Яковлев В. И. Классическая электродинамика, ч. 3. Четырёхмерная электродинамика и геометрическая оптика

Наиболее просто раскрывается структура среднего из них

( ) ( ) ( )

· [a × b] = · [ac × b] + · [a × bc] .

Здесь достаточно воспользоваться круговой перестановкой сомножителей в смешанных произведениях правой части

( ) ( ) ( )

· [ac × b] = ac · [b × ] = − a · [ × b] ,

Для следующего объекта

[ ] [ ] [ ]

× [a × b] = × [ac × b] + × [a × bc]

каждое слагаемое правой части распишем по правилу ( 6 ) вычисления двойного векторного произведения, а затем осуществим необходимую перестановку сомножителей так, чтобы только переменная величина оказывалась правее . Эту процедуру продемонстрируем на первом слагаемом, где переменной величиной является b :

[]

×[ac×b] = ( ·b)ac−( ·ac)b = ac( ·b)−(ac· )b = a( ·b)−(a· )b.

Вместе с аналогичным вторым слагаемым они приводят к результату

[]

× [a × b] = a( · b) − b( · a) + (b · )a − (a · )b,

эквивалентному тождеству

Обратим внимание, что в составе rot [a × b] появились слагаемые (a· )b, (b· )a, определяемые незнакомым пока оператором типа (a· ) в виде скалярного произведения истинного вектора a на вектор , стоящий справа от a. Смысл этого оператора будет выяснен позже. А перед этим вернёмся к последнему из объектов ( 47 ) grad (a · b), в составе которого названный выше оператор также появляется.

Чтобы комплекс (ac · b) из правой части ( 50 ) привести к нужному виду с переменным вектором b, расположенным непосредственно за оператором , возьмём следующее двойное векторное произведение и его разложение

[]

ac × [ × b] = (ac · b) −(ac · )b.

| {z }

Здесь выделенное слагаемое есть интересующий нас комплекс, а другие элементы равенства имеют требуемую форму. Отсюда получаем

[]

(ac · b) = a × [ × b] + (a · )b.

Выражение

[ ]

(a · bc) = (bc · a) = b × [ × a] + (b · )a

для второго слагаемого ( 50 ) очевидно. Следовательно, искомая формула приобретает вид

grad (a · b) = [a × rot b] + [b × rot a] + (a · )b + (b · )a. ( 51 )

4. Чтобы понять физический смысл оператора (a· ), (a — постоянный вектор), подействуем им на векторное поле b в точке P и результат представим в виде

Отсюда видно, что рассматриваемая величина зависит от пространственных производных поля b в точке P. Если вектор a зададим его длиной | a | и направляющими косинусами в виде a =| a | (cos αex + cos βey + cosγez), то соотношение ( 52 ) приобретает вид

(a · )b =| a | (cos αex + cos βey + cosγez)b.

Вспомнив (см. формулу ( 7 )), что скобка в этом равенстве представляет собой производную ∂/∂l по направлению вектора a, результат применения оператора (a · ) к полю b можем представить в виде

По этой причине векторная величина (a · )b называется производной вектора b по направлению вектора a.

В заключение заметим, что в справедливости всех инвариантных результатов, полученных здесь при помощи символического оператора ( 35 ), можно убедиться, подставляя в них соответствующие выражения, имеющиеся в декартовой системе координат.

∫

F = fdv, действующая на заряды сгустка, определяет скорость изменения суммарного механического импульса рассматриваемых частиц:

где объём интегрирования V выбран таким, что весь сгусток сосредоточен внутри этой области и ее границу S заряды не пересекают.

2. Очевидно, что в этом случае скорость изменения суммарного импульса, равного P + G, где G — импульс электромагнитного поля в объеме V, будет определяться только потоком импульса электромагнитного поля через замыкающую поверхность S. Обозначив тензор плотности потока импульса через −Tik1,закон сохранения i—ой компоненты импульса можно представить в виде

Следовательно, чтобы определить искомые выражения для плотности импульса электромагнитного поля g и тензора Tik, необходимо так преобразовать выражение (B.1) для плотности силы f, чтобы, в результате, соотношение (B.2) привелось к виду, соответствующему равенству (B.3).

3. Приступим к поэтапному решению этой задачи.

а). Начнём с того, что ρ и j, входящие в (B.1), из неоднородных уравнений Максвелла заменим выражениями

ρ = 41π div E, j = 4cπ (rot B − 1c ∂∂tE )

и, как результат, получим

ρE + 1c [j × B] = 41π (E div E + [rot B × B] − 1c [∂∂tE × B]).

Последнее слагаемое в этом выражении преобразуем,попутно использовав еще одно из уравнений Максвелла:

1Напомним, что объяснение смысла компонент тензора можно найти, например,

в§2.11 данного Пособия.

=1c ∂t∂ [E × B] + [E × rot E],

ак первому слагаемому прибавив член B div B, тождественно равный нулю. В результате выражение (B.1) для f приобретёт вид

(B.4) б). В качестве второго шага слагаемое (1/4π){ } правой части (B.4)

приведем к дивергенции тензора натяжений Tik. Заметив, что рассматриваемое выражение складывается из двух однотипных составляющих, займёмся преобразованием одного из них. Возьмём какую-либо его декартову компоненту, например, x :

и осуществим обозначенную подчёркиваниями перегруппировку. Результат приведём к виду

−12 ∂x∂ E2 + ∂x∂ (ExEx) + ∂y∂ (ExEy) + ∂z∂ (ExEz);

отсюда видно, что для произвольной i-ой компоненты в тензорной записи имеем

(E div E − [E × rot E])i = −12 ∂x∂ i E2 + ∂x∂k (EiEk) =

= ∂x∂k (EiEk − 12 δik E2).

Аналогичное выражение справедливо для второго слагаемого. Таким образом, i-ая компонента полного выражения (1/4π){ } имеет дивер-

причем Tik = Tki. Как видно из полученного выражения, тензор Tik для произвольного переменного электромагнитного поля складывается из двух частей, отвечающих, соответственно, отдельно электрическому и отдельно магнитному полю. Каждый из этих вкладов совпадает с тем, который получается для стационарного электрического (или магнитного) поля в случае среды,не обладающей диэлектрическими и магнитными свойствами (см. результаты §§ 2.11, 6.14).

в). Введём обозначение

и векторное равенство (B.4) запишем в виде

Проинтегрировав последнее соотношение по объёму V, получаем интегральный закон сохранения (B.3), в котором суммарный импульс электромагнитного поля определён как

∫

G = gdv,

V

причём плотность импульса определяется выражением (B.6).

В заключение соотношение (B.3) воспроизведём в векторном виде

чтобы повторить замечание из конца § 2.11 о неэквивалентности электромагнитных натяжений пондеромоторным силам в случае переменных электромагнитных полей. Как видно из приведенного выражения, разница между ними обусловлена изменением суммарного импульса электромагнитного поля в рассматриваемом объеме.

Библиографический список

Ахманов С.А., Никитин С.Ю. Физическая оптика. — М.: Изд-во МГУ, 1998.

Батыгин В. В., Топтыгин И. Н. Современная электродинамика. Москва, Ижевск, 2003.

Батыгин В.В., Топтыгин И.Н. Сборник задач по электродинамике.

— М.: Наука, 1970.

Бутиков Е.И. Оптика. — М.: Высш. шк., 1986.

Гинзбург В. Л. Теоретическая физика и астрофизика. М.: Наука, 1975.

Гинзбург И. Ф., Погосов А. Г. Электродинамика. Новосибирск: НГУ, 2010.

Джексон Дж. Классическая электродинамика. — М.: Мир, 1965. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. — М.: Физматлит, 2001. Ландсберг Г. С. Оптика. — М.: Наука, 1976.

Матвеев А.Н. Оптика. — М.: Высш. шк., 1985.

Меледин Г.В., Черкасский В. С. Электродинамика в задачах. Новосибирск: НГУ, 2009.

Мешков И. Н., Чириков Б. В. Электромагнитные волны и оптика.

— Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1987. Ч. 2.

Сивухин Д.В. Общий курс физики. — М.: Наука, 1996. Т. 3. Ч. 2. Тамм И. Е. Основы теории электричества. — М.: Гос. изд. технико-

теоретической литературы, 1957.

Терлецкий Я. П., Рыбаков Ю. П. Электродинамика. М.: Высш. шк., 1980.

Фейнман Р. и др. Фейнмановские лекции по физике. — / Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс. М.: Мир, 1966. Т. 5—7.

Фриш С. Э., Тиморева А. В. Курс общей физики. — М.: Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1957. Т. 3.