All lectures pdfs / Ур.мат.физ / Lecture_9 / Лекция_9

\documentclass[a4paper,12pt,oneside]{book}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage[mathscr]{eucal}
\usepackage{amsmath, amssymb, graphicx, longtable, color, cite}
\usepackage{geometry}
\geometry{top=1cm} \geometry{bottom=0.5cm}

\begin{document}
\pagestyle{myheadings}

\renewcommand{\thesection}{\S\arabic{section}}

\setcounter{section}{8}

\section{Преобразование Фурье}
%\noindent
Формальное определение преобразования Фурье функции $f(x)$, $x\in R^n$.\\
%
%
\textbf{Определение 1.}\\
Преобразованием Фурье функции $f(x)$, $x\in R^n$ называется оператор $F$,
переводящий функцию $f(x)$ в функцию $\widehat{f}(\xi)$:
\begin{equation}
\widehat{f}(\xi)=Ff(x)=\int\limits_{R^n}e^{-2\pi i(x,\xi)}f(x)dx,                            %(1)
\end{equation}
где $\xi\in R^n$, $(x,\xi)=\sum\limits_{k=1}^{n}x_k\xi_k$, $dx=dx_1\cdots dx_n$.\\
%
%
\textbf{Определение 2.}\\
Обратным преобразованием Фурье функции $g(\xi)$, $\xi\in R^n$ называется оператор $\overline{F}$,
переводящий $g(\xi)$ в функцию $\varphi(x)$:
\begin{equation}
\varphi(x)=\overline{F}g(\xi)=\int\limits_{R^n}e^{2\pi i(x,\xi)}g(\xi)d\xi,                            %(2)
\end{equation}
где $d\xi=d\xi_1\cdots d\xi_n$.\\
%
%
\textbf{Лемма 1.}\\
Если $f(x)\in \mathcal{J}$, то $\widehat{f}(\xi)=Ff(x)\in \mathcal{J}$, т.е.
оператор $F: \mathcal{J}\rightarrow\mathcal{J}$.
%
Доказательство.\\
а) Если $f(x)\in \mathcal{J}$, то $\widehat{f}(\xi)$ - определена и непрерывна.
Действительно:
$$|\widehat{f}(\xi)|\leq\int\limits_{R^n}|f(x)|dx\leq C_k\int\limits_{R^n}\frac{dx}{(1+|x|^2)^k},$$
т.к. по определению пространства $\mathcal{J}$ существуют такие постоянные $k$, $C_k>0$, что
$$|f(x)|\leq\frac{C_k}{(1+|x|^2)^k}.$$
Оценим интеграл
$$\int\limits_{R^n}\frac{dx}{(1+|x|^2)^k},$$
для чего сделаем замену переменных, переходя от переменных $x$ к
по\-ляр\-ным координатам $r$, $\varphi_1$, ..., $\varphi_{n-1}$:\\[2mm]
$x_1=r \cos\varphi_1$,\\[2mm]
$x_2=r \sin\varphi_1\cos\varphi_2$,\\[2mm]
$x_3=r \sin\varphi_1\sin\varphi_2\cos\varphi_3$,\\
$\ldots\ldots$\\[2mm]
$x_{n-1}=r \sin\varphi_1\cdots\sin\varphi_{n-2}\cos\varphi_{n-1}$,\\[2mm]
$x_{n}=r \sin\varphi_1\cdots\sin\varphi_{n-2}\sin\varphi_{n-1}$,\\[2mm]
$0\leq\varphi_1,\ldots,\varphi_{n-2}\leq\pi$, $0\leq\varphi_{n-1}< 2\pi$, $r\geq 0$.\\[2mm]
Элемент объема в полярных координатах равен
$$dx=r^{n-1}\sin^{n-2}\varphi_1\sin^{n-3}\varphi_2\cdots\sin\varphi_{n-2}dr d\varphi_1\cdots d\varphi_{n-1}=
r^{n-1}drdS_1=drdS_r,$$
где $dS_1$ - элемент поверхности единичной сферы,
$dS_r=r^{n-1}dS_1$ - элемент поверхности сферы радиуса $r$.
Поэтому:
$$\int\limits_{R^n}\frac{dx}{(1+|x|^2)^k}=\int\limits_0^\infty dr\int\limits_{|x|=r}\frac{dS_r}{(1+r^2)^k}=
\sigma_n\int\limits_0^\infty \frac{r^{n-1}dr}{(1+r^2)^k},$$
где $\sigma_n=\frac{\pi^\frac{n}{2}}{\Gamma(\frac{n}{2})}$ - площадь единичной сферы.

Последний интеграл сходится, если $2k-n+1>1$, т.е. при $k>\frac{n}{2}$
(т.е. $\forall f(x)\in \mathcal{J}$ является интегрируемой функцией).

Итак $|\widehat{f}(\xi)|\leq\widetilde{C}<\infty$
для всех $\xi\in R^n$.
Это означает, что $\widehat{f}(\xi)$ определена, непрерывна, т.к. подынтегральная функция непрерывна,
а интеграл сходится равномерно по параметру $\xi\in R^n$.

б) Покажем теперь, что $|\widehat{f}(\xi)|\rightarrow 0$ при $|\xi|\rightarrow \infty$.

Поскольку
$$\biggl(1-\frac{\triangle_x}{4\pi^2}\biggr)^k e^{-2\pi i(x,\xi)}=
(1+|\xi|^2)^k e^{-2\pi i(x,\xi)},$$
$\triangle_x=\sum\limits_{j=1}^n\frac{\partial^2}{\partial x^2_j}$, $k\geq 0$ - любое целое число;\\
то:
\begin{eqnarray*}
&(1+|\xi|^2)^k \widehat{f}(\xi)=(1+|\xi|^2)^k\int\limits_{R^n}e^{-2\pi i(x,\xi)}f(x)dx=\\[2mm]
&=\int\limits_{R^n}(1+|\xi|^2)^ke^{-2\pi i(x,\xi)}f(x)dx=\int\limits_{R^n}\biggl\{\biggl(1-\frac{\triangle_x}{4\pi^2}\biggr)^k e^{-2\pi i(x,\xi)}\biggr\}f(x)dx=\\[2mm]
&=\int\limits_{R^n}\biggl[\biggl(1-\frac{\triangle_x}{4\pi^2}\biggr)G\biggr]f(x)dx=\int\limits_{R^n}G f(x)dx-
\frac{1}{4\pi^2}\sum\limits_{j=1}^n\int\limits_{R^n}\frac{\partial^2G}{\partial x^2_j}f(x)dx=\\[2mm]
&=\int\limits_{R^n}G f(x)dx-\frac{1}{4\pi^2}\sum\limits_{j=1}^n\int\limits_{R^n}
    \frac{\partial}{\partial x_j}\biggl(\frac{\partial G}{\partial x_j}f(x)\biggr)dx+
   \frac{1}{4\pi^2}\sum\limits_{j=1}^n\int\limits_{R^n}\frac{\partial G}{\partial x_j}\frac{\partial f}{\partial x_j}dx=\\[2mm]
&=\int\limits_{R^n}G f(x)dx-\frac{1}{4\pi^2}\sum\limits_{j=1}^n\int\limits_{R^{n-1}}
    \biggl[\frac{\partial G}{\partial x_j}f(x)\biggr]\biggl|_{x_j=-\infty}^{x_j=+\infty}\biggr.dx_1\cdots dx_{j-1}dx_{j+1}\cdots dx_n+\\[2mm]
&+\frac{1}{4\pi^2}\sum\limits_{j=1}^n\int\limits_{R^n}
    \frac{\partial}{\partial x_j}\biggl(G\frac{\partial f}{\partial x_j}\biggr)dx-
    \frac{1}{4\pi^2}\sum\limits_{j=1}^n\int\limits_{R^n}G\frac{\partial^2 f}{\partial x_j^2}dx=
    \int\limits_{R^n}G \biggl[\biggl(1-\frac{\triangle_x}{4\pi^2}\biggr)f(x)\biggr]dx,
\end{eqnarray*}
где
$G=\biggl(1-\frac{\triangle_x}{4\pi^2}\biggr)^{k-1} e^{-2\pi i(x,\xi)}$, $f(x)\in \mathcal{J}!$

Проделывая выше описанную выкладку $k$ раз, мы в итоге получим:
$$(1+|\xi|^2)^k \widehat{f}(\xi)=\int\limits_{R^n}e^{-2\pi i(x,\xi)}g(x)dx,$$
где $g(x)=\biggl(1-\frac{\triangle_x}{4\pi^2}\biggr)^{k}f(x)\in \mathcal{J}$\\
и снова, как и выше, можно показать, что
$$(1+|\xi|^2)^k |\widehat{f}(\xi)|\leq\widetilde{\widetilde{C}}<\infty,$$
т.е.
$$|\widehat{f}(\xi)|\leq\frac{\widetilde{\widetilde{C}}}{(1+|\xi|^2)^k}\rightarrow 0\ \mbox{при}\
|\xi|\rightarrow \infty.$$
Поскольку
$$(1+|\xi|^2)^k |\widehat{f}(\xi)|=(1+|\xi|^2)^l(1+|\xi|^2)^{k-l} |\widehat{f}(\xi)|\leq\widetilde{\widetilde{C}},$$
то
$$(1+|\xi|^2)^l|\widehat{f}(\xi)|\leq\frac{\widetilde{\widetilde{C}}}{(1+|\xi|^2)^{k-l}}\rightarrow 0\ \mbox{при}\
|\xi|\rightarrow \infty$$
для любых $k$ и $l$ $(l<k)$.

в) Далее, формально продифференцируем функцию $\widehat{f}(\xi)$:
$$D_\xi^\alpha\widehat{f}(\xi)=\int\limits_{R^n}(-2\pi ix)^\alpha e^{-2\pi i(x,\xi)}f(x)dx,\quad
(-2\pi ix)^\alpha=(-2\pi i)^{|\alpha|}x^\alpha.$$
Для любого $\alpha$ эта функция существует и непрерывна.
Следовательно, как и выше, можно показать, что
$$(1+|\xi|^2)^k|D_\xi^\alpha\widehat{f}(\xi)|\rightarrow 0\ \mbox{при}\
|\xi|\rightarrow \infty,$$
для любых $k$ и $\alpha$.
Итак $\widehat{f}(\xi)\in \mathcal{J}$
что и требовалось доказать.\\
%
%
\textbf{Замечание.}\\
Аналогично можно показать, что $\overline{F}:\mathcal{J}\rightarrow\mathcal{J}$.\\
%
%
\textbf{Теорема 1.}\\
Пусть $n=1$ и $f(x)\in \mathcal{J}$.
Тогда $f(x)=\overline{F}Ff(x)$, т.е. $\overline{F}$ является обратным оператором к оператору $F$.

Рассмотрим преобразование Фурье функции $D_x^\alpha f(x)$:
$$FD_x^\alpha f(x)=\int\limits_{R^1}e^{-2\pi ix\xi}D_x^\alpha f(x)dx=$$
интегрируя по  частям и пользуясь тем, что $f\in \mathcal{J}$
$$=(2\pi i\xi)^\alpha\int\limits_{R^1}e^{-2\pi ix\xi}f(x)dx=(2\pi i\xi)^\alpha Ff(x).$$
При $\alpha=2$:
$$FD_x^2 f(x)=-4\pi^2 \xi^2 Ff(x)$$
и
$$Ff(x)=\frac{Ff(x)-FD_x^2 f(x)}{1+4\pi^2 \xi^2}=\frac{F(f(x)-D_x^2 f(x))}{1+4\pi^2 \xi^2}$$
(в силу линейности оператора $F$).

Далее
\begin{eqnarray*}
&\overline{F}Ff(x)=\int\limits_{R^1}e^{2\pi ix\xi}Ff(x)d\xi=
  \int\limits_{R^1}e^{2\pi ix\xi}\frac{F(f(x)-D_x^2 f(x))}{1+4\pi^2 \xi^2}d\xi=\\[2mm]
&=\int\limits_{R^1}\frac{e^{2\pi ix\xi}}{1+4\pi^2 \xi^2}\biggl(\int\limits_{R^1}e^{-2\pi iy\xi}[f(y)-D_y^2 f(y)]dy\biggr)d\xi=\\[2mm]
&=\int\limits_{R^1}[f(y)-D_y^2 f(y)]\biggl(\int\limits_{R^1}\frac{e^{2\pi i(x-y)\xi}}{1+4\pi^2 \xi^2}d\xi\biggr)dy=
\int\limits_{R^1}[f(y)-D_y^2 f(y)]\biggl(\frac{1}{2}e^{-|x-y|}\biggr)dy=\\[2mm]
&=\frac{1}{2}\int\limits_{R^1}f(y)e^{-|x-y|}dy-\frac{1}{2}\int\limits_{R^1}D_y^2f(y)e^{-|x-y|}dy=\\[2mm]
&=\frac{1}{2}\int\limits_{R^1}f(y)e^{-|x-y|}dy-\frac{1}{2}\biggl\{\int\limits_{-\infty}^{x}D_y^2f(y)e^{-(x-y)}dy+
  \int\limits_{x}^{\infty}D_y^2f(y)e^{x-y}dy\biggr\}=\\[2mm]
&=\frac{1}{2}\int\limits_{R^1}f(y)e^{-|x-y|}dy-\frac{1}{2}\biggl\{D_yf(y)e^{-(x-y)}|_{-\infty}^{x}+
  D_yf(y)e^{x-y}|_{x}^{\infty}-f(y)e^{-(x-y)}|_{-\infty}^{x}+\biggr.\\[2mm]
& +\biggl.f(y)e^{x-y}|_{x}^{\infty}+
 \int\limits_{-\infty}^{x}f(y)e^{-(x-y)}dy+ \int\limits_{x}^{\infty}f(y)e^{x-y}dy\biggr\}=f(x),
\end{eqnarray*}
что и требовалось доказать.

В общем случае.
В силу теоремы Фубини ($f(x)\in \mathcal{J}!$, т.е. $f(x)$ - интегрируемая функция)
\begin{eqnarray*}
&Ff(x)=\int\limits_{R^n}e^{-2\pi i(x,\xi)}f(x)dx=\\[2mm]
&=\int\limits_{R^1}e^{-2\pi ix_1\xi_1}dx_1\int\limits_{R^1}e^{-2\pi ix_2\xi_2}dx_2\cdots \int\limits_{R^1}e^{-2\pi ix_n\xi_n}f(x)dx_n=F_1F_2\cdots F_nf(x),
\end{eqnarray*}
где $F_jf(x)=\int\limits_{R^1}e^{-2\pi ix_j\xi_j}f(x)dx_j$.

Аналогично
$$\overline{F}g(\xi)=\overline{F}_n\cdots\overline{F}_1g(\xi),$$
где $\overline{F}_jg(\xi)=\int\limits_{R^1}e^{2\pi ix_j\xi_j}g(\xi)d\xi_j$.

Тогда при $n>1$:
\begin{eqnarray*}
&\overline{F}Ff(x)=\overline{F}_n\cdots\overline{F}_1F_1\cdots F_nf(x)=
\overline{F}_n\cdots\overline{F}_2\overline{F}_1F_1(F_2\cdots F_nf(x))=\\[2mm]
&=\overline{F}_n\cdots\overline{F}_2F_2\cdots F_nf(x)=f(x),
\end{eqnarray*}
что и требовалось доказать.\\
%
%
\textbf{Определение 3.}\\
Сверткой двух функций $f$ и $g$ называется функция
$$h(x)=[f\ast g](x)=\int\limits_{R^n}f(y)g(x-y)dy=\int\limits_{R^n}f(x-y)g(y)dy.$$

Покажем, что если $f,g\in \mathcal{J}$, то
$$Fh(x)=Ff(x)\cdot Fg(x).$$
В самом деле
\begin{eqnarray*}
&Ff(x)\cdot Fg(x)=\int\limits_{R^n}e^{-2\pi i(x,\xi)}f(x)dx \int\limits_{R^n}e^{-2\pi i(y,\xi)}g(y)dy=\\[2mm]
&=\int\limits_{R^n}e^{-2\pi i(x,\xi)}f(x)dx \int\limits_{R^n}e^{-2\pi i([z-x],\xi)}g(z-x)dz=\\[2mm]
&=\int\limits_{R^n}e^{-2\pi i(z,\xi)}dz\int\limits_{R^n} g(z-x)f(x)dx=Fh(x).
\end{eqnarray*}
Равенство Парсеваля. Пусть $f,g\in \mathcal{J}$. Тогда
\begin{eqnarray*}
&(f,g)_{L_2(R^n)}=\int\limits_{R^n}f(x)\overline{g(x)}dx=
 \int\limits_{R^n}\biggl(\int\limits_{R^n}e^{2\pi i(x,\xi)}\widehat{f}(\xi)d\xi\biggr)\overline{g(x)}dx=\\[2mm]
&=\int\limits_{R^n}\widehat{f}(\xi)\biggl(\int\limits_{R^n}e^{2\pi i(x,\xi)}\overline{g(x)}dx\biggr)d\xi=
  \int\limits_{R^n}\widehat{f}(\xi)\overline{\widehat{g}(\xi)}d\xi=(\widehat{f},\widehat{g})_{L_2(R^n)}.
\end{eqnarray*}
Если $f=g$, то
\begin{equation}                                                                                                   % (3)
||f||^2_{L_2(R^n)}=\int\limits_{R^n}|f(x)|^2dx=\int\limits_{R^n}|\widehat{f}(\xi)|^2d\xi=||\widehat{f}||^2_{L_2(R^n)}
\end{equation}
- формула Парсеваля.

Определим теперь преобразование Фурье функции $f(x)$  из $L_2(R^n)$.
Пусть $f(x)\in L_2(R^n)$ и $f_k(x)$, $k=1,2,\ldots$ - последовательность функций из $\mathcal{J}$ таких, что
$$\rho(f_k-f)\rightarrow 0,\ k\rightarrow\infty \ (\mbox{в}\ L_2(R^n).$$
Далее, последовательность $\{\widehat{f}_k(\xi)\}$: $\widehat{f}_k(\xi)=Ff_k(x)$, $k=1,2,\ldots$
фун\-да\-мен\-таль\-на в $L_2(R^n)$, поскольку в силу (3) имеем
$$||f_k-f_p||^2_{L_2(R^n)}=||\widehat{f}_k-\widehat{f}_p||^2_{L_2(R^n)}$$
и при $k,p\rightarrow\infty$:
$$||f_k-f_p||^2_{L_2(R^n)}\rightarrow 0$$
(сходящаяся последовательность $f_k(x)$, $k=1,2,\ldots$ в $L_2(R^n)$ является фундаментальной в $L_2(R^n)$), а
значит и
$$||\widehat{f}_k-\widehat{f}_p||^2_{L_2(R^n)}\rightarrow 0.$$
Следовательно, существует функция $\widehat{f}(\xi)\in L_2(R^n)$ такая, что
$$\rho(\widehat{f}_k-\widehat{f})\rightarrow 0,\ k\rightarrow\infty \ (\mbox{в}\ L_2(R^n)).$$
Тогда положим
$$\widehat{f}(\xi)=Ff(x)=\lim\limits_{k\rightarrow\infty}\widehat{f}_k(\xi).$$
Далее
$$f_k(x)=\overline{F}Ff_k(x)=\overline{F}\widehat{f}_k(\xi).$$
Переходя к пределу при $k\rightarrow\infty$ получим
$$f(x)=\overline{F}\widehat{f}(\xi)=\overline{F}Ff(x).$$
Записывая для любого $k$ равенство Парсеваля (3) и переходя к пределу в нем
при $k\rightarrow\infty$ получим, что для предельных функций выполнено равенство Парсеваля.
Итак, на пространстве $L_2(R^n)$ определим оператор $F$, обратимый
$$\overline{F}Ff(x)=f(x)$$
и унитарный, поскольку в силу (3)
$$(f,g)_{L_2(R^n)}=(Ff,Fg)_{L_2(R^n)}.$$
%
%
\textbf{Пример.}\\
Вычислим преобразование Фурье от функции $e^{-a|x|^2}$, $a>0$.
Ясно, что $e^{-a|x|^2}\in \mathcal{J}$.\\
В силу теоремы Фубини (см. $\S$8):
$$Fe^{-a|x|^2}=\prod\limits_{j=1}^{n}F_je^{-ax_j^2},$$
$F_je^{-ax_j^2}$ - одномерные преобразования Фурье.

$e^{-at^2}$, $t\in R^1$
\begin{eqnarray*}
&Fe^{-at^2}=\int\limits_{R^1}e^{-2\pi it\xi}e^{-at^2}dt=\int\limits_{-\infty}^{\infty}
    e^{-(\sqrt{a}t+\frac{\pi i\xi}{\sqrt{a}})^2}e^{-\frac{\pi^2\xi^2}{a}}dt=\\[2mm]
&=e^{-\frac{\pi^2\xi^2}{a}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{-\tau^2}dt=
    \frac{1}{\sqrt{a}}e^{-\frac{\pi^2\xi^2}{a}}\int\limits_{-\infty+\frac{\pi i\xi}{\sqrt{a}}}^{\infty+\frac{\pi i\xi}{\sqrt{a}}}e^{-\tau^2}d\tau,\\[2mm]
&\tau=\sqrt{a}t+\frac{\pi i\xi}{\sqrt{a}}
\end{eqnarray*}
\begin{figure}[h]
\centering\includegraphics[width=0.8\textwidth]{pic_1.eps}
\end{figure}
Поскольку функция $e^{-\tau^2}$ - аналитическая, то контур
интегрирования можно деформировать в вещественную ось $Ot$ и
поэтому
$$Fe^{-at^2}=\frac{1}{\sqrt{a}}e^{-\frac{\pi^2\xi^2}{a}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{-t^2}dt=
\biggl(\frac{\pi}{a}\biggr)^\frac{1}{2}e^{-\frac{\pi^2\xi^2}{a}}.$$
Следовательно
\begin{equation}                                                                                                   % (4)
Fe^{-a|x|^2}=\biggl(\frac{\pi}{a}\biggr)^\frac{n}{2}e^{-\frac{\pi^2|\xi|^2}{a}}.
\end{equation}

Поскольку $\mathcal{J}$ плотно в $W_2^m(R^n)$, то для функции $f(x)\in W_2^m(R^n)$ тоже
определено преобразование Фурье,
причем поскольку скалярное произведение в $W_2^m$ определено так
$$(f,g)_{W_2^m(R^n)}=\int\limits_{R^n}\biggl(\sum\limits_{|\alpha|\leq m}D_x^\alpha f(x)\overline{D_x^\alpha g(x)}\biggr)dx,$$
то $\forall f(x)\in \mathcal{J}$
\begin{eqnarray}                                                                                                   % (5)
  \left.
  \begin{array}{l}
  ||f||^2_{W_2^m(R^n)}=\int\limits_{R^n}\biggl(\sum\limits_{|\alpha|\leq m}|D_x^\alpha f(x)|^2\biggr)dx=
     \sum\limits_{|\alpha|\leq m}||D_x^\alpha f(x)||^2_{L_2(R^n)}=\\[2mm]
  =\sum\limits_{|\alpha|\leq m}||FD_x^\alpha f(x)||^2_{L_2(R^n)}=
     \int\limits_{R^n}\biggl(\sum\limits_{|\alpha|\leq m}|FD_x^\alpha f(x)|^2\biggr)d\xi.
  \end{array}
  \right.
\end{eqnarray}
Поскольку при $f(x)\in \mathcal{J}$ (это же равенство справедливо и при $f(x)\in~W_2^m(R^n)$)
$$FD_x^\alpha f(x)=(2\pi i\xi)^\alpha \widehat{f}(\xi),$$
то
{\renewcommand{\theequation}{5$'$}
\begin{equation}                                                                                               %(5')
||f||^2_{W_2^m(R^n)}=\int\limits_{R^n}\biggl(\sum\limits_{|\alpha|\leq m}|(2\pi i\xi)^\alpha|^2\biggr)|\widehat{f}(\xi)|^2d\xi.                            \end{equation}}\\
Заметим, что
$\mathcal{P}(\xi)=\sum\limits_{|\alpha|\leq m}|(2\pi i\xi)^\alpha|^2=
\sum\limits_{|\alpha|\leq m}(4\pi^2)^{|\alpha|}|\xi_1|^{2\alpha_1}\cdots|\xi_n|^{2\alpha_n}$
- полином от $\xi_1,\cdots,\xi_n$ степени $2m$
и существует такая постоянная $C_1=C_1(m,n)>~0$, что
{\renewcommand{\theequation}{$\ast$}
\begin{equation}                                                                                               %(*)
\mathcal{P}(\xi)\geq C_1^{-1}(1+|\xi|^2)^m
\end{equation}}
и постоянная $C_2=C_2(m,n)>0$ такая, что
{\renewcommand{\theequation}{$\ast\ast$}
\begin{equation}                                                                                               %(**)
\mathcal{P}(\xi)\leq C_2(1+|\xi|^2)^m
\end{equation}}
\setcounter{equation}{5}

В заключении этого параграфа приведем простейшую теорему вло\-же\-ния.\\
\textbf{Теорема 2.}\\
Если $k=[\frac{n}{2}]+1+m$, то пространство Соболева $W_2^k(R^n)\subset \mathcal{B}^m(R^n)$
и для любой функции  $f(x)\in W_2^k(R^n)$:\\
\begin{equation}                                                                                               %(6)
||f||_{\mathcal{B}^m(R^n)}\leq C||f||_{W_2^k(R^n)}, \quad   C=const.
\end{equation}
%
%
\textbf{Замечание} к формулировке \textbf{Теоремы 2.}\\
1) Постоянная $C$ не зависит от $f(x)$ (зависит от $m, n$)\\
2) $W_2^k(R^n)\subset \mathcal{B}^m(R^n)$?\\
если $f(x)\in W_2^k(R^n)$, то она (по теореме 2) $f(x)\in \mathcal{B}^m(R^n)$.
Наоборот нет. Пример: $f(x)\equiv 1$.
Ясно, что она принадлежит $\mathcal{B}^m(R^n)$ при любом $m$.
Но эта функция не принадлежит даже $L_2(R^n)$, поскольку $\int\limits_{R^n}1dx$ неограничен.\\
3) Что означает, что $W_2^k(R^n)\subset \mathcal{B}^m(R^n)$? \\
Это значит, что функцию $f(x)\in W_2^k(R^n)$ можно превратить в не\-пре\-рыв\-ную ограниченную
функцию, имеющую непрерывные ограниченные про\-из\-вод\-ные до порядка $m$
включительно, если изменить ее значение на множестве меры нуль.

Докажем теорему только в случае $k=[\frac{n}{2}]+1$, $m=0$, $\mathcal{B}^0(R^n)=\mathcal{B}(R^n)$.\\
%
Доказательство теоремы 2.\\
Пусть $f(x)\in C^{\infty}_0(R^n)$. Тогда эта функция принадлежит и
$W_2^k(R^n)$, и $\mathcal{B}^m(R^n)$ (при любых $k$, $m$).
Поскольку $C^{\infty}_0(R^n)\subset \mathcal{J}$, то
$$f(x)=\overline{F}\widehat{f}(\xi), \quad FD_x^\alpha f(x)=(2\pi i\xi)^\alpha \widehat{f}(\xi).$$
Далее, в силу (5$'$) и ($\ast$):
$$||(1+|\xi|^2)^{\frac{k}{2}}\widehat{f}(\xi)||^2_{L_2(R^n)}\leq C_1(k,n)||f||^2_{W_2^k(R^n)};$$
$$|f(x)|\leq \int\limits_{R^n}|\widehat{f}(\xi)|d\xi=
\int\limits_{R^n}(1+|\xi|^2)^{\frac{1}{2}[\frac{n}{2}]+\frac{1}{2}}|\widehat{f}(\xi)|
\frac{d\xi}{(1+|\xi|^2)^{\frac{1}{2}[\frac{n}{2}]+\frac{1}{2}}}\leq$$
неравенство Коши-Буняковского
$$\leq\biggl(\int\limits_{R^n}(1+|\xi|^2)^{[\frac{n}{2}]+1}|\widehat{f}(\xi)|^2d\xi\biggr)^\frac{1}{2}
\biggl(\int\limits_{R^n}\frac{d\xi}{(1+|\xi|^2)^{[\frac{n}{2}]+1}}\biggr)^\frac{1}{2}\leq
C(n)||f||^2_{W_2^{[\frac{n}{2}]+1}(R^n)}$$
в силу доказанной леммы
\begin{eqnarray}                                                                              %(7)
||f||_{\mathcal{B}(R^n)}=\sup\limits_{x\in R^n}|f(x)|\leq C(n)||f||^2_{W_2^{[\frac{n}{2}]+1}(R^n)}.
\end{eqnarray}
Напомним, что неравенство (7) получено при условии, что $f(x)\in C^{\infty}_0(R^n)$.
Поскольку $C^{\infty}_0(R^n)$ плотно в $W_2^{[\frac{n}{2}]+1}(R^n)$, то для
$\forall f(x)\in W_2^{[\frac{n}{2}]+1}(R^n)$ существует последовательность $\{f_l\}$, $l=1,2,\ldots$,
$f_l(x)\in C^{\infty}_0(R^n)$ такая, что
$$ ||f_l-f||_{W_2^{[\frac{n}{2}]+1}(R^n)}\rightarrow 0, \quad l\rightarrow\infty.$$
Поскольку последовательность $\{f_l\}$, $l=1,2,\ldots$
сходящаяся в $W_2^{[\frac{n}{2}]+1}(R^n)$, то она фундаментальна в этом пространстве.

В силу (7)
$$ ||f_l-f_p||_{\mathcal{B}(R^n)}\leq C(n)||f_l-f_p||_{W_2^{[\frac{n}{2}]+1}(R^n)}\rightarrow 0$$
при $l,p\rightarrow\infty$, т.е. $\{f_l\}$ фундаментальна в $\mathcal{B}(R^n)$.

В силу полноты пространства $\mathcal{B}(R^n)$
$$f_l\rightarrow g, \quad l\rightarrow\infty$$
в $\mathcal{B}(R^n)$ к функции $g(x)\in\mathcal{B}(R^n)$.
При этом $f(x)=g(x)$ п.в., т.е. $f(x)=~g(x)$ в $W_2^{[\frac{n}{2}]+1}(R^n)$.

Ясно, что если $f(x)$ вместо взять $g(x)$, то
$$||f_k-g||_{\mathcal{B}(R^n)}\rightarrow 0, \quad ||f_k-g||_{W_2^{[\frac{n}{2}]+1}(R^n)}\rightarrow 0, \quad k\rightarrow\infty.$$
Переходя к пределу в неравенстве (7), записанному для $\forall l$:
$$||f_l||_{\mathcal{B}(R^n)}\leq C(n)||f_l||_{W_2^{[\frac{n}{2}]+1}(R^n)}\rightarrow 0$$
мы и доказываем теорему 2.


\end{document}