zad1_newX
.pdf120 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Решая это дифференциальное уравнение и используя начальное условие Q(0) = Q0, |
|||||||||||||||||||||||
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q = Q0e− 4πσε t = Q0e− |
t |
, |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τ |
|
|
|
|
||||||||||
откуда видно, что заряд уменьшается в e раз за время |
|
τ = ε/4πσ. |
|
||||||||||||||||||||
|
3.4. В стационарном случае div j = 0, откуда j1n| = j2n|. Нормальные состав- |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ляющие к границе раздела двух сред непрерывны, |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
UR |
α 1 |
|
|
|
|
|
|
иначе на границе будет изменяться заряд. С дру- |
||||||||||||||
(1) |
j1 |
σ 1 |
|
|
|
|
|
гой стороны, rot E = 0, откуда следует непре- |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рывность тангенциальной составляющей напряжен- |
||||||||||||||
|
σ |
|
|
UUR |
ности электрического поля E1τ = E2τ . Так как |
||||||||||||||||||
|
|
|
j |
2 |
|
|
|
||||||||||||||||
(2) |
2 |
α 2 |
|
|
|
|
j = σE, то |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
j1τ = σ1E1τ , |
|
|
j2τ = σ2E2τ |
= j1τ |
|
σ2 |
. |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ1 |
|
|
|
Поскольку j1τ /j1n = tg α (см. рисунок), то |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg α1 |
|
= |
σ1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg α2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
3.5. ϕ (r)=U[1 |
− |
(a/r)n]/[1 |
− |
(a/b)n]; R=[(b/a)n |
1] / (2πσ |
n), |
||||||||||||||||
где σmax = αbn. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
max |
||||||||||
|
3.6. ϕ (r) = U ln |
|
r |
|
|
R2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
/ ln |
|
R1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
R1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.7. В цилиндрической системе координат j = jα. Поскольку плотность тока jα зависит только от r, то Eα = jα/σ зависит тоже только от r. Тогда через интеграл по дуге определенного радиуса разность потенциалов или напряжение запишется так:
|
(2π−α0)r |
|
U = |
Z0 |
(E dr) = Eα(r)(2π − α0)r, |
откуда
U
Eα(r) = (2π − α0)r
и, следовательно,
Uσ
jα(r) = (2π − α0)r .
Сохранение заряда. Граничные условия. Закон Ома |
121 |
|
|
Найдем величину тока на единицу длины трубы:
Zb
J = jα(r) dr = Uσ ln b/a .
a
Поскольку J = U/R, то из последнего выражения следует, что сопротивление единицы длины трубы:
R= 2π − α0 .
σln b/a
3.8. σR1 = |
|
|
Jz |
|
|
1 |
, σR2 = − |
|
|
|
|
Jz |
|
|
· |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
.z |
– координата |
||||||||||||||||||||||
4π2R13 σ |
|
ln R1 /R2 |
4π2 R12R2 σ |
|
ln R1/R2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вдоль оси цилиндра. Сечение, на котором σR1 |
|
= σR2 |
|
= 0, не определено и может |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
быть смещено по z сообщением проводу добавочного постоянного заряда. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.9. E1,2= |
|
|
σ2,1 U |
|
|
|
, σсвоб= |
(σ1 ε2 −ε1σ2 ) |
|
U, σсвяз=− |
σ1(ε2 −1)−σ2(ε1 −1) |
U.К |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ℓ1σ2 +ℓ2σ1 |
4π(ℓ1σ2 |
+ℓ2σ1 ) |
|
4π(ℓ1σ2 +ℓ2σ1 ) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
положительно заряженной обкладке конденсатора прилегает первый слой. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ln(1+αx/σ ) |
|
|
|
|
|
Uα |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
3.10. ϕ (x) = U ln(1+αd/σ1) , ρ (x) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
4π(σ1 +αx) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
3.11. σсвоб = |
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
σ2 ε1 −σ1ε2 |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
4πc |
σ1 (1/c−1/b)+σ2 (1/a−1/c) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
3.12. E0 = −k (σ2ℓ1 + σ1ℓ2) E0, E1 = kσ2ℓ0E0, E2 = kσ1ℓ0E0, где |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
k = σ0/ [ℓ0 (ℓ0σ1σ2 + ℓ1σ0σ2 + ℓ2σ0σ1)], E0 |
|
= Eстор. · ℓ0 – эдс источника. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Внутри источника поле и ток противоположно направлены (E0 < 0). Заряды со- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
средоточены на границах раздела проводников и равны |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
q01 |
= r (E1 − E0) /4, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
q12 = r2 (E2 − E1) /4, q20 = r2 (E0 − E2) /4. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.13. (ji) = |
|
|
Uσi |
|
, i = 1, 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
r ln b/a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/2αR. |
|
|
|
||||||||||||
3.14. J = αU − R − r0 + q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
(αU − R − r0)2 + 4αUR |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.15. Ток в звене AkAk+1 равен Jk = |
|
|
|
|
|
|
E ch(β−k)α |
|
|
, где парамет- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ri ch βα+√ |
Rr |
sh(β+1/2)α |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ры α и β определяются из соотношений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ra ch nα + Rr sh (n + 1/2) α |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
sh (α/2) = pR/r/2 и tg βα = |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
√ |
|
ch (n + 1/2) α |
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ra sh nα + |
Rr |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ток нагрузки равен Jn. При сухой изоляции |
|
r |
|
|
|
, α |
|
|
|
|
0, β |
|
|
n + 1 + |
|
Ra |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
→ ∞ |
→ |
→ |
|
R |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
искомое отношение эдс равно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
E |
= |
|
|
|
|
Ri ch βα + |
|
Rrsh (β + 1/2) α |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
E0 |
|
|
|
|
|
[Ri + Ra + (n + 1) R] ch (β − n) α |
|
|
|
|
|
|
|
При Ra = 0, β = n + 1/2.
122 |
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ |
|
|
3.16. |
dJ |
|
|
1 dϕ |
|
d2J |
|
ρ |
|
d2ϕ |
ϕ (x) = −ρ0 dx |
, J |
= − |
|
, |
dx2 |
= J |
|
, |
dx2 |
|
ρ dx |
ρ0 |
|||||||||
величин: [ρ] = Ом/см, [ρ0] = Ом· см. |
|
|
|
|
|
|
3.17.
E ch Ω (x − x0)
J (x) = Ri ch Ωx0 + √ρρ0 sh Ωx0 ,
= ϕ ρ . Размерности
ρ0
где Ω = pρ/ρ0, а x0 определяется из th Ω(x0 − a) = −Ra/√ρρ0. При Ra = 0 (закороченная линия)
J (x) = |
E ch Ω (a − x) |
|
E ch Ω (a − x) . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ri ch Ωa + √ |
|
sh Ωa |
Ωa Ri + ρ0/ℓ |
||||
|
ρρ0 |
Для сухой изоляции (1/ρ0 → 0) J (x) = E/ (Ri + Ra + ρℓ) = const.
3.18. R = πσ |
|
a |
|
b |
+ 2πσ |
|
b . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.19. |
R = |
2 |
1 |
2 |
1 |
− |
1 |
4 |
1 |
|
1 |
|
1 |
+ |
1 |
. |
|
|
|
|
πσ |
a1 |
+ |
|
− ℓ 2πσ a1 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
2 |
ε |
|
a2 |
|
a2 |
|
|
|
|
||||||||
3.20. C = 4πσR . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3.21. |
R = |
π+ln ℓ/a |
, E |
Uℓ |
|
|
|
|
|
|
|
Uℓλ |
|
|
|
||||
|
2πσℓ |
|
2r2 ln ℓ/a , ΔUшаг 2r2 ln ℓ/a . |
|
|
|
|||||||||||||
3.22. k = 4πσ/ω. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3.23. а) E = |
0, при |
r < R , E |
r |
e− |
4πσtε при R |
|
< r < |
R , |
|||||||||||
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
q |
2 |
|
1 |
1 |
|
2 |
||
= const при r > R2; б) Q = |
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||
Er = r2 |
2ε |
R1 |
− R2 . |
|
|
|
|||||||||||||
3.24. Распределение постоянных токов в проводящей среде описывается урав- |
|||||||||||||||||||
a |
|
|
|
UR |
|
|
|
нением div j(R) |
= 0, где j(R)– объемная плот- |
||||||||||
|
|
|
(2) |
|
|
ность тока. Так как j = σE и E = − grad ϕ, то для |
|||||||||||||
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
θ |
|
|
|
|
|
|
распределения потенциала получается уравнение |
|
||||||||||
|
O |
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ |
(1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ = 0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с граничными условиями на поверхности сферической полости:
|
|
|
|
|
∂ϕ1 |
|
|
∂ϕ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ1(a)= ϕ2(a); j1R |
R=a |
= j2R |
R=a |
или σ1 |
∂R |
R=a |
= σ2 |
∂R |
R=a. |
(2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение (1) и граничные условия (2) аналогичны таковым для электрической задачи: диэлектрический шар с проницаемостью ε1 погружен в неограниченный диэлектрик с проницаемостью ε2, если ε1 заменить на σ1, а ε2 на σ2. Поэтому, ис-
Сохранение заряда. Граничные условия. Закон Ома |
123 |
|
|
пользовав решение задачи 2.8a и положив σ1 = 0, σ2 = σ, получим для распределения потенциала и напряженности электрического поля следующие выражения:
|
|
|
|
|
|
ϕ = |
|
− 23 E0z |
(E0R)a3 |
при R ≤ a, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−E0z − |
|
|
|
|
при R ≥ a, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2R3 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при R < a, |
|
|
|
|
|
E = |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
2 |
|
a3 E0 |
|
3a3 |
(E0R)R |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
E0 + |
|
|
|
− |
|
|
|
|
при R > a, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
2R3 |
|
|
2R5 |
|
|||||||||
где E |
0 |
= |
j |
/σ |
– напряженность электрическога поля вдали от полости. Поскольку |
|||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
j = σE , то распределение тока |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
j0 |
1 + |
a3 |
|
|
3a3 (j0R)R |
|
||||||||
|
|
|
|
j = |
|
|
− |
|
|
|
при R > a, |
|||||||||
|
|
|
|
2R3 |
|
2R5 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при R < a. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.25. Если в среде образовались мелкие пузырьки, то можно рассматривать поле, усредненное по объемам, большим по сравнению с масштабами неоднородностей. По отношению к такому среднему полю смесь жидкого теплоносителя и пузырьков непроводящего пара является однородной и может характеризоваться некоторой средней проводимостью. Если j и E – усредненные по объему плотность тока и напряженность электрического поля, то
|
|
|
(1) |
|
j = σE , |
где σ и есть некоторая усредненная эффективная проводимость закипевшего теплоносителя. Вычислим среднее значение от j − σ0E, по большому объему V . С одной
стороны, |
|
1 |
|
V VZ (j − σ0E) dv = j − σ0E . |
(2) |
С другой стороны, подынтегральное выражение отлично от нуля только внутри объемов пузырьков и с учетом того, что j = 0 внутри каждого пузырька, получаем
1 |
|
|
|
|
|
|
||
VZ (j − σ0E) dv = −2πna3σ0E . |
(3) |
|||||||
|
|
|||||||
|
V |
|||||||
Здесь использовано, что внутри сфер поле равно (см. 3.24) |
3 |
|
/2, т. е. что пу- |
|||||
E |
зырьки находятся во внешнем поле, равном среднему. Приравнивая правые части формул (2) и (3) с учетом уравнения (1), окончательно получаем
|
J/ |
|
σ = σ0(1 − 2πna3) |
при |
na3 1 . |
|
3.26. |
= |
1+Δσ/σ0 |
. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
J0 |
|
1+Δσ/3σ0 |
|
|
124 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3.27. J = |
3πa2 σ1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
j0 3πa |
j0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
σ1 +2σ0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
3.28. J/ |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
4σ1 σ2 |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
a2 |
/b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
J0 |
|
|
|
|
(σ1 +σ2 ) −(σ1 −σ2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
3.29. ϕ1 |
= |
|
J0 |
|
|
1 |
+ |
|
J0 |
σ1 −σ2 |
1 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4πσ1 r1 |
|
4πσ1 σ1 +σ2 r2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
ϕ2 = |
J0 |
2σ1 |
1 |
, ji = −σi ϕi. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
4πσ1 |
|
σ1 +σ2 |
|
r1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3.30. jθ |
(θ) = |
J sin θ |
|
1 |
|
R |
n P ′ (cos θ) , Pn (cos θ) – полиномы Ле- |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
=0 n+1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
жандра. |
|
|
|
|
|
|
|
4πRa |
|
a |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nP |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3.31. T |
= eU |
|
|
|
|
eJ |
|
|
+ 2 ln b/a |
|
− |
r2/a2 |
, где v |
|
– продольная скорость |
|||||||||||||||||||||
электронов. |
|
|
|
|
|
|
− v0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
3.1.Закон «трех вторых»
3.32. Запишем уравнение Пуассона для координаты x, отсчитываемой от като-
да (заземленного электрода): ϕ(x) = −4πρ, ρ = j/v. Из закона сохранения p
энергии mv2/2 = eϕ(x), откуда v(x) = 2e/m · ϕ(x). Таким образом, имеем
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d2ϕ |
= 4πr |
m J |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ−1/2 ≡ Aϕ−1/2 |
|
||||||||||
|
dx2 |
2e |
S |
|
|||||||||||||||||
где A = 2πr |
|
|
m J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
|
|
|
, ϕ(0) = 0, |
ϕ(d) = U, |
(dϕ/dx)x=0 = 0. |
|||||||||||||
|
|
e |
S |
|
|||||||||||||||||
Представим уравнение в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
dϕ |
|
d2ϕ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
dϕ |
2 |
||||||
dx · |
|
|
|
|
· |
|
|
|
= Aϕ−1/2dϕ = |
|
d |
|
|
||||||||
|
|
dx |
|
dx2 |
2 |
dx |
и проинтегрируем его, домножив обе части на 2:
dϕ 2 = 2A Z ϕ−1/2dϕ = 4Aϕ1/2 + C1, dx
C1 = 0 из граничных условий ϕ(0) = 0 и E(0) = 0.
Закон «трех вторых» |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
125 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1/4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 |
|
|
|
Aϕ |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Интегрируем еще раз: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2√Ax = Z |
ϕ−1/4dϕ = |
ϕ3/4 + C2; |
C2 = 0 |
|
|
при |
ϕ(0) = 0. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Так как ϕ(d) = U, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
√ |
Ad = |
|
|
|
3 U |
|
|
|
|
|
, откуда |
|
4 Ad = U |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Подставляя |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
3/4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
2 |
|
|
|
3/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = 2πr |
|
|
|
m |
|
|
|
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
· |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Jd2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
· 2πr |
2m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· |
|
|
|
|
|
|
|
= U3/2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
e |
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
e |
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J = |
|
r |
|
|
|
|
· U3/2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9π |
m |
d2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.33. j = |
|
|
cU |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2πd |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3.34. |
|
j j0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
, где j0 – плотность тока в диоде без учета тепловых |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
kT/eU |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
электронов, которые вылетают из катода, имеющего температуру |
|
|
. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
скоростей |
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|||
3.35. В четыре раза. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3.36. Ea |
= |
|
|
16π |
|
|
2e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≤ |
, где |
≤ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
. При |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
je (1 − α) |
|
|
|
|
|
|
α = je |
|
|
|
|
m , ji ≤ je M |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mU |
|
|
|
|
|
|
|
|
1,63 |
|
|
i je/j0 |
|
|
|
ji |
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
токе ионов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, где |
|
|
|
– плотность тока |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
максимальном |
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
q(α = 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, 97 q |
j0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вакуумного диода, соответствующая закону «3/2». |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
9 |
|
kU2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3.37. j = |
|
, где k |
|
– подвижность электронов ([k] = |
|
|
см3/г). |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
32π |
|
d3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
координат записывается |
||||||||||||
3.38. Уравнение Пуассона в цилиндрической системе |
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
так: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
d |
|
|
|
|
dϕ(R) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4πJ |
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
= −4πρ(R) = |
|
r |
|
|
ϕ−1/2(R), |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
R dR |
|
|
|
|
dR |
|
2πRe |
2e |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
2m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
R |
|
|
= |
|
|
r |
|
ϕ−1/2 = |
|
|
Aϕ−1/2; ϕ(0) = 0; |
|
ϕ(a) = U. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
dR |
|
dR |
ℓ |
e |
|
|
|
|
126 |
|
|
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ |
|
|
||
Ищем решение в виде ϕ(R) = CRα. |
|
||
Подставляем в уравнение и получаем |
|
||
Cα(α |
− |
1)Rα−1 |
= AC−1/2R−α/2. |
|
|
|
Степени R должны быть одинаковы: α − 1 = −α/2, откуда α = 23 .
Подставляя α = 23 в предыдущее уравнение и сокращая на R2/3, получаем уравнение для C:
откуда
Таким образом,
откуда
94 C = AC−1/2,
|
|
|
|
|
|
A |
2/3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
C = |
4 |
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
ϕ(R) = |
A |
|
2/3 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
9 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
4aA |
|
|
2√ |
|
|
|
|
|
ℓ |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
||||||||||
U = |
|
|
|
, J = |
|
2 |
· |
|
|
r |
|
U3/2. |
||||||||
9 |
|
|
9 |
a |
m |
3.39.U (t) = U0 1 + P √U0t/2C 2.
3.40.При прохождении потока электронов между электродами 1 и 2 с потен-
циалами U1 и U2 из-за образования объемного заряда происходит «провисание» потенциала U(x) вплоть до зануления в плоскости, находящейся на расстоянии xm от электрода 1. Так как d0 2d по условию, то и на расстоянии xm от реального катода 0). В этой плоскости скорости электронов обращаются в нуль и часть электронов поворачивает обратно к электроду 1. Такое «провисание» потенциала до нулевого значения называется образованием виртуального катода 3.
Теперь от электрода 1 идет ток с плотностью j1, от виртуального катода 3 в обратном направлении идет отраженный ток −j3 и к электроду 2 приходит ток с плот-
ностью j2: j2 = j1 − j3.
Отсюда максимальный ток на аноде 2 j2max получается в режиме возникновения
виртуального катода, если отраженный ток j3 обращается в нуль, т. е. |
|
j2max = j1, при j3 = 0. |
(1) |
Заметим, что режим виртуального катода соответствует при этом тому, что образовались как бы два диода с общим катодом, которые включены навстречу друг другу.
Закон «трех вторых» |
127 |
|
|
У одного анодное напряжение U1, у другого U2. В плоском диоде с расстоянием между электродами 2d и напряжением на аноде U2 вольт-амперная характеристика выглядит так (см. задачу 3.32):
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
3/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
2 e U2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
j0 = |
|
r |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
(2) |
|||||||
|
9π |
m |
(2d)2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AU23/2 |
|
|
|
|
|
AU13/2 |
U1 |
2 (2d)2 |
(3) |
||||||||||||
j2 = |
|
, j1 = |
|
|
|
|
= j0 |
|
|
|
. |
|||||||||||
(2d − xm)2 |
|
|
xm2 |
U2 |
xm2 |
|||||||||||||||||
Введем безразмерные параметры: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
k = (U1/U2)1/2 |
и ℓ = xm/2d, ℓ < 1. |
|
Подставляя j1 и j2 из уравнения (3) в уравнение (1) и сокращая на j0, получаем 1/(1 − ℓ)2 = k3/ℓ2, откуда для ℓ следует квадратное уравнение:
ℓ2 = k3 − 2k3ℓ + k3ℓ2
.
Записываем уравнение в стандартной форме:
(k3 − 1)ℓ2 − 2k3ℓ + k3 = 0
и получаем решение
|
|
3 |
√ |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3/2 |
|
|
k |
6 |
|
6 |
+ k |
3 |
|
k |
|
|||||
ℓ1,2 = |
|
± k |
− k |
|
|
= |
|
± k |
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
k3 − 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k3 − 1 |
Оставляем лишь один корень, отвечающий условию ℓ < 1.
ℓ = |
k3 − k3/2 |
= |
k3/2(k3/2 − 1) |
= |
k3/2 |
= |
1 |
, |
|
|
||||||||||||||||
|
|
k3/2 + 1 |
|
1 − k−3/2 |
|
|
||||||||||||||||||||
т. е. |
|
|
k3 − 1 |
|
|
(k3/2)2 − 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
xm |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3/4 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2d |
|
|
1 + (U2/U1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
xm = |
|
|
|
2d |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + (U2 |
|
|
3/4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/U1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
AU |
3/2 |
|
|
|
AU |
3/2 |
|
|
AU3/2 |
· 1 − |
1 |
|
|
−2 |
||||||||||
j2max = |
|
|
2 |
|
= |
|
2 |
|
|
|
= |
|
2 |
|
|
= |
||||||||||
(2d |
− |
xm)2 |
4d2(1 |
− |
ℓ)2 |
4d2 |
(U2/U1)3/4 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
128 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
3/4 |
|
|
3/4 |
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
U1 |
|
|
+ U2 |
. |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
4d2 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
e |
3/4 |
3/4 |
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||
j2max = |
|
|
· |
|
|
· U1 |
+ U2 |
. |
|||||||||||||
9π · (2d)2 |
m |
||||||||||||||||||||
3.41. FE /FM |
c2 |
|
d2 |
|
≈ |
d2 |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
v2 |
r2 |
r2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.42. Jпред = mce 3 βγrd , где mce 3 17kA – параметр Будкера. 3.43. ϕ ρd2 jd2 c J0 (d/a)2.
3.1. Дополнительные задачи
3.44. По закону Ома в дифференциальной форме j = σE. По закону сохранения заряда в стационарном случае div j = 0, т. е.
div(σE) = σ div E + E grad σ = 0;
откуда
div E = −E(grad σ)/σ. |
(1) |
По теореме Гаусса в дифференциальной форме div D = 4πρ; откуда
ρ = 41π div(εE) = 41π (E · grad ε + ε div E).
Взяв div E из (1), получим
ρ = |
E |
(σ grad ε − ε grad σ) = |
j |
(σ grad ε − ε grad σ). |
||||
|
|
|||||||
4πσ |
4πσ2 |
|||||||
Отметим, что ρ ≡ 0 при |
grad ε |
= |
grad σ |
. |
|
|
||
ε |
σ |
|
|
В отсутствие поляризуемости среды, когда ее свойства описываются лишь через проводимость σ(r), получаем
ρ(r) = − (j · grad σ) 4πσ2
при ∂ρ∂t = 0.
Дополнительные задачи |
129 |
|
|
3.45. Поскольку ни во внутреннем цилиндре ни в окружающем пространстве нет источников тока, то для обеих областей справедливы уравнения
div j1 = 0, div j2 = 0.
Дифференциальный закон Ома в обоих областях запишем в виде j1 =σ1 (E1 + Eстр) , j2 =σ2E2, Eстр = E0ex.
Поля E1 и E2 – потенциальны и, поэтому, введя потенциалы этих полей E1 = − ψ1, E2 = − ψ2, получим уравнения для потенциалов
ψ1 = 0, ψ2 = 0.
Граничные условия имеют обычный вид. Внутри цилиндра потенциал ограничен ψ1 < ∞. На бесконечности потенциал убывает, т. е. ψ2 → 0 при r → ∞. Поскольку задача стационарная и заряды нигде не накапливаются, то на границе раздела j1n| = j2n| . Откуда получаем граничное условие для потенциалов
σ1 (E1n + Eстрn)| = σ2E2n| .
Предположим, что потенциал внутри и снаружи имеет вид ψ1,2 = R1,2(r) cos θ, где θ – угол между осью x и радиус-вектором. Тогда, решая радиальную часто уравнения Лапласа и учитывая ограниченность решения для потенциала внутри цилиндра и стремление снаружи к нулю, получим решение в виде:
ψ1 |
= |
−E1r cos θ, |
||
ψ2 |
= |
|
A |
cos θ. |
|
r |
Используя граничное условие ψ1 = ψ2 на поверхности цилиндра, получим
A −E1a = a .
Используя это соотношение и подставляя решение во второе граничное условие на поверхности цилиндра, получим
−σ2 ∂ψ∂r2 + σ1 ∂ψ∂r1 = σ1E0 cos θ.
Сокращая на cos θ и решая полученное уравнение, получим
(
A |
= |
|
σ1 a2 |
Eстр, |
||
|
|
|
||||
|
|
|
σ1 +σ2 |
|
||
E1 |
= |
− |
σ1 |
Eстр. |
||
σ1 +σ2 |