zad1_newX
.pdf
170 ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
так что со стороны магнитного поля кольца на шарик действует сила, средняя (за период поля) величина которой равна
|
|
|
|
|
dU |
|
|
|
|
|
|
6π2a3R4 |
|
|
|
|
3π2a3R4 |
|
I02. |
|
|||||||||
|
|
F = − |
|
= |
|
I2 |
= |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
dz |
|
|
c2h7 |
|
|
|
c2h7 |
|
|||||||||||||||||||
Эта сила уравновешивает силу тяжести mg = 4 |
πa3ρg, так что получаем следующий |
||||||||||||||||||||||||||||
результат для амплитуды тока в кольце |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 h3c |
ρgh |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
I0 = |
|
|
|
|
r |
|
|
|
≈ 3, 5 · 106А. |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
3 |
R2 |
π |
|
|
||||||||||||||||||||||
6.88. H = 2H0/ (ka sh (kh) + 2 ch (kh)). |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
sin kx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
= |
4πσγ |
|
||||||||
6.89. H (x, t) = Hвнутр sin kh exp (−γt), где k |
|
c2 |
, а γ определяется из |
||||||||||||||||||||||||||
уравнения tg |
π2 + kh = kh Rh . Здесь Hвнутр – поле внутри трубы (см. 5.12), когда |
||||||||||||||||||||||||||||
снаружи оно |
|
|
толщина стенки трубы. Для тонкостенной трубы |
(R h) |
|||||||||||||||||||||||||
H0, h – |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
(kh)min π, т. е. γmin |
πc |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
4σh2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
6.90.H = 2H0/[kRµ sh (kh) + 2 ch (kh)].
6.91.H (x) = H0 ch 2δx + cos 2δx ch 2δd + cos 2δd 1/2.
6.92. а) Снаружи H = |
H0 |
|
|
2m |
+ |
4(mr)r |
, где |
|
|
k2 a2 |
2 |
H0; внутри |
|||||||||||
− |
r2 |
|
|
|
|
r4 |
m |
|
16 |
a |
|||||||||||||
Hα = H0 sin α 1 |
2 2 |
|
|
2 |
2 |
a |
|
|
4 , Hz = 0. |
|
|
|
|||||||||||
|
3k |
r 8 1 |
|
k |
|
, |
|
|
|
|
|||||||||||||
Hr = H0 cos α 1 − k r |
|
8 |
1 − k a |
|
4 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
2 |
2 |
|
|
2 |
; |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
− |
− |
|
|
|
|
|
2 − |
|
|
внутри H |
|
|
, так как в глубь цилиндра |
||||||||||
б) Снаружи, как в «a», но m |
− |
a H0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
поле спадает e−(a−r)/δ.
6.93.H 2Ha0 δ e−h/δ << H0, где h – толщина стенки цилиндра.
6.94.Q /Qk = 2.
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6.95. H H0 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 + |
ah |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
δ2 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||
6.96. j (x) = |
π √a2 +x2 |
− |
|
√b2 |
+x2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
J |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
||
6.97. H H0 |
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 + |
4a9δh4 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.98. Mz = H02a4 |
|
/ 3δ2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
6.99. В случае сильного |
скин-эффекта |
L = |
|
|
|
0, 16; в случае |
||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4πδ2 |
δ1 +δ3 |
|
||||||||||
слабого скин-эффекта L = |
4πδ |
2 |
0, 25. |
|
|
a δ1 +δ2+δ3 |
|
|||||||||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Поток энергии. Ток смещения |
|
|
|
|
171 |
||
|
|
|
|
|
|||
6.100. Hz H0 |
.ch kd + kaµ |
sh kd . |
, где b – большой радиус тора и d a. |
||||
6.101. τ 4πbd b − b |
|
− a |
|
ρac |
|||
|
√ |
|
2 |
|
2 |
2 |
|
6.6.Поток энергии. Ток смещения
6.102. JU = |
c |
|
4π |
JEz ℓ = |
|
c |
HαEz 2πaℓ |
|
||||||||||
4π |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
c |
4π |
|
|
|
|||||||||||
6.103. Поток энергии через кабель dW |
= 2CJU ln r2 , где C – его погонная |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
r1 |
||
емкость, а J и U – амплитуды тока и напряжения в кабеле. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
JU |
d2 |
|
|||
6.105. Sy = Sz = 0, Sx = |
|
|
|
|
|
|
|
, где r0 |
– радиус провода. |
|||||||||
4π ln(d/r0) |
x2(x−d) |
|||||||||||||||||
6.107. а) jсм = 4π ∂t = 0; б) jсм = − |
4π d2 ; в) ток смещения сменит знак. |
|||||||||||||||||
|
|
|
1 ∂D |
|
|
|
|
|
|
u U |
|
|||||||
6.108. При больших частотах |
|
можно считать поверхность проводника плоской, |
||||||||||||||||
тогда (см. 6.76, 6.79) для напряженности электрического поля запишем |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Ez = A e− hδ e−i(ω t − hδ ) , |
|
|||||||||||
где δ = c/√ |
|
, A — константа, a |
h отсчитывается от поверхности в глубь |
|||||||||||||||
2πµσω |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 ∂B |
проводника. Ось Z направлена вдоль проводника. Из уравнения rot E = − c ∂t |
||||||||||||||||||
найдем напряженность магнитного поля |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 ) . |
||||||||||
|
|
|
Hα = A 2 c e− δ e−i(ω t − δ − |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
h |
|
h |
π |
||||
|
|
|
|
|
|
|
δ ω |
|
|
|
||||||||
Константу A можно найти, проинтегрировав плотность тока j = σ Ez по сечению проводника и приравняв амплитуду полученного тока амплитуде J0:
Za !
Re 2π A σ e hδ (i − 1)(a − h) dh = J0 .
0
Откуда |
|
|
|
|
|
|
A = |
J0 |
r |
2 ω |
|||
|
|
. |
||||
a c |
π σ |
|||||
При вычислении интеграла учтено, что a/δ 1. Константу A можно найти и более просто, если вспомнить, что интеграл от вектора H по замкнутому контуру равен полному току, проходящему через поверхность, натянутую на этот контур, умноженному на 4π/c (поскольку справедливо уравнение rot H = 4πj/c):
√ |
|
|
|
|
|
|
|
A 2 c |
|
π |
|
4π |
|||
|
cos |
|
· 2π a = J0 |
|
. |
||
δ ω |
4 |
c |
|||||
172 |
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ |
|
|
Итак, на поверхности проводника напряженность электрического и магнитного полей будет зависеть от времени следующим образом:
Ez = |
J0 |
|
r |
2 ω |
cos ω t , |
||||||
a c |
π σ |
||||||||||
|
2 |
√ |
|
|
|
|
|
|
π |
||
|
2J0 |
|
|
||||||||
Hα = |
|
|
|
|
cos(ω t − |
|
). |
||||
|
a c |
|
|
4 |
|||||||
Поток энергии через единицу площади:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
J2 |
r |
ω |
cos |
π |
|
π |
n, |
(1) |
||||
S = |
[E × H] = |
+ cos |
2ω t − |
|
|||||||||||
4π |
2π a2 c |
π σ |
4 |
4 |
|
||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где n – единичный вектор, направленный вглубь проводника. В течение большей части периода колебаний, равной трем четвертям периода изменения E и H, величина вектора Пойнтинга положительна, и, следовательно, энергия поступает в провод из внешнего пространства и идет на изменение энергии магнитного поля в объеме провода и на выделение тепла в проводе. В течение одной четвертой периода изменения E и H τ = T/4 = π/2ω вектор Пойнтинга отрицательный и, следовательно, поток энергии направлен от провода в окружающее пространство. В течение этого промежутка времени энергия, запасенная в магнитном поле в объеме провода, частично возвращается в окружающее провод пространство и частично преобразуется в тепло. Среднее значение вектора Пойнтинга за период, умноженное на величину поверхности провода единичной длины, есть мощность энергии, выделяемая в проводнике единичной длины в виде тепла:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W = 2π a S . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Из формулы (1) сразу можно написать, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
J2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
J2 |
|
r |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
ω |
|
|
|
|
2ω |
|||||||||||||||||
|
S = |
0 |
|
r |
|
|
|
|
cos |
|
n |
= |
0 |
|
|
n; |
||||||||||||
|
|
2π a2 c |
π σ |
4 |
4π a2 c |
π σ |
||||||||||||||||||||||
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
J2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω |
|
при |
|
δ a. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
W = a c r2π σ |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Сравните с задачей 6.79.
7. ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦВ ПОЛЯХ |
173 |
|
|
7.ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В ПОЛЯХ
7.1.Движение частиц в электрическом и магнитном полях. Дрейф. Магнитная ловушка
7.1. x = |
E0 |
ch qEy . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
qE |
|
|
P0c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.2. x=x0 |
|
+ r [sin (ωt α)+sin α] , y |
= y0 + r [cos (ωt α) cos α], |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
qH |
v − − |
||||
z = z0 + v0z t, v cos α = v0x, v sin α = v0y, ω = |
|
, r = |
|
. |
|
||||||||||
γmc |
ω |
||||||||||||||
7.3. ω1,2 = |
p |
U |
|
|
≈ ω0 ± ωL, ω3 = ω0, где ωL = |
qH |
. |
||||||||
|
|
ω02 |
+ ωL2 |
± ωL |
|||||||||||
|
|
2mc |
|||||||||||||
7.4. H > q |
|
|
100 Э. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ed2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2mc2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.5. Для r(0) = 0, v(0) = (v0, 0, 0) и Ey/H c x = vω0 sin ωt + cEHy t, y = vω0 (cos ωt − 1), где ω = eHmc , vдр = v¯x = c EHy .
7.6. v = c E . |
|
|
|
|||
H |
|
|
|
|
|
|
7.7. vдр = c |
[F×H] |
. |
|
|
||
|
eH2 |
|
|
|||
7.9. sin θ > p |
|
. |
|
|||
H/Hm |
||||||
7.10. R = p |
|
. |
||||
1 − H/Hm |
||||||
7.2. Фокусировка продольным и поперечным полями. Квадрупольные электростатические и магнитные линзы
7.13. F = 2πγmvc .
qH
7.14. F = 2γmvcqH .
7.22. F = E2cReJℓ2 = 10 м ℓ.
174 |
Библиографический список |
|
|
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
Батыгин В. В., Топтыгин И. Н. Сборник задач по электродинамике. М.: Наука, 1970.
Берклеевский курс физики. М.: Наука, 1971–1974. Т. 2: Парсел Э. Электричество и магнетизм. М.: Наука, 1971; Т. 3: Крауфорд Ф. Волны. М.: Наука, 1974.
Векштейн Е. Г. Сборник задач по электродинамике. М.: Высш. шк., 1966. Власов А. А. Макроскопическая электродинамика. М.: Гостехиздат, 1955. Горелик Г. С. Колебания и волны. М.: Физматгиз, 1959.
Гудмен Дж. Взведение в фурье-оптику. М.: Мир, 1970. Джексон Дж. Классическая электродинамика. М.: Мир, 1965.
Зоммерфельд А. Электродинамика. М.: Иностр. лит., 1958; Оптика. М.: Иностр. лит.,1953.
Калитиевский Н. И. Волновая оптика. М.: Наука, 1971. Компанеец А. С. Теоретическая физика. М.: Гостехиздат, 1957.
Кронин Дж., Гринберг Д., Телегди В. Сборник задач по физике с решениями. М.: Атомиздат, 1971.
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. М.: Наука, 1973.
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1982.
Мандельштам Л. И. Лекции по оптике, теории относительности и квантовой механике. М.: Наука, 1972.
Матвеев А. Н. Электричество и магнетизм. М.: Высш. шк., 1983; Оптика. М.: Высш. шк., 1985.
Меледин Г. В. Физика в задачах. Экзаменационные задачи с решениями. М.: Наука, 1985.
Мешков И. Н., Чириков Б. В. Электромагнитное поле. М.: Наука, 1987. Пановский В., Филипс М. Классическая электродинамика. М.: Физматгиз,
1963.
Сборник задач по общему курсу физики. М.: Наука, 1977.
Ч.3. Стрелков С. П. и др. Электричество и магнетизм / С. П. Стрелков, Д. В. Сивухин, С. Э. Хайкин, И. А. Яковлев.
Ч.4. Гинзбург В. Л. и др. Оптика / В. Л. Гинзбург, Л. М. Левин, Д. В. Сивухин.
Сборник задач по теоретической физике / Л. Г. Гречко, В. И. Сугаков, О. Ф. То-
масевич, А. М. Федорченко. М.: Высш. шк., 1972.
Сивухин Д. В. Общий курс физики. М.: Наука, 1977. Т. 3: Электричество. Смайт В. Электростатика и электродинамика. М.: Иностр. лит., 1954. Сороко Л. М. Основы голографии и когерентной оптики. М.: Наука, 1971. Стреттон Дж. А. Теория электромагнетизма. М.: Гостехиздат, 1948.
Тамм И. Е. Основы теории электричества. М.: Наука, 1966.
Библиографический список |
175 |
|
|
Фейнман Р. и др. Фейнмановские лекции по физике / Р. Фейнман, Р. Лейтон,
М.Сэндс. М.: Мир, 1966. Вып. 5, 6. Франсон М. Голография. М.: Мир, 1972.
Харкевич А. А. Спектры и анализ. М.: Гостехиздат, 1937.
Учебное издание
Меледин Генрий Викторович, Черкасский Валерий Семенович
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА В ЗАДАЧАХ Часть I
Электродинамика частиц и полей Издание 2-е, испр. и доп.
Учебное пособие Редактор Е. В. Дубовцева
Подписано в печать 6.04.2009 |
|
Формат 70 × 100 1/16 |
Офсетная печать. |
Уч.-изд. л. 11. |
Усл. печ. л. 14,2 |
Заказ № |
Тираж 350 экз. |
Цена |
Редакционно-издательский центр Новосибирского государственного университета; 630090, Новосибирск, ул. Пирогова, 2.