All lectures pdfs / Ур.мат.физ / Lecture_9 / Лекция_9

1

§9 Преобразование Фурье

Формальное определение преобразования Фурье функции f(x), x 2 Rn.

Определение 1.

Преобразованием Фурье функции f(x), x 2 Rn называется оператор F , переводящий функцию f(x) в функцию fb(»):

Z

k=1

Определение 2.

Обратным преобразованием Фурье функции g(»), » 2 Rn называется оператор F , переводящий g(») в функцию '(x):

Rn

где d» = d»1 ¢ ¢ ¢ d»n.

Лемма 1.

Если f(x) 2 J , то fb(») = F f(x) 2 J , т.е. оператор F : J ! J . Доказательство.

а) Если f(x) 2 J , то fb(») - определена и непрерывна. Действительно:

т.к. по определению пространства J существуют такие постоянные k, Ck > 0,

для чего сделаем замену переменных, переходя от переменных x к полярным координатам r, '1, ..., 'n¡1:

x1 = r cos '1,

x2 = r sin '1 cos '2,

x3 = r sin '1 sin '2 cos '3,

: : : : : :

xn¡1 = r sin '1 ¢ ¢ ¢ sin 'n¡2 cos 'n¡1, xn = r sin '1 ¢ ¢ ¢ sin 'n¡2 sin 'n¡1,

0 · '1; : : : ; 'n¡2 · ¼, 0 · 'n¡1 < 2¼, r ¸ 0. Элемент объема в полярных координатах равен

dx = rn¡1 sinn¡2 '1 sinn¡3 '2 ¢ ¢ ¢ sin 'n¡2drd'1 ¢ ¢ ¢ d'n¡1 = rn¡1drdS1 = drdSr;

где dS1 - элемент поверхности единичной сферы, dSr = rn¡1dS1 - элемент

jxj=r

4

В общем случае. В силу теоремы Фубини (f(x) 2 J !, т.е. f(x) - интегрируемая функция)

F f(x) = R e¡2¼i(x;»)f(x)dx =

Rn

- формула Парсеваля.

Определим теперь преобразование Фурье функции f(x) из L2(Rn). Пусть f(x) 2 L2(Rn) и fk(x), k = 1; 2; : : : - последовательность функций из J таких,

что

½(fk ¡ f) ! 0; k ! 1 (в L2(Rn):

5

Далее, последовательность ffbk(»)g: fbk(») = F fk(x), k = 1; 2; : : : фундаментальна в L2(Rn), поскольку в силу (3) имеем

jjfk ¡ fpjj2L2(Rn) = jjfbk ¡ fbpjj2L2(Rn)

и при k; p ! 1:

jjfk ¡ fpjj2L2(Rn) ! 0

(сходящаяся последовательность fk(x), k = 1; 2; : : : в L2(Rn) является фундаментальной в L2(Rn)), а значит и

jjfbk ¡ fbpjj2L2(Rn) ! 0:

Следовательно, существует функция fb(») 2 L2(Rn) такая, что

½(fbk ¡ fb) ! 0; k ! 1 (в L2(Rn)):

Тогда положим

fb(») = F f(x) = lim fbk(»):

k!1

Далее

fk(x) = F F fk(x) = F fbk(»):

Переходя к пределу при k ! 1 получим

f(x) = F fb(») = F F f(x):

Записывая для любого k равенство Парсеваля (3) и переходя к пределу в нем при k ! 1 получим, что для предельных функций выполнено равенство Парсеваля. Итак, на пространстве L2(Rn) определим оператор F , обратимый

F F f(x) = f(x)

и унитарный, поскольку в силу (3)

(f; g)L2(Rn) = (F f; F g)L2(Rn):

Пример.

Вычислим преобразование Фурье от функции e¡ajxj2 , a > 0. Ясно, что e¡ajxj2 2 J .

В силу теоремы Фубини (см. x8):

Fje¡ax2j - одномерные преобразования Фурье. e¡at2 , t 2 R1

Поскольку функция e¡¿2 - аналитическая, то контур интегрирования можно

6

деформировать в вещественную ось Ot и поэтому

Поскольку J плотно в W2m(Rn), то для функции f(x) 2 W2m(Rn) тоже определено преобразование Фурье, причем поскольку скалярное произведение в W2m определено так

Поскольку при f(x) 2 J (это же равенство справедливо и при f(x) 2 W2m(Rn))

В заключении этого параграфа приведем простейшую теорему вложения.

Теорема 2.