16. Функциональные последовательности и ряды. Степенные ряды. Ряд Тейлора.

(1) и все ф-ции опр-ны на мн-ве - функц. посл-ть,- обл. опр-я ф.п.

(1) сх-ся в т., если сх-ся соот. числ. посл-ть (2):. Мн-во всех точек из, в кот. (1) сх-ся наз. обл. сх-ти ф.п. и обозн..

- (1) сх.

Функциональный ряд - ряд, членами которого являются функции одной действительной переменной.

Ф.р. сх-ся в т., если сх-ся соот. числ. ряд.

Если ф. ряд сходится при каждом значении х из множества Е, то множество Е называется обл. сх-ти ряда.

Частич. суммы ряда: ;- посл-ть частич. сумм.

Ф.р. сх-ся на мн-ве к ф-ции, если,.

Ф.р. наз. абс. сх-ся на мн-ве , если на этом мн-ве сх-ся ряд.

S(x) = S_n(x) + R_n(x) (2), где S_n(x) = f₁(x)+f₂(x)+…+f_n(x)+… - n-ая частичная сумма, а R_n(x) = f_n+1 (x)+f_n+2(x)+… -остаточный член ряда (1).

Из равенства (2) видно, что при каждом значении х из области сходимости ряда имеем: lim R_n(x)=0 (n→∞) и, следовательно, для любого ε>0 существует такой номер N, что для всех n>N в этой точке х будет верно неравенство: ׀R_n(x)׀<ε.

Если для любого ε>0 существует такой номер N, не зависящий от х,что для всех n>N в этой точке х верно неравенство: ׀R_n(x)׀<ε для всех х из множества Е, то данный функциональный ряд называется равномерно сходящимся на множестве Е.

Кр. Коши равномер. сх-ти ф.р.: для равномер. сх-ти ф.р. на мн-ве н. и д., ч.

.

Док-во: Равномер. сх-ть ф.р. означ. равномер. сх-ть ф.п. его частич. сумм, т.е. это означ. равномер. сх-ть фундам. посл-ти частич. сумм: .

Теорема Вейерштрасса: Если для ф.р. (3)сх-ся числ. положит. ряд(7) такой, что на мн-ве(8), то (3) сх-ся абсолютно и равномерно на.

Док-во:

1. (8) => сх-ся по пр. сх-ти положит. рядов, тогда ряд (3) сходится, притом абсолютно.

2. (7) сх-ся по кр. Коши для ч. ряда.

(3) сх-ся равн-но на . чтд

Т.: если ф-и опр. на мн-ве, непр. в т.и равномер. сх-ся к ф-циина, то и ф-янепр. в т..

Док-во: если - изолир. т., тонепр. в т.по опр-ю.

если -предел. т., то нужно док-ть, что.

Равн. сх-ть:

Т.: если ф-и опр. на мн-ве, непр. в т.и рядсх-ся наравномерно, то сумма ряда есть непр. ф-я в т..

Т.: если члены ф.р. непр. на , а сам ряд на отрезкесх-ся равн-но, то возможно почленное интегрирование ряда.

Т.: Пусть выполнены условия: 1) непр. на; 2) ряд сх-ся и имеет своей суммой; 3) ряд, сост. из произ-х сх-ся наравномерно. Тогда сумма ряда диф-ма наи возможно почленное диф-ние ряда.

Док-во:

=.

Функциональный ряд вида: а₀ + а₁х + а₂х² + … + а_nхⁿ + … (1), где а_0, а_{1 ,} а_{2 , …} а_n - постоянные коэффициенты, называется степенным рядом.

Для исследования на сходимость степенных рядов удобно использовать признак Даламбера.

 Применяем признак Даламбера: .

 Теоремы Абеля. Если степенной ряд сходится приx = x₁ , то он сходится и притом абсолютно для всех .

 Следствие. Если при х = х₁ ряд расходится, то он расходится для всех .

 Таким образом, для каждого степенного ряда существует такое положительное число R, что при всех х таких, что ряд абсолютно сходится, а при всехряд расходится. При этом числоR называется радиусом сходимости. Интервал (-R, R) называется интервалом сходимости.

Отметим, что этот интервал может быть как замкнутым с одной или двух сторон, так и не замкнутым.

Радиус сходимости может быть найден по формуле:

Ряд Тейлора. Пусть функция f(x) определена и имеет производные любого порядка на некотором отрезке. Пусть точки а и х принадлежат этому отрезку. Выразим данную функцию по формуле Тейлора:

. ()

Если окажется, что R_n(x) →0 при n→∞, то получим: f(x) = lim (n→∞) {f(a) + [f'(a)/1!](x-a) + … + [f^(n-1)(a)/(n-1)!](x-a)^n-1}, а это означает, что f(x) представляет сумму ряда, у которого n-ая частичная сумма есть выражение, содержащееся в фигурных скобках, т.е. f(x) = f(a) + [f'(a)/1!](x-a) + … + [f⁽ⁿ⁾(a)/(n)!](x-a)ⁿ +… (1).

При а=0 равенство (1) принимает вид: . f(x) = f(0) + [f'(0)/1!]x + … + [f⁽ⁿ⁾(0)/(n)!]xⁿ +… (1') и представляет разложение функции f(x) в степенной ряд по степеням х.

Теорема. Если степенной ряд сходится для положительного значениях=х₁ , то он сходится равномерно в любом промежутке внутри .

Действия со степенными рядами.

1) Интегрирование степенных рядов. ,