zad1_newX

2.2. Емкость

2.15.C a2 b−b a a2 (1 + ab ).

2.16.C 4 ln1b/a .

2.19. Q = −Uhr/d.

2.20. Q = −UC2 (R1+R2)C1+R2 C3 .

(R1 +R2)(C1+C2+C3)

2.21.qi′ = qi − q,¯ где q¯ = 13 (q1 + q2 + q3).

2.3.Метод изображений

2.22.В верхнем полупространстве потенциал поля, создаваемого зарядом q

Этот потенциал обращается в нуль на поверхности проводника (r = r′), а поэтому поверхность проводника будет эквипотенциальной поверхностью в системе зарядов q и (−q). Функция (1) является решением уравнения Пуассона ϕ = −4πqδ(r) для верхнего полупространства z ≥ 0, где δ(r) – дельта функция. Это решение удовлетворяет граничному условию ϕ(r) = 0 при z = 0. По теореме единственности оно и есть искомое решение. В нижнем полупространстве, заполненном проводящей средой, поле равно нулю. Поэтому

Индуцированные заряды притягивают заряд q с той же силой, что и фиктивный заряд q′ = −q, поскольку он создает в верхнем полупространстве такое же поле, что и индуцированные заряды. Эта сила равна

q2 z F = − 4a2 z .

Поверхностная плотность индуцированных зарядов найдется по формуле

где E – нормальная составляющая поля при z = 0 . Проверьте, что касатель-

z

z=0

ная составляющая поля равна нулю при z = 0 . Полный заряд, индуцированный на поверхности проводника:

2.24. Поле внутри двугранного угла создается системой зарядов, изображенных на соответствующем рисунке.

Тогда величина заряда на полусфере, обращенной к заря-

ду q, будет равна

Таким же образом найдем заряд на противоположной полусфере:

Суммарный заряд на сфере, как и следовало ожидать,

a Q = Q1 + Q2 = −q ℓ .

То, что полный заряд на сфере равен q′, можно понять и не интегрируя поверхностную плотность. Действительно, мы нашли, что вне сферы поле E создается зарядами q и q′. Поток вектора E через поверхность, внутри которой находится сфера без

заряда q, определяется только полем, создаваемым зарядом q′, так как поверхность

I

не охватывает заряд q, т. е. (E ds) = 4πq′. Но это и означает, что полный заряд

на поверхности сферы равен q′.

б) Заряд вне сферы. Сфера изолирована.

Если сфера изолирована, то полный заряд сферы равен нулю, поэтому для определения поля вне сферы нужно поместить внутри сферы еще один фиктивный заряд q′′ = −q′. Это легко понять из следующих рассуждений. Вне сферы будет

Поскольку в действительности сфера не заряжена Q = 0, поток должен быть равен

нулю. Если мы оставим внутри сферы только заряд q′, то поток будет равен

I

(E ds) = 4πq′,

что неверно, значит, внутрь сферы нужно поместить еще один заряд q′′, равный по величине и противоположный по знаку заряду q′, q′′ = −q′.

Заряд q′′ нужно поместить в такую точку, чтобы сфера осталась эквипотенциальной поверхностью в системе трех зарядов. Такой точкой является центр сферы. Окончательно

Внутри сферы потенциал постоянен и равен потенциалу на сфере

а поле E = 0. Рассуждения такие же, как и для заземленной сферы.

Проводящая оболочка экранирует внешнее поле заряда q. Распределение заряда по поверхности будет иметь вид:

в) Заряд внутри сферы. Сфера изолирована.

Заряд на сфере равен нулю, поскольку сфера была не заряжена. Если заменить сферу сферическим проводящим слоем некоторой толщины с внутренним радиусом, равным радиусу сферы, то поток вектора E через поверхность, проходящую в толще слоя, равен нулю, так как поле в проводнике E = 0. Отсюда следует, что на внутренней поверхности слоя индуцируется заряд (−q), на внешней – q. Поля внесенного заряда q и индуцированного на внутренней поверхности заряда (−q) полностью компенсируют друг друга в толще слоя и во всем внешнем пространстве. Чтобы убедиться в этом, достаточно представить все внешнее пространство заполненным проводящей средой. В проводящей среде E = 0, поэтому ρ = 0. Если теперь убрать электронейтральную среду, то ничего не изменится, поле останется равным нулю и распределение заряда на внутренней оболочке не зависит от толщины оболочки, а зависит только от места нахождения заряда q.

Чтобы индуцированный на внешней поверхности слоя заряд q не создавал в толщине слоя поле, он должен распределиться равномерно. Понятно, что равномерность

Если заряд

a3(2ℓ2 − a2) Q > q ℓ(ℓ2 − a2)2 ,

то сфера отталкивает заряд q. При

Q < q

a3(2ℓ2 − a2)

ℓ(ℓ2 − a2)2

сфера притягивает заряд q. Когда

a3(2ℓ2 − a2) Q = q ℓ(ℓ2 − a2)2 ,

сила равна нулю. Сила, действующая со стороны заряда на сферу, равна (−F).

2.30. а) ϕнар = (P0 R) + (Pr) , где диполь изображения P = −P0 a3 расположен

R3 r3 ℓ3

на линии, соединяющей диполь P0 с центром сферы, на расстоянии a2/ℓ от него; векторы R и r отсчитываются от диполя P0 и его изображения P соответственно;

ϕвнутр = 0; б) σ = − 43πPa03 cos θ, где θ – угол между P0 и направлением из центра сферы в точку на ее поверхности.

б) Используя решение задачи 1.39, находим, что

2.42. Решим сначала задачу о распределении электрического поля, когда в диэлектрике с проницаемостью ε1 находится заряд q на расстоянии h от плоской границы раздела. Поле в первом диэлектрике E1 будет создаваться зарядом q и поляри-