All lectures pdfs / Ур.мат.физ / Lecture_4 / 2010-09-18 / Лекция_4

\documentclass[16pt]{article}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{ulem}
\usepackage{amsmath, amssymb, longtable,graphicx}
\usepackage{geometry}
\geometry{top=1cm} \geometry{bottom=0.5cm}


\oddsidemargin=0.96cm \topmargin=0.96cm

 \textwidth 14.6cm

\textheight 21cm

\allowdisplaybreaks[2]
\begin{document}

     \setcounter{page}{1}
     \pagestyle{myheadings}


     \markboth{ А.М.Блохин}
     {Лекция №4, НГУ, ММФ, 2010}
     \title{\S 4. Характеристики различных уравнений математической физики.}


     \date{}
     \maketitle

\Large
\begin{frenchspacing}
Рассмотрим теперь конкретные примеры линейных уравнений 2-го
порядка. Попытаемся найти для них вещественные характеристики
$\gamma:~\Psi(t,x)=0,~\left.\widetilde{\nabla}\Psi\right|_\gamma\ne
0,~K(\cdot)=0.$

1) Волновое уравнение
$$
u_{tt}-u_{xx}=0,~x\in R^1;
$$
характеристическое уравнение имеет вид
$$
\Psi^2_t-\Psi^2_x=0
$$
(уравнение характеристики $\Psi(t,x)=0$).

Оно распадается на два уравнения
$$
\left\{
\begin{aligned}
&\Psi_t-\Psi_x=0,\\
&\Psi_t+\Psi_x=0,
\end{aligned}
\right.
$$
решая которые (используя методы \S 2), находим сначала общее
решение
$$
\left\{
\begin{aligned}
&\Psi=\mathcal{F}(x+t)\\
&\mbox{или}\\
&\Psi=\mathcal{F}(x-t),~\mbox{где}~\mathcal{F}~\mbox{-
произвольная функция.}
\end{aligned}
\right.
$$
Отсюда следует
$$
\left\{
\begin{aligned}
&\mathcal{F}(x+t)=0\rightarrow\\
&\mbox{или}\\
&\mathcal{F}(x-t)=0\rightarrow
\end{aligned}
\right. \left\{
\begin{aligned}
&x+t=\mbox{const}\\
&~~~~~~~~~\\
&x-t=\mbox{const}
\end{aligned}
\right.
$$
- два семейства характеристик исходного уравнения.

Если в исходном уравнении перейти к новым переменным (т. наз.
\textbf{каноническим переменным} или \textbf{характеристическим
переменным})
$$
\left\{
\begin{aligned}
&\xi=x+t,\\
&\eta=x-t,
\end{aligned}
\right.
$$
то волновое уравнение перепишется так
$$
u_{\xi\eta}=0.
$$
Для этого уравнения легко находится общее решение
$$
u=F(\xi)+G(\eta),
$$
где $F, G$ - произвольные функции.

Возвращаясь снова к старым переменным, получим общее решение
исходного уравнения
$$
u=F(x+t)+G(x-t).
$$
Поскольку линии $t=\mbox{const}$ не являются характеристиками (в
этом случае $\gamma$: $\Psi(t,x)=t-t_0$ и $\Psi^2_t-\Psi^2_x\ne
0$), то задача Коши
$$
\left\{
\begin{aligned}
&u_{tt}-u_{xx}=0,\\
&\left.u\right|_{t=t_0}=\varphi_0(x),~\left.u_t\right|_{t=t_0}=\varphi_1(x)
\end{aligned}
\right.
$$
поставлена хорошо (\textbf{корректно поставлена}), т.е. по крайней
мере к этой задаче применима теорема Коши-Ковалевской о
существовании единственного аналитического решения.

2) Возьмем волновое уравнение, записанное в канонических
переменных
$$
u_{xy}=f(x,y),
$$
характеристическое уравнение которого имеет вид:
$$
\Psi_x\Psi_y=0~(\gamma:~\Psi(x,y)=0).
$$
Общее решение
$$
\left\{
\begin{aligned}
&\Psi=\mathcal{F}(y)\\
&\mbox{или}\\
&\Psi=\mathcal{F}(x),~\mbox{где}~\mathcal{F}~\mbox{- произвольная
функция,}
\end{aligned}
\right.
$$
т.е. характеристиками являются прямые
$$
y=\mbox{const}~\mbox{или}~x=\mbox{const}.
$$
\begin{figure}[h]
\centering\includegraphics[width=0.5\textwidth]{pic_1.eps}
\end{figure}\\
Общее решение исходного уравнения имеет вид:
$$
u=\int\limits^x_0d\xi\int\limits^y_0 f(\xi,\eta)d\eta+F(x)+G(y),
$$
$F,~G$ - произвольные, достаточно гладкие функции (не обязательно
аналитические).

Будем теперь искать решение задачи Коши
$$
\left\{
\begin{aligned}
&u_{xy}=f(x,y),\\
&\left. u\right|_{y=0}=\varphi_0(x),~\left.
u_y\right|_{y=0}=\varphi_1(x).
\end{aligned}
\right.
$$
Для этого воспользуемся формулой общего решения. Попытаемся
подобрать функции $F,~G$ так, чтобы выполнялись условия при $y=0$,
а именно:
$$
\left\{
\begin{aligned}
&F(x)+G(0)=\varphi_0(x),\\
&\int^x_0 f(\xi,0)d\xi+G'(0)=\varphi_1(x),
\end{aligned}
\right.
$$
$$
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\begin{aligned}
&\downarrow\\
&\uwave{f(x,0)=\varphi'_1(x)}
\end{aligned}
$$
т.е. $F(x)=\varphi_0(x)-G(0)$, а функция $G(y)$ не определяется из
этих равенств. Следовательно, при произвольных
$\varphi_0,~\varphi_1(x)$ задача Коши не имеет решения. Если же
$f(x,0)\equiv\varphi'_1(x)$, то решение задачи Коши существует, но
не единственное, поскольку оно записывается так:
$$
u=\int\limits^x_0d\xi\int\limits^y_0
f(\xi,\eta)d\eta+\varphi_0(x)+G(y)-G(0),
$$
где $G(y)$ - произвольная дважды непрерывно дифференцируемая
функция, удовлетворяющая условию:
$$
G'(0)=\varphi_1(0).
$$
Конечно, это произошло из-за того, что линия $y=0$,на которой
ставятся данные Коши - \textbf{характеристика}.

3) \\$u_{tt}=\Delta_x u,~x\in R^n,$\\[1.5mm]
$
\Psi^2_t-|\nabla\Psi|^2=0,~|\nabla\Psi|^2=\sum\limits^n_{k=1}\Psi^2_{x_k},
$\\[1.5mm]
$ \gamma:~\Psi(t,x)=0~-~\mbox{уравнение характеристики}.
$\\[1.5mm]
$
\Psi_t=\pm|\nabla\Psi|~-~\mbox{уравнения Гамильтона-Якоби (см. \S
2).}
$\\[1.5mm]
Частные решения:
$$
(t-t_0)^2-|x-x_0|^2=0~-~\mbox{коническая поверхность}
$$
(конус с центром в точке $y_0=(t_0,x_0)$).
\begin{figure}[h]
\centering\includegraphics[width=0.5\textwidth]{pic_2.eps}
\end{figure}
\\Плоскость $(t-t_0)\zeta^*_0+(x-x_0,\widehat{\zeta}^*)=0$,
$\zeta^*=(\zeta^*_0,...,\zeta^*_n)=(\zeta^*_0,\widehat{\zeta}^*)$
- нормаль к плоскости, причем
$\zeta^{*2}_1+...+\zeta^{*2}_n=\zeta^{*2}$.

Если взять $|\zeta^*|=1$, то
$$
\zeta^*_0=\pm\dfrac{1}{\sqrt{2}}\mbox{ и
}\zeta^{*2}_1+...+\zeta^{*2}_n=\dfrac{1}{2}.
$$
\begin{figure}[h]
\centering\includegraphics[width=0.5\textwidth]{pic_3.eps}
\end{figure}\\
4) \\
$\nabla_x u=0$ - уравнение Лапласа, $x\in R^n;$\\[1.5mm]
$\gamma:~\Psi(x)=0$ - характеристика,\\[1.5mm]
$|\nabla\Psi|^2=0$ - т.е. уравнение Лапласа не имеет
характеристических поверхностей (нет вещественных характеристик).

Следовательно, задача Коши для уравнения
$$
\Delta_{x,y}u=u_{xx}+u_{yy}=0
$$
с данными на любой аналитической линии
$$
\Psi(x,y)=0
$$
поставлена корректно в классе аналитических функций.

5)\\
$u_t=\Delta_x u,~x\in R^n$ - уравнение теплопроводности\\[1.5mm]
$\gamma:\Psi(t,x)=0$ - характеристика,\\[1.5mm]
$|\nabla\Psi|^2=0~\rightarrow~\Psi_{x_k}=0~\rightarrow~\Psi=\mathcal{F}(t)~\rightarrow~t=\mbox{const}$
- характеристики.

Значит задача Коши
$$
\left\{
\begin{aligned}
&u_t=u_{xx},~x\in R^1,\\
&\left. u\right|_{t=0}=\varphi_0(x),~\left.
u_t\right|_{t=0}=\varphi_1(x)
\end{aligned}
\right.
$$
поставлена некорректно. Другое соображение: задача переопределена.
Однако, позже мы установим, что задача
$$
(*)\left\{
\begin{aligned}
&u_t=u_{xx},\\
&\left. u\right|_{t=0}=\varphi_0(x)
\end{aligned}
\right.
$$
уже хорошо поставлена (эту задачу тоже называют задачей Коши).

Зададимся вопросом: применима ли теорема Коши-Ковалевской (см. \S
3) к этой задаче. Видно, что непосредственно не применима. Более
того, теорема Коши-Ковалевской просто не может быть обобщена на
уравнения вида $u_t=u_{xx}$. С этой целью мы приведем пример
аналитической функции $\varphi_0(x)$, для которой не существует
аналитического по $t,~x$ решения задачи $(*)$ (так называемый
пример Ковалевской). Это будет означать, что класс аналитических
функций уже не является классом корректности для этой задачи.

Пусть
$$
\varphi_0(x)=(1+x^2)^{-1}=1-x^2+x^4-...=
$$
$$
=\sum\limits^\infty_{k=0}u_{0k}x^k=\sum\limits^\infty_{m=0}u_{0,2m}x^{2m},
$$
где
$$
u_{0k}=\left\{
\begin{aligned}
&(-1)^m,~k=2m;\\
&0,~k=2m+1.
\end{aligned}
\right.
$$
Предположим, что существует решение задачи $(*)$ аналитическое в
окрестности начала координат:
$$
u(t,x)=\sum\limits^\infty_{j,k=0}u_{jk}t^j x^k
$$
и ряд сходится в некоторой окрестности точки $(0,0)$. Подставляя
этот ряд в уравнение $u_t=u_{xx}$, мы получим рекуррентное
соотношение на коэффициенты ряда
$$
u_t=\sum\limits^\infty_{j,k=0}(j+1)u_{j+1,k}t^j x^k=u_{xx}=
$$
$$
=\sum\limits^\infty_{j,k=0}(k+2)(k+1)u_{j,k+2}t^j x^k,
$$
т.е.
$$
(j+1)u_{j+1,k}=(k+2)(k+1)u_{j,k+2},~j,k\ge 0
$$
или
$$
u_{jk}=\dfrac{(k+2)(k+1)}{j}u_{j-1,k+2},~j\ge 1,~k\ge 0.
$$
Отсюда легко получаем:
$$
u_{jk}=\dfrac{(k+2j)!}{j!k!}u_{0,k+2j},~j\ge 1,~k\ge 0.
$$
Тогда при $k=2m+1:~u_{j,2m+1}=0$, при $k=2m$:
$$
u_{j,2m}=\dfrac{(2m+2j)!}{j!(2m)!}(-1)^{m+j}.
$$
Итак
$$
u(t,x)=\sum\limits^\infty_{j,k=0}u_{jk}t^j
x^k=\sum\limits^\infty_{j,m=0}\dfrac{(2m+2j)!}{j!(2m)!}(-1)^{m+j}t^j
x^{2m}.
$$
Однако этот ряд расходится. Например ряд
$$
u(t,0)=\sum\limits^\infty_{j=0}\dfrac{(2j)!}{j!}(-1)^j t^j
$$
расходится при всех $t>0$.

Классы корректности не ограничиваются только классом аналитических
функций.

Уравнению
$$
\widehat{L}u+...=f,~\widehat{L}=\sum\limits_{|\alpha|+j=m}a_{\alpha
j}(t,x)D^j_0 D^\alpha_x
$$
сопоставляется \textbf{характеристическая форма}
$$
K(t,x,\widetilde{\nabla}\Psi)=\sum\limits_{|\alpha|+j=m}a_{\alpha
j}(t,x)(\Psi_t)^j(\nabla\Psi)^\alpha,
$$
\textbf{характеристическое уравнение}
$$
K(t,x,\widetilde{\nabla}\Psi)=0.
$$
Если $\Psi=\Phi(t,x)$ - какое-либо решение этого уравнения, то
поверхность
$$
\gamma:~\Phi(t,x)=\mbox{const - характеристика}
$$
(в смысле нашего определения).
$$
\sum\limits_{|\alpha|+j=m}a_{\alpha j}(t,x,D^i_0 D^\beta_x u)D^j_0
D^\alpha_x u=F(t,x,D^i_0 D^\beta_x u)
$$
- квазилинейное уравнение порядка $m$;\\[1.5mm]
$\beta=(\beta_1,...,\beta_n),~\beta_k\ge 0,~i+|\beta|\le m-1.$

Характеристическое уравнение
$$
K(t,x,u,\widetilde{\nabla}\Psi)=\sum\limits_{|\alpha|+j=m}a_{\alpha
j}(t,x,D^i_0 D^\beta_x u)(\Psi_t)^j(\nabla\Psi)^\alpha=0.
$$
Поверхность $\gamma:~\Psi(t,x)=0$ называется характеристикой
квазилинейного уравнения для данного решения $u=u(t,x)$ этого
уравнения, если на этой поверхности выполнено следующее равенство
$$
\left.K(t,x,u,\widetilde{\nabla}\Psi)\right|_\gamma=0.
$$
$$
u_{\xi\eta}=0\rightarrow(u_\xi)_\eta=0\rightarrow
u_\xi=F_1(\xi)\rightarrow
$$
$$
\rightarrow u=\underbrace{\int F_1(\xi)d\xi}_{F(\xi)}+Q(\eta).
$$
$$
(D^2_0-D^2_x)u=0~\rightarrow~(D_0-D_x)\underbrace{(D_0+D_x)u}_{v}=0.
$$
$$
(D_0-D_x)v=0\rightarrow v_t-v_x=0\rightarrow v=f(x+t),
$$
$$
(D_0+D_x)u=v\rightarrow u_t+u_x=v\rightarrow u_t+u_x=f(x+t).
$$

\end{frenchspacing}

     \end{document}