Яковлев В. И. Классическая электродинамика, ч. 3. Четырёхмерная электродинамика и геометрическая оптика

e = cos αex + cos βey + cos γez. При этом вектор Λ определяется только точкой P и не зависит от направления луча, а e — единичный вектор в этом направлении.

Вектор Λ называется градиентом поля в точке P и обозначается

Таким образом, градиент можно вычислить по этой формуле, если в пространстве введена прямоугольная декартова система координат и функция поля u(P ) введена как функция этих координат u(x, y, z). Если выбрать другую прямоугольную декартову систему координат (с другим началом и с другими направлениями осей), то изменятся направления ортов ex, ey, ez и значения производных ∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂u/∂z. Однако сам градиент останется неизменным. Чтобы в этом убедиться, необходимо дать инвариантное определение градиента, т. е. определение, которое не зависит от выбора системы координат в пространстве.

Из формулы ( 8 ) следует, что производная по направлению связана с градиентом соотношением

где φ — угол между grad u и направлением l (см. рис. A.14). Так как cos φ принимает своё наибольшее значение при φ = 0, из равенства ( 10 ) следует, что | grad u | есть наибольшее возможное значение ∂u/∂l в точке P, а направление grad u совпадает с направлением луча, исходящего из точки P, для которого ∂u/∂l принимает это своё наибольшее значение.

Таким образом, градиент скалярного поля — это вектор, имеющий направление наибыстрейшего возрастания функции и величину, равную производной по этому направлению. Это определение градиента

152 Глава 18. Приложение. Векторный анализ

не зависит от выбора системы координат и является, следовательно, инвариантным.

Вернёмся ещё раз к соотношению ( 10 ). Его можно перефразировать

по этому направлению.

Аэто уже прямой путь для вычисления градиента поля, отнесённого к другим ортогональным системам координат. (Для декартовой системы имеется формула ( 9 ).) В цилиндрических координатах с ортами e , e , ez разложение имеет вид

В сферических координатах при вычислении составляющей по e не забываем, что элемент координатной линии α есть r sin θdα. Результат следующий:

Подчеркнём, что составляющие по всем ортам в формулах ( 12 ), ( 13 ) получены в соответствии с утверждением ( 11 ).

Для вычисления градиента полезны также следствия формулы ( 9 ) и правил дифференцирования. Это градиент произведения

и градиент сложной функции

Обратимся к примерам. Начнём со случая сферически симметричного поля

u(| r |) = u(r)

с центром симметрии, совпадающим с началом координат. Непосредственно из инвариантного определения очевидно, что градиент в любой точке в этом случае направлен радиально и по величине равен производной u′(r) :

grad u(r) = dudr rr .

Преследуя чисто учебные цели, в приводимых ниже примерах 1, 2 к подобному результату придём путём вычислений.

Пример 1. Пусть u1(r) = r. Можно представить это поле в декарто-

Конечно, простейший путь к этому результату — это использование естественной для данного поля сферической системы координат. Поле u1 не зависит от угловых координат и из формулы ( 13 ) прямо видно, что grad r = 1 · er, т. е. результат ( 16 ).

Пример 2. Воспользовавшись формулой ( 15 ), найдём

z

grad’ R

R

grad R

R’

R

O y

x

Рис. A.15

Пример 3. В качестве обобщения приведенных примеров рассмотрим функцию R(r′, r) =| r − r′ |, зависящую от координат точек r′ и r, и равную расстоянию между ними (см. рис. A.15). В электродинамике часто приходится иметь дело с этой функцией. Для неё различают два вида градиентов, обозначаемые grad R и grad′ R. Градиент «без штриха» подразумевает, что точка r′ фиксирована, а переменными являются координаты точки r. (Иными словами, центр симметрии поля R совпадает с точкой r′.) Для градиента «со штрихом», наоборот, точка r — фиксирована, а меняются координаты r′.

Пример 4. Так же часто встречается поле

ϕ = (k · r),

представляемое скалярным произведением некоторого постоянного вектора k и радиуса-вектора r. Для него результат можно найти так:

grad ϕ = grad(kxx + kyy + kzz) = (kxex + kyey + kzez) = k.

Вообще говоря, в этом вычислении необходимости нет. Просто необходимо одну из осей координат (например, z) направить вдоль вектора k и поле записать в виде ϕ = kz. Отсюда результат становится очевидным:

A.4. Векторное поле. Поток. Дивергенция. Теорема Остроградского-Гаусса

Вернёмся к векторному полю. Примеры приводить не будем. Сразу напомним, что две интегральные величины характеризуют векторное поле. Первая из них — это поток, с него и начнём обсуждение. Для этого через точку P мысленно проведём бесконечно малую площадку dS, ориентацию которой зададим единичным вектором n(P ) нормали к площадке. Произведение нормальной компоненты вектора a(P ) на величину площадки

dN = an(P )dS

называют потоком поля a(P ) через элементарную площадку dS.

Теперь представим себе конечную поверхность S с нормалью n(P ) в каждой точке (причём n(P ) меняется непрерывным образом при переходе от точки к точке) и разобъём её на систему элементарных площадок ∆Si. Принимая, что в пределах каждой малой площадки поле a

называется потоком векторного поля a через конечную поверхность S.

Таким образом, в каждом конкретном случае вычисление потока сводится к замене символической записи ( 19 ) соответствующим определённым двойным интегралом и его вычислению. Выполнение первого из этих этапов, представляющее определённую трудность для начинающих, продемонстрируем на примере.

Пример. Поток поля точечного заряда E(r) = (q/r2)(r/r) через участок цилиндрической поверхности ρ = a, 0 ≤ α ≤ π/2, 0 ≤ z ≤ a (см. рис. A.16).

Z

A

A A

X Y

Рис. A.16

В качестве элементарной площадки здесь естественно принять элемент dS = adαdz координатной поверхности ρ = a. Внешней нормалью к площадкам dS служит n = e √. Поскольку радиус-вектор точки на поверхности r = ae + zez, r =√ a2 + z2, то нормальная компонента поля E в этой точке En = qa/( a2 + z2)3 и поток ( 19 ) выражается

Подынтегральная функция не зависит от α. Вычисление приводит к результату

Для самопроверки полезно составить интеграл для вычисления потока того же поля через часть плоской крышки рассматриваемого цилиндра z = a, 0 ≤ ρ ≤ a, 0 ≤ α ≤ π/2.

Должен получиться следующий результат:

Дивергенция поля. Рассмотрим теперь произвольную точку P0 и окружим её замкнутой поверхностью S. В качестве вектора n на S выберем единичный вектор внешней нормали и поток вектора a(P ) по

мкнутой поверхностью, и взятия предела при стягивания S в точку P0, отсюда получается величина, играющая важную роль в теории поля. Называется она дивергенцией векторного поля в точке P0

и является одной из двух локальных характеристик поля. Необходимо отметить, что определение ( 20 ) имеет смысл только в

том случае, если предел не зависит от того, какие формы принимает S в процессе стягивания в точку P0 (или в процессе уменьшения объёма Vs). В достаточно широких для приложений условиях это действительно имеет место, но при этом одной непрерывности поля a(P ) оказывается недостаточно, и мы будем предполагать, что компоненты вектора a(P )

имеют непрерывные частные производные.1

Следствием инвариантного определения дивергенции ( 20 ) является

интегральная теорема Остроградского-Гаусса

SV

оравенстве потока через любую замкнутую поверхность S интегралу от дивергенции по объёму V, заключённому внутри этой замкнутой поверхности. Чтобы в этом утвердиться, достаточно разбить весь объём на систему бесконечно малых элементарных объёмов dV, для каждого из которых справедливо равенство dN = div adV, где dN — поток поля через замкнутую поверхность объёма dV. Сложив все эти равенства, учитывая, что потоки через внутренние границы между соседними элементами dV при этом компенсируются, в результате придём к равенству ( 21 ).

A.5. Вычисление дивергенции в ортогональных координатах

Основывается на инвариантном определении дивергенции ( 20 ). Для этого можно использовать стандартную последовательность операций

вкаждой из систем координат:

1.Замкнутую поверхность выбрать в виде поверхности ортогонального параллелепипеда (криволинейного в общем случае), образованного трёмя парами координатных поверхностей, и содержащего внутри себя рассматриваемую точку P0.

2.Вычислить суммарный поток поля через эту замкнутую поверхность, мысленно её разбив на три пары противоположных граней параллелепипеда. Вклад каждой пары в суммарный поток вычисляется отдельно.

3.Разделить поток на объём, заключённый внутри замкнутой поверхности и перейти к предусмотренному пределу ( 20 ).

1Впрочем, наличие поверхности разрыва поля a или его частных производных не вносит больших трудностей при работе с рассматриваемой величиной, но на этом мы не будем останавливаться.

158 Глава 18. Приложение. Векторный анализ

Наиболее просто эта процедура выполняется для декартовой системы координат. Здесь параллелепипед с центром в точке P0 и гранями, параллельными координатным плоскостям, легко изобразить в виде рис. A.17. Длины его рёбер приняты равными ∆x, ∆y, ∆z; его объём

∆V = ∆x∆y∆z.

Рассмотрим грани, перпендикулярные оси x, с внешними нормалями n = ex и n = −ex (см. рис. A.17). Вклад этой пары можно представить

где y , z — координаты некоторой внутренней точки правой грани параллелепипеда, y , z — аналогичные координаты точки его левой грани, пока неопределённые в случае произвольных ∆y, ∆z. Поскольку величину Nx нам предстоит разделить на ∆V = ∆x∆y∆z и перейти к пределу при стягивании параллелепипеда в точку P0, то очевидно, что эти неопределённые координаты внутренних точек можно заменить на y0, z0. При этом рассматриваемое отношение переходит в

Аналогично этому оставшиеся две пары противоположных граней

Заменяя в полученной формуле точку P0 произвольной точкой, окончательную формулу для вычисления дивергенции поля в прямоугольных декартовых координатах запишем в виде

Перейдём к цилиндрическим координатам. Замкнутую поверхность соответствующего ортогонального параллелепипеда, внутри себя содержащего точку P0 с координатами ρ0, α0, z0, мы теперь имеем возможность изобразить в двумерном виде его сечения плоскостью z = z0 (рис. A.18). Представляем, что ребро, перпендикулярное плоскости z, имеет длину ∆z, а объём параллелепипеда ∆V = ρ0∆α∆z. Поток поля через пару граней ρ0 − 12 ∆ρ, ρ0 + 12 ∆ρ данного параллелепипеда запишем в виде

сразу же координаты α , z и α , z заменив на значения α0, z0. Обращаем внимание на важное обстоятельство. Здесь площадь грани, соответствующей координатной поверхности S , зависит от её координаты и это нельзя не учитывать при составлении ∆N . После разделения на объём получаем

Грани параллелограмма, соответствующие координатам α0−12 ∆α, α0+ 12 ∆α имеют одинаковые площади и вклад этой пары граней в суммар-

ный поток поля приводит к величине ρ1 ∂a∂α (P0). Аналогичны грани с

координатами z0 − 12 ∆z и z0 + 12 ∆z. Их вклад даёт величину ∂a∂zz (P0).

В результате формула для дивергенции в цилиндрических координатах приобретает вид:

Наконец, в сферических координатах, когда соответствующую замкнутую

θ0

R0

Рис. A.19

поверхность можем представить сечением (рис. A.19) полуплоскостью α = α0. Здесь уже две элементарные площадки зависят от своих координат: dSr = r2 sin θ∆θ∆α, dS = r sin θ∆α∆r, а dS = r∆θ∆r от своей координаты не зависит. В соответствии с этим попарные потоки после деления на объём ∆V = r02 sin θ0∆α∆θ∆r и сокращений дают:

После перехода к пределам приводят к формуле для вычисления дивергенции в сферических координатах