Яковлев В. И. Классическая электродинамика, ч. 3. Четырёхмерная электродинамика и геометрическая оптика

Справедливо следующее важное предложение относительно этой скалярной величины: если единичный вектор n = cos αex +cos βey +cos γez задан направляющими косинусами, то

Для доказательства ( 26 ) через точку P проведём плоскость, перпендикулярную к n, выберем на продолжении вектора n точку O′ и проведём через O′ лучи, параллельные осям координат (см. рис. A.21) Эти лучи пересекут плоскость, проведённую через P, в точках A1, A2, A3. В качестве контура C возьмём периметр треугольника A1A2A3, пробегаемый в направлении, согласованном с n, т. е. контур A1A2A3A1. На остальных трёх гранях пирамиды O′A1A2A3 также введём контуры C1 : O′A2A3O′, C2 : O′A3A1O′ и C3 : O′A1A2O′, обходы которых согласованы соответственно с ex, ey, ez. Тогда нетрудно видеть, что

так как в правой части интегралы по рёбрам O′A1, O′A2, O′A3 взаимно уничтожаются. Площади граней пирамиды связаны соотношениями:

SC1 = SC (n · ex) = SC cos α,

SC2 = SC (n · ey) = SC cos β,

SC3 = SC (n · ez) = SC cos γ.

После перехода к пределу при стягивании контура C в точку P (т. е. при перемещении точки O′ по отрезку O′P в точку P.) это равенство превращается в требуемое соотношение ( 26 ).

Таким образом, завихренность в точке P вокруг направления n выражается через завихренности вокруг направлений ex, ey, ez соотношением, полностью аналогичным соотношению ( 7 ) для производной по направлению. Здесь его для сравнения воспроизведём:

Теперь можно повторить всё сказанное раньше после формулы ( 7 ), внеся единственное уточнение, касающегося вектора с вспомогательным обозначением Λ. Обозначением этим пользоваться ещё раз не станем, назвав соответствующий вектор своим именем — ротор векторного поля в точке P :

rot a(P ) = wex (P )ex + wey (P )ey + wez (P )ez,

а аналог соотношения ( 7 ) повторим в виде

и дополним поясняющим рис. A.22.

Инвариантное определение ротора векторного поля, вытекающее из сказанного, формулируется так: это есть вектор, имеющий направление, совпадающее с тем, вокруг которого завихренность поля максимальна,

и величину, равную этой максимальной завихренности. Из равенства ( 28 ) следует, что

Это — ключ к вычислению ротора во всех ортогональных системах.

Теорема Стокса. Как мы убедились выше, из инвариантного определения дивергенции вытекает теорема Остроградского-Гаусса ( 21 ), связывающая интеграл по объёму V от дивергенции векторного поля с потоком вектора через замыкающую поверхность S. Точно так же из инвариантного определения ротора и соотношения ( 29 ) следует теоре-

Здесь S — любая незамкнутая поверхность, опирающаяся на замкнутый контур C, в общем случае пространственный (см. рис. A.23), а направление нормали n и положительное направление обхода контура C согласованы между собой.

Теорема утверждает, что циркуляция векторного поля по контуру C равна потоку ротора через поверхность S, натянутую на контур C. Для доказательства достаточно поверхность S разбить на систему бесконечно малых элементарных площадок и циркуляцию dΓ по контуре, охватывающую площадку dS, выразить через завихренность wn = rotn a соотношением

(На рис. A.23 вместо dS изображена конечная площадка ∆Si с указанием направления обхода её контура и направления вектора ni.) Про-

суммируем все равенства ( 31 ). Заметив, что сумма циркуляций dΓ

H

приводит к циркуляции ΓC = C aldl по контуру C, приходим к нужному результату ( 30 ).

A.7. Вычисление ротора в ортогональных координатах

Основывается на утверждении ( 29 ) и определении завихренности, даваемой формулой ( 25 ). Для вычисления завихренности вокруг соответствующего орта можно пользоваться любым замкнутым контуром, лежащим в плоскости, перпендикулярной данному орту. Практически удобно пользоваться контуром с центром в точке P0, образованным двумя парами координатных линий. Тогда контур будет иметь вид прямо-

угольника, в общем случае криволинейного, при этом вклад каждой пары сторон, противоположных друг другу, учитывается отдельно.

Имея в виду опыт, приобретёный читателем при вычислении дивергенции, соответствующий процесс для ротора здесь представим более схематично, предполагая присутствие воображения при построении необходимых замкнутых контуров, а также понимание возможности замен неопределённых координат типа x , y , z на x0, y0, z0.

Начнём с бесхитростного случая декартовых координат. Здесь для определения wex (P0) = rotx a(P0) возьмём

Рис. A.24

прямоугольный контур со сторонами ∆y, ∆z, лежащий в плоскости x = x0 с направлением обхода, согласованным с ортом ex (см. рис. A.24). Циркуляция по этому контуру

После деления на площадь ∆y∆z и перехода к пределу отсюда получается x-составляющая ротора

Выражения для двух других составляющих

можно получить аналогично, а можно просто воспользоваться круговой перестановкой индексов x, y, z. Таким образом, формула для вычисления ротора в декартовых координатах имеет вид

Для цилиндрических координат (ρ, α, z) в качестве замкнутых контуров, служащих для определения завихренностей в точке P0(ρ0, α0, z0) вокруг направлений e , e , ez берём контуры, обрамляющие соответствующие элементарные площадки ∆S , ∆S , ∆Sz. Первые две на рис. A.25(а),(б) представлены в виде разреза плоскостью z = z0. Пунктирная

Y Y Y

Рис. A.25

окружность представляет собой координатную линию ρ, проходящую через точку P0. Элемент дуги длины ρ0∆α на рис. A.25а и радиальный элемент с длиной ∆ρ на рис. A.25б, проведённые сплошной линией, здесь символизируют соответственно ∆S и ∆S . Конечно, мы их мысленно дополняем двумя прямыми отрезками длины ∆z, направленными параллельно образующим цилиндра ρ = ρ0. Направление обхода на этих отрезках символически обозначено точками и крестиками. Элементарная площадка ∆Sz на рис. A.25в показана явно — со своим контуром и направлением обхода.

Имея перед глазами эти картинки, легко написать выражения соответствующих циркуляций, каждая из которых складывается из двух частей:

Помимо скалярного произведения ( · a), можно образовать и векторное произведение этих векторов [ × a], которое, как нетрудно убедиться, совпадает с ротором ( 32 ) векторного поля a :

2. Обратимся к выражениям, содержащим два сомножителя и, следовательно, связанным со вторыми производными скалярных и векторных величин u, a. Начнём с произведения ( · ) = 2. Легко вычислить, что этот квадрат совпадает с оператором Лапласа:

(для него часто используется обозначение ∆, называемое лапласианом). Из соответствующей векторной алгебры

(b · b)u = (b · bu)

после замены b на вектор получаем выражение 2u = ( · u), т. е.

раскрывающее смысл оператора Лапласа.

Рассмотрим другие произведения, содержащие по два одинаковых

Их аналогами, получающимися после замены b на ∆ (при любых a и u), являются тождества

3В правой части последнего равенства можно, конечно, изменить порядок сомно-

стояли перед дифференцируемым вектором a.

[]

×[×a] = (·a)−2a, т. е. rot rot a = grad div a−∆a. ( 43 )

Результат действия оператора ∆ = 2 на вектор a, входящий в последнее выражение, имеет определённый ( 39 ) смысл:

3. Итак, пока оператор входит сомножителем в произведения, содержащие в себе лишь один-единственный истинный скаляр или вектор, произведения эти можно преобразовать по обычным правилам векторной алгебры. Однако, если в произведение входят два или несколько истинных скаляров или векторов, то правила эти становятся неприменимыми и нуждаются в видоизменениях. Продемонстрируем это на примере воздействия оператора на произведения двух функций. При этом следует применить сначала к первому сомножителю, считая второй постоянным (так что он может быть вынесен за знак ), а затем ко второму сомножителю, считая первый постоянным, и результаты сложить. Условимся сомножитель, на который в данном слагаемом не действует, отмечать нижним индексом «c»:

(uv) = (ucv) + (uvc) = u v + v u

(в крайней правой части этих равенств индекс опускается, так как воздействует только на величину, стоящую справа от него),

( · ua) = ( · uca) + ( · uac) = u( · a) + ( u · a),

( × ua) = ( × uca) + ( × uac) = u( × a) + ( u × a),

Первая из приведенных здесь формул есть формула ( 14 ) для градиента произведения, а последующие можно представить в виде

Теперь обратимся к действию на произведения (a · b), [a × b] векторов a и b. Из них получаются три различающихся объекта