All lectures pdfs / Ур.мат.физ / Lecture_16 / 2011-03-24 / Лекция_16
.pdf
|
1 |
§16 Метод потенциалов |
|
В x12 мы уже вводили объемный потенциал |
|
Z |
(1) |
u0(x) = U(x ¡ »)½0(»)» |
|
- |
|
с плотностью ½0(»), потенциалы простого слоя и двойного слоя
Z
u1(x) = |
U(x ¡ »)½1(»)dS»; |
||
@- |
|
|
|
u2(x) =@Z- |
@U(x ») |
|
|
¡ |
|
½2(»)dS» |
|
@N» |
|||
(2)
(3)
с плотностями ½1(»), ½2(») соответственно.
Замечание.
1) Из теоремы 1 x12 следует, что для любой функции u(x) 2 C2(-), n ¸ 2 имеет место представление (- - ограниченная область)
u(x) = u0(x) + u2(x) ¡ u1(x); x 2 -; |
(4) |
|
½0(») = 4»u(»); ½2(») = u(»); ½1(») = |
@u(») |
; |
|
||
@N» |
||
а также некоторое, обобщающее (4), равенство: |
|
|
|
|
|
||
u0(x) + u2(x) u1(x) = |
8 2 u(x); x 2 @-; |
||||||
|
|
u x |
; |
x |
2 -; |
||
|
: |
1 ( ) |
|
|
|||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
¡ |
< |
0; |
|
|
|
|
|
|
x = -: |
||||||
В частности, если u(x) ´ 1, то:
Z |
@N» |
|
|
0; |
x = -: |
|||
|
@U(x ») |
|
< |
1; |
x |
2 |
-; |
|
|
|
1 |
|
|
||||
@- |
¡ |
|
dS» = |
2 ; x 2 @-; |
||||
|
|
8 |
||||||
|
|
|
|
: |
|
|
2 |
|
2)
(5)
(6)
N
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
@N¡» |
|
|
|
|
12)¾n |
x |
|
|
1» n¡2 ¾; |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= ¡ |
(n |
¢ @N» ½ x |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
@U(x ») |
|
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
j |
¡ |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@N» ½jx ¡1»jn¡2 ¾ = µN»; r»½jx ¡1»jn¡2 ¾¶ = |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
n |
|
|
|
|
½ |
|
|
¡ |
|
|
|
|
¾ |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
¡ j |
||||
X |
h |
@ |
|
|
|
1 |
|
|
X |
h |
|
|
n ¡ 2 |
|
||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
k ¢ ¡ |
¢ |
2(»k ¡ xk) |
||||||||||||||||
k=1 |
|
k |
@»k |
[(»1 |
|
x1)2 + : : :]n¡2 2 |
k=1 |
|
|
2 |
|
|
|
x » n |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
= |
|
(n |
|
2) |
|
n |
|
hk(»k ¡ xk) |
= |
|
|
|
|
n ¡ 2 |
|
cos(N[; r); |
|||||||||
¡ |
¡ |
Xk |
|
¡ |
|
x |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
j |
x |
¡ |
» |
n |
|
|
|
j |
¡ |
» |
n¡1 |
» |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r = » ¡ x; N» = (h1; : : : ; hn); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
@U(x ¡ ») |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
[ |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
¢ |
|
cos(N»; r) |
: |
(7) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
¾n |
|
jx ¡ »jn¡1 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
@N» |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Аналогично находим:
Nx N
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@Nx |
|
|
|
¡ |
(n ¡ 2)¾n |
¢ @Nx |
½jx ¡ »jn¡2 |
¾ |
||||||||||||||||||
|
|
@U(x ¡ ») |
= |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
@Nx ½jx ¡1»jn¡2 ¾ = µNx; rx½jx ¡1»jn¡2 ¾¶ = |
|||||||||||||||||||||||||||
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
n ¡ 2 |
|
2(xk ¡ »k) |
|
|
|
n ¡ 2 |
|
|
cos(N[; r); |
||||||||||||||
|
= |
|
h |
k ¢ ¡ |
¢ |
|
= |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
Xk |
e |
2 |
|
j |
x |
¡ |
» n |
|
x |
|
» |
j |
n¡1 |
|
|
x |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
j |
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Nx = (h1; : : : ; hn); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
e |
e |
|
|
@U |
x |
¡ |
» |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
cos( |
N[; r) |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
( |
|
|
) |
= |
|
|
|
x |
: |
|
|
|
(8) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
@Nx |
|
|
|
|
|
¡¾n |
¢ jx ¡ »j |
¡ |
|
|
|
|
|
|||||||||
3) Справедлива следующая теорема:
Теорема 1.
Если поверхность @- - ограниченная, то существует такая постоянная C > 0,
что |
@- |
¯ |
@U(x |
») |
¯ |
|
|
|
|||||
|
|
¯ |
¯ |
|
||
|
|
|
|
|
||
|
Z ¯ |
¡ |
|
¯dS» · C 8x 2 Rn: |
(9) |
|
|
@N» |
|
||||
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
Отметим теперь некоторые свойства потенциалов (1), (2), (3). 1) Теорема 2.
Если ½0(») 2 C1(-), то u0(x) 2 C2(-) \ C1(-) и для 8x 2 -:
4xu0(x) = ½0(x): |
(10) |
Замечание а) к формулировке теоремы 2
- - ограниченная область из Rn. Теорема 2 справедлива и в случае неограниченной области, если положить, например, что supp½0(») - ограниченное множество.
Замечание б)
Доказательство формулы (10) аналогично тому, как это делается в конце x13 при доказательстве того, что
4xw(x) = f(x);
|
|
3 |
где |
Z |
|
w(x) = ¡ |
GR(x; »)f(»)d»: |
j»j<R
Заметим, что с учетом свойства функции u0(x) можно изменить формули-
ровку краевых задач для уравнения Пуассона: |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
4xu(x) = f(x); x 2 -; |
|
|
(D) |
||||
|
|
|
|
½ uj@- = '(x); x 2 @-; |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
½ |
4@uxu(x) = f(x); x 2 -; |
|
|
(N) |
||||
|
|
|
|
@N ¯@- = '(x); x 2 @-: |
|
|
|
|||||
В самом деле, положим |
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
u = v + u0(x); u0(x) = Z- |
U(x ¡ »)f(»)»; |
|
||||||||
f(x) 2 C1( |
|
) (u0(x) 2 C2(-) \ C1( |
|
) в силу теоремы 2). |
|
|||||||
- |
- |
|
||||||||||
Тогда |
|
|
4xv(x) = 0; x 2 -; |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
@-; |
(D) |
|||||
|
|
½ v @- = '(x) u0(x) = '(x); x |
|
|
||||||||
|
|
4xjv(x) = 0; ¡x 2 -; |
e |
|
2 |
|
(N) |
|||||
|
|
½ |
@v |
¯ |
|
|
@u0(x) |
e |
|
|
|
|
|
|
@N |
¯@- = '(x) ¡ @N |
= '(x); x 2 @-: |
|
|||||||
2) Теорема 3.
Потенциалы u1; u2(x) являются гармоническими функциями в Rn n @- для любых интегрируемых на @- функций ½1; ½2(»).
Замечание.
Доказательство теоремы 3 основано на том факте, что
@U
4xU(x ¡ ») = 0; 4x @N» (x ¡ ») = 0 при x 6= »:
3) Теорема 4.
Если @- - гладкая поверхность, ½2(») - непрерывная плотность, то для u2(x) справедливы следующие предельные соотношения:
(e) |
lim u2(x) = u2e(x0) = |
|
21 |
½2(x0) + u2(x0); ) |
(11) |
|||
(i) |
lim u2(x) = u2i(x0) = |
1 ½2 |
(x0) + u2(x0); |
|
||||
|
x!x0 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
x!x0 |
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
u2(x) =@Z- |
@U(x0 |
») |
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
½2 |
(»)dS»; x0 2 @- ¡ |
|
||||
@N» |
|
|
||||||
прямое значение потенциала u2(x) в т.x0 2 @-. Доказательство (схема).
Поскольку
Z
u2(x) =
@-
@U(x ¡ ») @N»
½2(»)dS» =@Z- f½2(») ¡ ½2(x0)g |
@U(x |
») |
|
¡ |
|
dS»+ |
|
@N» |
|
+½2(x0)@Z- |
@U(x ») |
dS» = w(x) + ½2(x0)@Z- |
@U(x ») |
|
|
¡ |
|
¡ |
dS»; x 2= @- (см. (6)) |
||
@N» |
@N» |
||||
4
|
|
S ,x |
|
|
0 |
|
|
N |
. |
x0 |
r0 |
x |
|
r |
|
n |
|
|
|
|
|
. |
|
|
x |
|
то |
|
½2(x0); x 2 |
- |
; |
||
u2 |
(x) = w(x) + |
|||||
|
||||||
|
½ |
0; |
x 2= -: |
|||
Покажем теперь, что функция w(x) непрерывна в т.x0 2 @-, т.е.
9± > 0, что как только jx ¡ x0j < ±, то jw(x) ¡ w(x0)j < ", x0 2 @-.
Z Z
w(x)¡w(x0) =
(¤)
8" > 0
: : : ;
@- |
|
|
|
|
|
|
@- |
|
|
j»¡x0j<± |
|
½ x »»n¡1 |
¡ |
|
|
j»¡x0j¸± |
|
@N» fU(x ¡ ») ¡ U(x0 ¡ »)g = |
¾n |
x0 |
» n¡1 ¾; |
|||||
@ |
|
1 |
|
cos(N ; r) |
cos(N»; r0) |
|||
|
|
|
j ¡ j |
|
j |
¡ j |
|
|
Пусть jx¡x0j < 2± , тогда jx¡»j ¸ j» ¡x0j¡jx¡x0j ¸ ± ¡ 2± = 2± . Следовательно, 8" > 0 9± > 0, что как только jx ¡ x0j < 2± , то |2слаг.|<3" Далее:
j1слаг.j · ¯¯¯¯ Z (½2(») ¡ ½2(x0))@U(x ¡ »)dS»¯¯¯¯+ @N»
@- j»¡x0j<±
|
|
|
+¯ |
@Z- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@U(x0 |
|
») |
|
|
¯ |
|
|
" |
|
" |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
(½2(») ¡ ½2(x0)) |
|
|
|
¡ |
|
|
|
dS» |
< |
|
|
+ |
|
|
(в силу (9)); |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
@N» |
|
|
|
3 |
3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
¯ |
<± |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
¯» |
|
x0 |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
¯j ¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
т.е. w(x) непрерывна в т.x0 2 @-. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Из (¤) получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@Z- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
i |
|
lim u |
(x) = u |
|
(x |
) = w(x |
) + ½ |
|
(x |
) = |
½ |
(») |
@U(x0 |
») |
dS |
»¡ |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
( |
) |
x!x0 |
|
2 |
|
|
|
2i |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
2 |
|
|
0 |
|
|
2 |
|
|
|
@N»¡ |
|
|
||||||||
|
|
|
|
¡½2(x0)@Z- |
@U(x0 |
|
|
») |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
dS» + ½2(x0) = |
|
½2(x0) + u2(x); |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
@N» |
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
e |
lim u |
(x) = u |
|
(x |
) = |
¡ |
1 |
½ |
(x |
) + u |
(x); |
что и требовалось доказать. |
|||||||||||||||||||||||||||||
( ) |
x |
|
x0 |
2 |
|
|
|
|
2e |
|
0 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
0 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4) Потенциал u1(x) обладает следующими свойствами:
а) Если @- - достаточно гладкая поверхность, плотность ½1(») непрерывна на @-, то u1(x) непрерывна во всем пространстве Rn.
б) Если обозначить через V (x) нормальную производную от u1(x), x 2= @-
V (x) = |
@u1(x) |
= |
@Z- |
½ |
(») |
@U(x ¡ ») |
dS |
; |
|
|
|||||||
|
@Nx |
1 |
|
@Nx |
» |
|
||
то справедлива следующая
Теорема 5.
5
Если @- - достаточно гладкая поверхность, плотность ½1(») непрерывна на @-, то на поверхности @- потенциал u1(x) имеет правильную нормальную производную (как изнутри, так и снаружи @-), при этом справедливы следующие предельные соотношения:
(e) |
lim V (x) = V (x ) = 1 ½ (x ) + V (x ); |
9 |
(12) |
|||||||||||||||||||
(i) |
lim V (x) = V |
(x |
) = |
1 |
½ (x |
) + V (x |
); |
= |
|
|||||||||||||
|
x |
x0 |
i |
|
0 |
|
|
¡2 |
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|||
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x |
x0 |
e |
0 |
|
2 |
1 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|||||||||
где |
! |
|
@Z- ½1(») |
@U(x0 |
») |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
V (x0) = |
|
¡ |
|
|
dS» ¡ |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
@Nx0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
прямое значение нормальной производной потенциала u1(x) в т.x0 2 @-. Рассмотрим теперь применение потенциалов при нахождении решений за-
дач (D) или (N): |
|
|
|
|
|
|
|
|
4xu(x) = 0; x 2 -; |
(D) |
|||||
|
½ uj@- = '(»); » 2 @-; |
|
|||||
|
4@uxu(x) = 0; x 2 -; |
|
(N) |
||||
|
¯ |
@- = '(»); » 2 @-: |
|
||||
|
½ @N |
|
|||||
Здесь - - ограниченная (или¯ |
неограниченная) область; @- - ограниченное |
||||||
множество; '(») - непрерывная функция, » 2 @-. |
|
||||||
Предположение. |
|
|
|
|
|
|
|
Будем искать решение задач Di, De в виде |
|
|
|
||||
|
|
@Z- ½(») |
@U(x |
») |
|
|
|
|
u(x) = |
¡ |
|
dS»; |
(13) |
||
|
@N» |
|
|||||
задач Ni, Neв виде: |
u(x) = Z |
|
|
|
|
|
|
|
½(»)U(x ¡ »)dS»; |
(14) |
|||||
@-
½(») - непрерывная на @- функция.
Ясно, что, как в первом, так и во втором случае
|
|
4xu(x) = 0; x 2= @-: |
|
|
|
|
|
|||||||||||
В случае задачи D имеем (см. формулы (11)): |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
(i) lim |
u(x) = ui(x0) = '(x0) = |
1 |
½(x0) + |
Z |
½(») |
@U(x0 ¡ ») |
dS»; |
|||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
x0!@- |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
@N» |
||||||
x x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@- |
|
|
|
|
|
|
т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Di) : ½(x) + 2@Z- ½(») |
@U(x |
|
») |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
¡ |
|
|
|
dS» = 2'(x); x 2 @-; |
||||||||||||||
@N» |
|
|
|
|||||||||||||||
II) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(De) : ½(x) ¡ 2@Z- ½(») |
@U(x |
») |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
¡ |
|
|
|
dS» = ¡2'(x); x 2 @-: |
|||||||||||||
|
@N» |
|
|
|
||||||||||||||
Аналогично, для задачи N получим (см. формулы (12)): |
|
|
|
|||||||||||||||
III) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(N |
) : ½(x) |
2 ½(») |
@U(x ¡ ») |
dS |
|
= |
|
2'(x); x |
|
@-; |
|
|||||||
i |
|
¡ @Z- |
|
@Nx |
|
|
|
|
|
» |
|
¡ |
|
|
2 |
|
|
|
6
IV)
(N |
) : ½(x) + 2 ½(») |
@U(x ¡ ») |
dS |
|
= 2'(x); x |
|
@-: |
e |
@Z- |
@Nx |
» |
|
2 |
|
|
Интегральные уравнения I)-IV) - интегральные уравнения теории потенциалов. Найдя их решения, по формулам (13), (14) найдем решения задач D, N. К уравнениям I)-IV) применимы теоремы Фредгольма. Краткие выводы таковы.
Если @- - достаточно гладкая поверхность, то задачи Di и Ne разрешимы при любых непрерывных функциях '(x) и эти решения можно представить в виде (13), (14).
Пусть @- - достаточно гладкая поверхность. Тогда необходимым и достаточным условием того, что задача Ni имеет решение является условие
Z
'(x)dSx = 0;
@-
при этом решение задачи Ni представляется в виде (14).
При определенных условиях однозначно разрешима задача De.
Пример.
Пусть
- = R+n = fx = (x0; xn); x0 2 Rn¡1; xn > 0g:
Рассмотрим в области - задачи Di, Ni |
|
|
4xu(x) = 0; x 2 R+n ;@u |
¯ |
= '(x0); x0 2 Rn¡1: |
cos(N»; r0) = 0, cos(Nx0 ; r0) = 0 |
||
½ ujxn=0 = '(x0) или @N |
¯xn=0 |
x n
x 
x2, ... ,xn-1
x0 =(x0,0 )
x1
N =( 0, - 1)
(Di): ½(x00) = 2'(x00), (Ni): ½(x00) = ¡2'(x00).
По формулам (13), (14) находим (см. также, формулу (7)):
Z
(Di) : u(x) = 2 '(»0) cos(N»; r) d»0 =
¾njx ¡ »jn¡1
= ¾n |
nZ 1 |
|
|
|
|
Rn¡1 |
|
|
|
nZ 1 |
jx ¡ »0 |
jn d»0 |
|
|
|||||||
'(»0)jx ¡» »jn d»0 = ¾nn |
; |
|
|||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
(N ; r) |
|
|
2x |
|
'(» ) |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
R ¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R ¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
» = (»0; 0); r = » ¡ x = (»0 ¡ x0; ¡xn); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
(N |
) : u(x) = |
|
2 |
'(»0) |
|
¡1 |
|
1 |
|
|
d»0 |
= |
|||||||||
¡ |
¢ |
(n ¡ 2)¾n ¢ jx ¡ »jn¡2 |
|||||||||||||||||||
i |
|
|
|
|
|
nZ 1 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
R ¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
7
= (n ¡ 2)¾n |
nZ 1 |
jx ¡(»j0n¡2 d»0 |
; |
nZ 1 |
'(»0)d»0 = 0: |
||
2 |
|
' » ) |
|
|
|
|
|
|
|
R ¡ |
|
|
|
R ¡ |
|
Замечание.
1)сравнение метода потенциалов и метода функций Грина.
2)о численном решении интегральных уравнений.