All lectures pdfs / Ур.мат.физ / Lecture_16 / 2011-03-24 / Лекция_16

\documentclass[a4paper,12pt,oneside]{book}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage[mathscr]{eucal}
\usepackage{amsmath, amssymb, graphicx, longtable, color, cite}
\usepackage{geometry}
\geometry{top=1cm} \geometry{bottom=0.5cm}

\begin{document}
\pagestyle{myheadings}

\renewcommand{\thesection}{\S\arabic{section}}

\setcounter{section}{15}

\section{Метод потенциалов}
%\noindent
В $\S$12 мы уже вводили \textit{объемный потенциал}
\begin{equation}                                                                                                  %(1)
u_0(x)=\int\limits_{\Omega}U(x-\xi)\rho_0(\xi)\xi
\end{equation}
с плотностью $\rho_0(\xi)$,
\textit{потенциалы простого слоя} и \textit{двойного слоя}
\begin{equation}                                                                                                    %(2)
u_1(x)=\int\limits_{\partial\Omega}U(x-\xi)\rho_1(\xi)dS_\xi,
\end{equation}
\begin{equation}                                                                                                    %(3)
u_2(x)=\int\limits_{\partial\Omega}\frac{\partial U(x-\xi)}{\partial N_\xi}\rho_2(\xi)dS_\xi
\end{equation}
с плотностями $\rho_1(\xi)$, $\rho_2(\xi)$ соответственно.\\
%
\textbf{Замечание.}\\
1) Из теоремы 1 $\S$12 следует, что для любой функции $u(x)\in
C^2(\overline{\Omega})$, $n \geq 2$ имеет место представление
($\Omega$ - ограниченная область)
\begin{equation}                                                                                                     %(4)
u(x)=u_0(x)+u_2(x)-u_1(x),\quad x\in \Omega,
\end{equation}
$$\rho_0(\xi)=\triangle_\xi u(\xi),\ \rho_2(\xi)=u(\xi),\ \rho_1(\xi)=\frac{\partial u(\xi)}{\partial N_\xi}, $$
а также некоторое, обобщающее (4), равенство:
\begin{equation}                                                                                                                  %(5)
  u_0(x)+u_2(x)-u_1(x)=\left\{
  \begin{array}{ll}
  u(x),& x\in \Omega;\\
  \frac{1}{2}u(x),& x\in \partial\Omega;\\
  0,& x\notin \overline{\Omega}.
  \end{array}
  \right.
\end{equation}
В частности, если $u(x)\equiv 1$, то:
\begin{equation}                                                                                                                  %(6)
  \int\limits_{\partial\Omega}\frac{\partial U(x-\xi)}{\partial N_\xi}dS_\xi=\left\{
  \begin{array}{ll}
  1,& x\in \Omega;\\
  \frac{1}{2},& x\in \partial\Omega;\\
  0,& x\notin \overline{\Omega}.
  \end{array}
  \right.
\end{equation}
2)
\begin{figure}[h]
\centering\includegraphics[width=0.3\textwidth]{pic_1.eps}
\end{figure}
$$\frac{\partial U(x-\xi)}{\partial N_\xi}=-\frac{1}{(n-2)\sigma_n}\cdot\frac{\partial}{\partial N_\xi}
    \biggl\{\frac{1}{|x-\xi|^{n-2}}\biggr\};$$
$$\frac{\partial}{\partial N_\xi}\biggl\{\frac{1}{|x-\xi|^{n-2}}\biggr\}= \biggl(N_\xi,\nabla_\xi\biggl\{\frac{1}{|x-\xi|^{n-2}}\biggr\}\biggr)=$$
$$=\sum\limits_{k=1}^n h_k\frac{\partial}{\partial \xi_k}\biggl\{\frac{1}{[(\xi_1-x_1)^2+\ldots]^{\frac{n-2}{2}}}\biggr\}=
\sum\limits_{k=1}^n h_k\cdot-\frac{n-2}{2}\cdot\frac{2(\xi_k-x_k)}{|x-\xi|^{n}}$$
$$=-(n-2)\sum\limits_{k=1}^n \frac{h_k(\xi_k-x_k)}{|x-\xi|^{n}}=-\frac{n-2}{|x-\xi|^{n-1}}\cos(\widehat{N_\xi,r}),$$
$r=\xi-x$; $N_\xi=(h_1,\ldots,h_n)$;
\begin{equation}                                                                                                                  %(7)
\frac{\partial U(x-\xi)}{\partial N_\xi}=\frac{1}{\sigma_n}\cdot\frac{\cos(\widehat{N_\xi,r})}{|x-\xi|^{n-1}}.
\end{equation}
Аналогично находим:
\begin{figure}[h]
\centering\includegraphics[width=0.3\textwidth]{pic_2.eps}
\end{figure}
$$\frac{\partial U(x-\xi)}{\partial N_x}=-\frac{1}{(n-2)\sigma_n}\cdot\frac{\partial}{\partial N_x}
    \biggl\{\frac{1}{|x-\xi|^{n-2}}\biggr\};$$
$$\frac{\partial}{\partial N_x}\biggl\{\frac{1}{|x-\xi|^{n-2}}\biggr\}= \biggl(N_x,\nabla_x\biggl\{\frac{1}{|x-\xi|^{n-2}}\biggr\}\biggr)=$$
$$=\sum\limits_{k=1}^n \widetilde{h}_k\cdot-\frac{n-2}{2}\cdot\frac{2(x_k-\xi_k)}{|x-\xi|^{n}}=
\frac{n-2}{|x-\xi|^{n-1}}\cos(\widehat{N_x,r}),$$
$N_x=(\widetilde{h}_1,\ldots,\widetilde{h}_n)$;
\begin{equation}                                                                                                                  %(8)
\frac{\partial U(x-\xi)}{\partial N_x}=-\frac{1}{\sigma_n}\cdot\frac{\cos(\widehat{N_x,r})}{|x-\xi|^{n-1}}.
\end{equation}
%
3) Справедлива следующая теорема:\\
\textbf{Теорема 1.}\\
Если поверхность $\partial\Omega$ - ограниченная, то существует такая постоянная $C>0$,
что
\begin{equation}                                                                                                                  %(9)
\int\limits_{\partial\Omega}\biggl|\frac{\partial U(x-\xi)}{\partial N_\xi}\biggr|dS_\xi\leq C\quad \forall x\in R^n.
\end{equation}


Отметим теперь некоторые свойства потенциалов (1), (2), (3).\\
%
%
1) \textbf{Теорема 2.}\\
Если $\rho_0(\xi)\in C^1(\overline{\Omega})$, то
$u_0(x)\in C^2(\Omega)\cap C^1(\overline{\Omega})$ и для $\forall x\in \Omega$:
\begin{equation}                                                                                                                  %(10)
\triangle_x u_0(x)=\rho_0(x).
\end{equation}
%
\textbf{Замечание а) }к формулировке теоремы 2\\
$\Omega$ - ограниченная область из $R^n$.
 Теорема 2 справедлива и в случае неограниченной области, если положить, например,
 что $\mbox{supp}\rho_0(\xi)$ - ограниченное множество.\\
 %
\textbf{Замечание б)}\\
Доказательство формулы (10) аналогично тому, как это делается в конце $\S$13 при
доказательстве того, что
$$\triangle_x w(x)=f(x),$$
где
$$w(x)=-\int\limits_{|\xi|<R}G_R(x,\xi)f(\xi)d\xi.$$

Заметим, что с учетом свойства функции $u_0(x)$  можно изменить формулировку краевых задач
для уравнения Пуассона:
{\renewcommand{\theequation}{$D$}
\begin{equation}                                                                                                %(D)
\left\{
  \begin{array}{l}
  \triangle_x u(x)=f(x),  \quad x\in\Omega;\\
  u|_{\partial\Omega}=\varphi(x), \quad x\in\partial\Omega;
  \end{array}
  \right.
\end{equation}}
{\renewcommand{\theequation}{$N$}
\begin{equation}                                                                                                %(N)
\left\{
  \begin{array}{l}
  \triangle_x u(x)=f(x),  \quad x\in\Omega;\\
  \frac{\partial u}{\partial N}\bigr|_{\partial\Omega}=\varphi(x), \quad x\in\partial\Omega.
  \end{array}
  \right.
\end{equation}}

В самом деле, положим
$$u=v+u_0(x), \quad u_0(x)=\int\limits_{\Omega}U(x-\xi)f(\xi)\xi,$$
$f(x)\in C^1(\overline{\Omega})$ ($u_0(x)\in C^2(\Omega)\cap C^1(\overline{\Omega})$
в силу теоремы 2).

Тогда
{\renewcommand{\theequation}{$D$}
\begin{equation}                                                                                                %(D)
\left\{
  \begin{array}{l}
  \triangle_x v(x)=0,  \quad x\in\Omega;\\
  v|_{\partial\Omega}=\varphi(x)-u_0(x)=\widetilde{\varphi}(x), \quad x\in\partial\Omega;
  \end{array}
  \right.
\end{equation}}
{\renewcommand{\theequation}{$N$}
\begin{equation}                                                                                                %(N)
\left\{
  \begin{array}{l}
  \triangle_x v(x)=0,  \quad x\in\Omega;\\
  \frac{\partial v}{\partial N}\bigr|_{\partial\Omega}=\varphi(x)-\frac{\partial u_0(x)}{\partial N}=\widetilde{\varphi}(x), \quad x\in\partial\Omega.
  \end{array}
  \right.
\end{equation}}
\setcounter{equation}{10}\\
2) \textbf{Теорема 3.}\\
Потенциалы $u_1, u_2(x)$ являются гармоническими функциями в $R^n\setminus\partial\Omega$
для любых интегрируемых на $\partial\Omega$ функций $\rho_1, \rho_2(\xi)$.\\
%
\textbf{Замечание.}\\
Доказательство теоремы 3 основано на том факте, что
$$\triangle_x U(x-\xi)=0, \quad \triangle_x \frac{\partial U}{\partial N_\xi}(x-\xi)=0\ \mbox{при}\ x\neq\xi.$$
%
3) \textbf{Теорема 4.}\\
Если $\partial\Omega$ - гладкая поверхность, $\rho_2(\xi)$ - непрерывная плотность, то для $u_2(x)$
справедливы следующие предельные соотношения:
\begin{equation}                                                                                                        %(11)
\left.
  \begin{array}{l}
  (i)\ \lim\limits_{x\rightarrow x_0} u_2(x)=u_{2i}(x_0)=\frac{1}{2}\rho_2(x_0)+\overline{u}_2(x_0),\\
  (e)\ \lim\limits_{x\rightarrow x_0} u_2(x)=u_{2e}(x_0)=-\frac{1}{2}\rho_2(x_0)+\overline{u}_2(x_0),
  \end{array}
  \right\}
\end{equation}
где
$$\overline{u}_2(x)=\int\limits_{\partial\Omega}\frac{\partial U(x_0-\xi)}{\partial N_\xi}\rho_2(\xi)dS_\xi,\ x_0\in\partial\Omega\ -$$
прямое значение потенциала $u_2(x)$ в т.$x_0\in\partial\Omega$.\\
%
Доказательство (схема).\\
Поскольку
$$u_2(x)=\int\limits_{\partial\Omega}\frac{\partial U(x-\xi)}{\partial N_\xi}\rho_2(\xi)dS_\xi
=\int\limits_{\partial\Omega}\{\rho_2(\xi)-\rho_2(x_0)\}\frac{\partial U(x-\xi)}{\partial N_\xi}dS_\xi+$$
$$+\rho_2(x_0)\int\limits_{\partial\Omega}\frac{\partial U(x-\xi)}{\partial N_\xi}dS_\xi=
w(x)+\rho_2(x_0)\int\limits_{\partial\Omega}\frac{\partial U(x-\xi)}{\partial N_\xi}dS_\xi,\  x\notin\partial\Omega\ (\mbox{см.}\ (6))$$
то
{\renewcommand{\theequation}{$*$}
\begin{equation}                                                                                                                   %(*)
u_2(x)=w(x)+\left\{
  \begin{array}{ll}
  \rho_2(x_0),& x\in \Omega;\\
  0,& x\notin \overline{\Omega}.
  \end{array}
  \right.
\end{equation}}
\setcounter{equation}{11}
Покажем теперь, что функция $w(x)$ непрерывна в т.$x_0\in\partial\Omega$, т.е.
$\forall\varepsilon>0$ $\exists\delta>0$,
что как только $|x-x_0|<\delta$, то $|w(x)-w(x_0)|<\varepsilon$, $x_0\in\partial\Omega$.
\begin{figure}[h]
\centering\includegraphics[width=0.4\textwidth]{pic_3.eps}
\end{figure}
$$w(x)-w(x_0)=\int\limits_{\stackrel{\partial\Omega}{|\xi-x_0|<\delta}}(\rho_2(\xi)-\rho_2(x_0))
 \frac{\partial}{\partial N_\xi}\{U(x-\xi)-U(x_0-\xi)\}dS_\xi+
\int\limits_{\stackrel{\partial\Omega}{|\xi-x_0|\geq\delta}}\ldots~,$$
$$\frac{\partial}{\partial N_\xi}\{U(x-\xi)-U(x_0-\xi)\}=\frac{1}{\sigma_n}\biggl\{\frac{\cos(N_\xi,r)}{|x-\xi|^{n-1}}-
\frac{\cos(N_\xi,r_0)}{|x_0-\xi|^{n-1}}\biggl\},$$ Пусть
$|x-x_0|<\frac{\delta}{2}$, тогда
$|x-\xi|\geq|\xi-x_0|-|x-x_0|\geq\delta-\frac{\delta}{2}=\frac{\delta}{2}$.
Следовательно, $\forall\varepsilon>0$ $\exists\delta>0$, что как
только $|x-x_0|<\frac{\delta}{2}$, то
|2слаг.|<$\frac{\varepsilon}{3}$ Далее:
$$|\mbox{1слаг.}|\leq\biggl|\int\limits_{\stackrel{\partial\Omega}{|\xi-x_0|<\delta}}(\rho_2(\xi)-\rho_2(x_0))
 \frac{\partial U(x-\xi)}{\partial N_\xi}dS_\xi\biggr|+$$
$$+\biggl|\int\limits_{\stackrel{\partial\Omega}{|\xi-x_0|<\delta}}(\rho_2(\xi)-\rho_2(x_0))
 \frac{\partial U(x_0-\xi)}{\partial N_\xi}dS_\xi\biggr|<\frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}\ \mbox{(в силу (9))},$$
т.е. $w(x)$ непрерывна в т.$x_0\in\partial\Omega$.

Из ($*$) получаем:
$$(i)\ \lim\limits_{x\rightarrow x_0} u_2(x)=u_{2i}(x_0)=w(x_0)+\rho_2(x_0)=
   \int\limits_{\partial\Omega}\rho_2(\xi)\frac{\partial U(x_0-\xi)}{\partial N_\xi}dS_\xi-$$
   $$-\rho_2(x_0)\int\limits_{\partial\Omega}\frac{\partial U(x_0-\xi)}{\partial N_\xi}dS_\xi+\rho_2(x_0)=
   \frac{1}{2}\rho_2(x_0)+\overline{u}_2(x),$$
$$(e)\ \lim\limits_{x\rightarrow x_0} u_2(x)=u_{2e}(x_0)=-\frac{1}{2}\rho_2(x_0)+\overline{u}_2(x),\ \mbox{что и требовалось доказать.}$$
%что и требовалось доказать.
%
%
4) Потенциал $u_1(x)$ обладает следующими свойствами:\\
а) Если $\partial\Omega$ - достаточно гладкая поверхность, плотность $\rho_1(\xi)$
непрерывна на $\partial\Omega$,
то $u_1(x)$ непрерывна во всем пространстве $R^n$.\\
%
б) Если обозначить через $V(x)$ нормальную производную от $u_1(x)$, $x\notin\partial\Omega$
$$V(x)=\frac{\partial u_1(x)}{\partial N_x}=\int\limits_{\partial\Omega}\rho_1(\xi)\frac{\partial U(x-\xi)}{\partial N_x}dS_\xi,$$
то справедлива следующая \\
\textbf{Теорема 5.}\\
Если $\partial\Omega$ - достаточно гладкая поверхность, плотность $\rho_1(\xi)$ непрерывна на $\partial\Omega$,
то на поверхности $\partial\Omega$ потенциал $u_1(x)$ имеет правильную нормальную производную
(как изнутри, так и снаружи $\partial\Omega$), при этом
справедливы следующие предельные соотношения:
\begin{equation}                                                                                                        %(12)
\left.
  \begin{array}{l}
  (i)\ \lim\limits_{x\rightarrow x_0} V(x)=V_{i}(x_0)=-\frac{1}{2}\rho_1(x_0)+\overline{V}(x_0),\\
  (e)\ \lim\limits_{x\rightarrow x_0} V(x)=V_{e}(x_0)=\frac{1}{2}\rho_1(x_0)+\overline{V}(x_0),
  \end{array}
  \right\}
\end{equation}
где
$$\overline{V}(x_0)=\int\limits_{\partial\Omega}\rho_1(\xi)\frac{\partial U(x_0-\xi)}{\partial N_{x_0}}dS_\xi\ -$$
прямое значение нормальной производной потенциала $u_1(x)$ в т.$x_0\in\partial\Omega$.

Рассмотрим теперь применение потенциалов при нахождении
решений задач ($D$) или ($N$):
{\renewcommand{\theequation}{$D$}
\begin{equation}                                                                                                %(D)
\left\{
  \begin{array}{l}
  \triangle_x u(x)=0,  \quad x\in\Omega;\\
  u|_{\partial\Omega}=\varphi(\xi), \quad \xi\in\partial\Omega;
  \end{array}
  \right.
\end{equation}}
{\renewcommand{\theequation}{$N$}
\begin{equation}                                                                                                %(N)
\left\{
  \begin{array}{l}
  \triangle_x u(x)=0,  \quad x\in\Omega;\\
  \frac{\partial u}{\partial N}\bigr|_{\partial\Omega}=\varphi(\xi), \quad \xi\in\partial\Omega.
  \end{array}
  \right.
\end{equation}}
\setcounter{equation}{12}
Здесь $\Omega$ - ограниченная (или неограниченная) область;
$\partial\Omega$ - ограниченное множество;
$\varphi(\xi)$ - непрерывная функция, $\xi\in\partial\Omega$.\\
%
%
\textbf{Предположение.}\\
Будем искать решение задач $D_i$, $D_e$ в виде
\begin{equation}                                                                                                %(13)
u(x)=\int\limits_{\partial\Omega}\rho(\xi)\frac{\partial U(x-\xi)}{\partial N_{\xi}}dS_\xi,
\end{equation}
задач $N_i$, $N_e$в виде:
\begin{equation}                                                                                                %(14)
u(x)=\int\limits_{\partial\Omega}\rho(\xi) U(x-\xi)dS_\xi,
\end{equation}
$\rho(\xi)$ - непрерывная на $\partial\Omega$ функция.

Ясно, что, как в первом, так и во втором случае
$$\triangle_x u(x)=0, \quad x\notin\partial\Omega.$$
В случае задачи $D$  имеем (см. формулы (11)):
$$ (i)\ \lim\limits_{\stackrel{x\rightarrow x_0}{x_0\in\partial\Omega}} u(x)=u_{i}(x_0)=\varphi(x_0)= \frac{1}{2}\rho(x_0)+\int\limits_{\partial\Omega}\rho(\xi)\frac{\partial U(x_0-\xi)}{\partial N_{\xi}}dS_\xi,$$
т.е.\\
I)\\
$$(D_i):\ \rho(x)+2\int\limits_{\partial\Omega}\rho(\xi)\frac{\partial U(x-\xi)}{\partial N_{\xi}}dS_\xi=2\varphi(x),\ x\in\partial\Omega,$$
II)\\
$$(D_e):\ \rho(x)-2\int\limits_{\partial\Omega}\rho(\xi)\frac{\partial U(x-\xi)}{\partial N_{\xi}}dS_\xi=-2\varphi(x),\ x\in\partial\Omega.$$
Аналогично, для задачи $N$ получим (см. формулы (12)):\\
III)\\
$$(N_i):\ \rho(x)-2\int\limits_{\partial\Omega}\rho(\xi)\frac{\partial U(x-\xi)}{\partial N_{x}}dS_\xi=-2\varphi(x),\ x\in\partial\Omega,$$
IV)\\
$$(N_e):\ \rho(x)+2\int\limits_{\partial\Omega}\rho(\xi)\frac{\partial U(x-\xi)}{\partial N_{x}}dS_\xi=2\varphi(x),\ x\in\partial\Omega.$$
Интегральные уравнения I)-IV) - интегральные уравнения теории потенциалов.
Найдя их решения, по формулам (13), (14) найдем решения задач $D$, $N$.
К уравнениям I)-IV) применимы теоремы Фредгольма.
Краткие выводы таковы.

Если $\partial\Omega$  - достаточно гладкая поверхность, то задачи $D_i$ и $N_e$
разрешимы при любых непрерывных функциях $\varphi(x)$ и эти решения можно представить
 в виде (13), (14).

Пусть $\partial\Omega$ - достаточно гладкая поверхность. Тогда необходимым и достаточным
условием того, что задача $N_i$ имеет решение является условие
$$\int\limits_{\partial\Omega}\varphi(x)dS_x=0,$$
при этом решение задачи $N_i$ представляется в виде (14).

При определенных условиях однозначно разрешима задача $D_e$.\\
%
\textbf{Пример.}\\
Пусть
$$\Omega=R^n_+=\{x=(x',x_n), x'\in R^{n-1}, x_n>0\}.$$
Рассмотрим в области $\Omega$ задачи $D_i$, $N_i$
\begin{equation*}
\left\{
  \begin{array}{l}
  \triangle_x u(x)=0,  \quad x\in R^n_+;\\
  u|_{x_n=0}=\varphi(x')\quad \mbox{или} \quad \frac{\partial u}{\partial N}\bigr|_{x_n=0}=\varphi(x'), \quad x'\in R^{n-1}.
  \end{array}
  \right.
\end{equation*}
\begin{figure}[h]
\centering\includegraphics[width=0.7\textwidth]{pic_4.eps}
\end{figure}
$\cos(N_\xi,r_0)=0$, $\cos(N_{x_0},r_0)=0$
%или

$(D_i)$: $\rho(x'_0)=2\varphi(x'_0)$,

$(N_i)$: $\rho(x'_0)=-2\varphi(x'_0)$.

По формулам (13), (14) находим (см. также, формулу (7)):
$$(D_i):\ u(x)=2\int\limits_{R^{n-1}}\varphi(\xi')\frac{\cos(N_\xi,r)}{\sigma_n|x-\xi|^{n-1}}d\xi'=$$
$$=\frac{2}{\sigma_n}\int\limits_{R^{n-1}}\varphi(\xi')\frac{(N_\xi,r)}{|x-\xi|^{n}}d\xi'=
\frac{2x_n}{\sigma_n}\int\limits_{R^{n-1}}\frac{\varphi(\xi')}{|x-\xi|^{n}}d\xi';$$
$\xi=(\xi',0)$; $r=\xi-x=(\xi'-x',-x_n)$;
$$(N_i):\ u(x)=-2\int\limits_{R^{n-1}}\varphi(\xi')\cdot\frac{-1}{(n-2)\sigma_n}\cdot\frac{1}{|x-\xi|^{n-2}}d\xi'=$$
$$=\frac{2}{(n-2)\sigma_n}\int\limits_{R^{n-1}}\frac{\varphi(\xi')}{|x-\xi|^{n-2}}d\xi',\quad  \int\limits_{R^{n-1}}\varphi(\xi')d\xi'=0.$$

\textbf{Замечание.}\\
1) сравнение метода потенциалов и метода функций Грина.\\
2) о численном решении интегральных уравнений.







\end{document}