22. Ряды Тейлора и Лорана. Вычеты

Опр.: Степенной ряд – это функциональный ряд вида

- некоторые фиксированные числа, которые называются коэффициентами ряда.

- некоторое фиксированное число.

, то

Опр.: Дана функциональная последовательность с областью определения Т

, тогда символ называетсяфункциональным рядом с областью определения Т.

, то

Теорема Абеля:

1. Если степенной ряд сходится в т. , то этот ряд сходится абсолютно для всех, удовлетворяющих условию

2. Если степенной ряд расходится в т. , то этот ряд расходится для всех, удовлетворяющих условию

Вывод: Из теоремы видно, что обл. сходимости степенного ряда, может быть либо 1 точка, либо вся числовая ось, либо промежуток с центром в т. .

Аналитические функции и их разложение в степенные ряды.

Опр.: Однозначная функция называется аналитической в некоторой области, если в любой т. этой области она имеет производную.

Опр.: Сумма степенного ряда есть функция аналитическая внутри круга сходимости, причем её производные можно найти почленным диф- ем ряда.

Опр.: Функции для любого комплексного значенияопределяются рядами:

Эти функции аналитичны на всей плоскости, каждый из этих рядов имеет радиус сходимости равный .

Свойства максимума модуля аналитических и гармонических функций.

имеет вид - аналитическая, тогда справедливы условия:

Найдём вторые производные:

Складывая их, получим: - гармоническая функция.

Производная по y:

Складывая их, получим: - гармоническая функция.

Каждое из этих уравнений- это уравнения Лапласа для и.

Зам.1: Действительная и мнимая часть аналитической функции является гармоническими.

Зам.2: Если Гармоническая функция является действительной или мнимой частью аналитической функции, то по ней можно восстановить аналитическую функцию.

Пусть - гармоническая действительная часть аналитической функции.

, нам известна полная диф- ая функция , по ней можно найти саму функцию.

Принцип максимума модуля: Если функция аналитическая в области Д и непрерывна в(-замкнута), тоилиconst, или наибольшее значение , достигающееся только на границе области.

Замечание: Отличная от const гармоническая функция не может достигнуть экстремума во внутренней точке области определения.

Ряд Тейлора.

Т- ма: Аналитическую функцию в каждой внутренней т. области аналитичности можно представить в виде ряда Тейлора:

, радиус сходимости которого не меньше кротчайшего расстояния от т. а до границы области аналитичности функции.

Д- во: Выбираем кратчайшее расстояние d, от до границы этой области выбираем т., выбираем круградиусом, так чтобы он лежал внутри круга радиуса, но содержит

т. .

разложим линейную функцию аналитически:

Если ряд на кривой сходится равномерно, то его можно почленно интегрировать:

Пусть

ряд можно почленно интегрировать.

уходят вместе с производной.

- формула Тейлора

Опр.: Т. называетсярегулярной т. функции, если в некоторой окрестности этой точки ф- ция аналит.. Т. назыв.особой т., если ни в какай её окрестности, какой бы маленькой она не была, ф- ция не является аналитической.

Т- ма: Радиус сходимости разложения функции в ряд Тейлора по степеням кратчайшему расстоянию от т. до ближайшей особой точки.

Т- ма: Если ф- ция аналитич. на всей плоскости и огранич. на ней, то , тогда

Т- ма единственности аналитической ф-ции.

Т-ма: Если две ф- ции аналитич. в обл. Д и принимают равные значения в бесконечном мн- ве различных точек, стремящихся к некот. внутр. т., то в обл. Д эти ф- ции тождественно равны (и).