. => пусть

2. т.е. ранг матрицы меньшеn , в каноническом виде на главной диагонали будет S ступеней и n-S нулей

Индукция по n

1) n=1 A(λ)=(ae(x)) – достаточно умножить A(λ) на (существует, т.к. а не равно 0).

2) -

3) n

Пусть в A(λ) существует не равный 0 элемент . Поместим его в левый верхний угол и умножим первую строку на(существует, т.к. а не равно 0). Получим:

Нужно доказать, что икратны.

Пусть ,, но=> умножая 1 столбец на (-q) и прибавляя его к j-тому, а затем транспонируя, получим, что - в левом верхнем углу, на месте, чего быть не может, т.к. никакими эл. преобразованиями нельзя поставить на местомногочлен меньшей степени. =>=>кратны.

Умножая, на (-q) и складывая с 1ым , получаем нули в первой строке, аналогично с 1ым столбцом.

Для матрицы порядка n-1 теорема доказана.

Докажем, что

Пусто ,, но. Аналогично,. Теорема доказана.

Def. Жордановой (верхней) клеткой размера mxm (или порядка m), соответствующей собственному значению называется квадратная матрица вида.

Def. Жордановой матрицей называется матрица, состоящая из диагональных блоков и нулей вне этих блоков:

Теорема (Жордана) о приведении матрицы оператора к жордановой форме. Для любого линейного оператора комплексного линейного пространства существует базис (жорданов базис) , в котором его матрица имеет жорданову нормальную форму.

Теорема Жордана.(Эквивалентная формулировка) Каждая квадратная матрица А порядка n над алгебраически замкнутом поле (в частности над комплексном поле С) приводится к жордановой нормальной форме. Именно, существует невырожденная матрица S, для которой - матрица, состоящая из диагональных блоков , представляющих собой жордановы клетки.

Доказательство. Жорданов базис пространства V - объединение базисов инвариантных относительно оператора f подпространств, дающих в качестве прямой суммы само пространство V. Матрица оператора в таком базисе клеточно-диагональная. Диагональные клетки этой матрицы – матрицы сужений оператора f на соответствующих подпространствах. Вид матриц ограничений оператора f на циклических подпространствах определяется базисом выбранном в каждом из этих циклических подпространств. Если циклическое подпространство принадлежит корневому подпространству с собственным значением и натянуто на векторы жордановой цепочки, тои по формулам (***) имеем:.

Столбцы матрицы оператора – это координатные столбцы образов базисных векторов, поэтому матрица сужения оператора f в рассматриваемом базисе будет иметь вид:- жордановой клетки порядка (h+1)#

Лин. операторы в евклидовом пространстве и унитарном пространстве

Действительное линейное пространство E называется евклидовым, если каждой паре векторов сопоставляется числотак, чтоивыполняются аксиомы:

I.

II.

III.

IV.