Лекция_17

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Новосибирский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

применим затем аппарат функций Грина (см. §14, формулу (12)):

- G(x; »)u(») d»;

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.03.2016

Размер:

198.13 Кб

Скачать

☆

	1
§17 Задача на собственные значения
Рассмотрим следующую задачу
(
4u + ¸u = 0; x 2 -;	(1)
uj@- = 0;

где

- ограниченная область из Rn с достаточно гладкой границей @-; ¸ некоторый параметр (вообще говоря комплексный).

Задача (1) состоит в нахождении функции u(x) 2 C2(-) \ C1(-), удовлетворяющей в - уравнению: 4u+¸u = 0 и граничному условию uj@- = 0. Задача (1) всегда имеет тривиальное решение u ´ 0 (при всех ¸). Нас будут интересовать нетривиальные решения задачи (1) и поэтому, мы будем понимать задачу (1) как задачу на собственные значения для оператора

L = ¡ 4 :

Суть задачи на собственные значения заключается в нахождении нетривиальных решений u = u(x) (которые называются собственными функциями), отвечающих числам ¸ (которые называются собственными значениями оператора L).

Решением (1) является пара f¸; u(x)g, причем одному значению ¸

может соответствовать несколько функций u(x).

(

Lu = ¸u;	x 2 -;	(10)
uj@- = 0;	u 2 D(L);
где
D(L) область определения оператора L, причем


D(L) = ff(x); f(x) 2 C2(-) \ C1(					); fj@- = 0; Lf 2 L2(-)g:
				-
Пусть À(x) 2 C1(		), u(x)	2 D(L). Применим к этой паре функций
	-
первую формулу Грина (см. §12), которую перепишем так:
Z ÀLu dx = Z			(5À; 5u) dx ¡ Z À			@u
							dS:	(2)
						@N

Пусть À(x); u(x) 2 D(L). Тогда в силу второй формулы Грина (см. §12)

Z fÀLu ¡ uLÀg dx = Z ½u		@À	¡ À	@u	¾ dS = 0:	(3)

		@N		@N
-	@-

Отметим следующие свойства оператора L. 1) Оператор L эрмитов, т.е. L = L* или

(Lf; g)L2(-) = (f; Lg)L2(-) 8f(x); g(x) 2 D(L);

где

(f; g)L2(-) = f ¢ g¹ dx скалярное произведение в L2(-).

Действительно, положим в (3) u = f, À = g¹. Тогда

fLf ¢ g¹ ¡ f ¢ Lg¹g dx =

-	Z	½f @N		¡ g¹@N ¾
= (Lf; g)L2(-) ¡ (f; Lg)L2(-) =	Z	½f @N		¡ g¹@N ¾
			@g¹		@f
	@-

(4)

dS = 0;

что и требовалось доказать.

Положим в (2) u = f, À = f¹. В итоге получим:

-	-	¡	¢
Z	f¹¢ Lf dx = (Lf; f)L2(-) = Z		5f; 5f¹ dx = k 5 fkL2	2(-);
т.е. оператор L положительный, поскольку
	(Lf; f)L2(-) ¸ 0		8f 2 D(L):	(5)

Задача. Покажите, что оператор L эрмитов, используя только формулу (2).

Замечание. Равенство

(Lf; f)L2(-) = k 5 fk2L2(-)

называется тождеством интеграла энергии.

2) Все собственные значения оператора L: ¸ ¸ 0.

В самом деле, пусть u0(x) 2 D(L) собственная функция оператора L, а ¸0 соответствующее ей собственное число. Тогда

(Lu0; u0)L2(-) = k 5 u0k2L2(-) = (¸0u0; u0)L2(-) = ¸0ku0k2L2(-);

т.е. ¸0 ¸ 0.

3) Собственные функции (с.ф.) оператора L, соответствующие различным собственным значения (с.з.), ортогональны, т.е.

(u1; u2)L2(-) = 0,

где u1, u2 с.ф., ¸1, ¸2 соответствующие с.з. Доказательство.

(Lu1; u2)L2(-) = ¸1(u1; u2)L2(-) = (u1; Lu2)L2(-) = ¸2(u1; u2)L2(-) ) ) (¸1 ¡ ¸2)(u1; u2)L2(-) = 0.

Поскольку ¸1 6= ¸2, то (u1; u2)L2(-) = 0, что и требовалось доказать. 4) С.ф. оператора L можно выбрать вещественными.

Пусть Lu0 = ¸0u0, u0 = u1 + iu2. Тогда Lu1;2 = ¸0u1;2, что и требовалось доказать.

5) ¸ = 0 не является с.з. задачи (1).

Допустим противное: ¸ = 0 является с.з. задачи (1), а

u(6´0) 2 D(L) с.ф. Однако в силу принципа максимума u ´ 0 в -, т.е. ¸ = 0 не является с.з. оператора L.

Если @- достаточно гладкая поверхность, то справедлива следующая

Теорема 1. Множество собственных значений f¸kg оператора L счетно и не имеет конечных предельных точек; каждое с.з. имеет конечную кратность.

Всякая функция f(x) 2 D(L) разлагается в регулярно сходящийся ряд Фурье по с.ф. оператора L.

Замечание 1. Доказательство теоремы 1 основано на том, что задача

(1) эквивалентна задаче на с.з. для некоторого интегрального уравнения. В самом деле, переписывая задачу (1) в виде:

4xu = f(x) = ¡¸u(x); x 2 -;
( uj@- = 0;	(1)

Обратно, пусть u(x) 2 C1(-) решение задачи (6). Тогда, пос-

кольку

Z Z

u(x) = ¸	g(x; »)u(») d» ¡ ¸ U(x ¡ »)u(») d»;
-	-

то, воспользовавшись свойствами объемного потенциала, легко убедиться, что (

4xu = ¡¸u; x 2 -; uj@- = 0:

К интегральному уравнению (6) применимы теоремы Фредгольма, из которых и следует теорема 1.

Замечание 2. Теорема 1 утверждает, что все с.з. оператора L можно перенумеровать в порядке возрастания их величины, т.е.

0 < ¸1 < ¸2 · ::: · ¸k · :::; ¸k ! 1; k ! 1;

(7)

причем на основании свойства (5) ¸1 > 0 (кроме того, более тонкий анализ показывает, что ¸1 простое с.з. оператора L).

В ряде (7) ¸k повторяется столько раз, какова его кратность. Соответствующие с.ф. оператора L обозначим через X1; :::; Xk; :::, так, что в ряде (7) каждому с.з. оператора L ¸k соответствует одна, и только одна, с.ф. оператора L Xk:

LXk = ¸kXk; k = 1; :::; Xk(x) 2 D(L):

При этом с.ф. оператора L fXkg можно выбрать вещественнозначными и ортонормальными, так, что

(LXk; Xi)L2(-) = ¸k(Xk; Xi)L2(-) = ¸k±ki:

(8)

Далее, всякая функция f(x) 2 D(L) разлагается в ряд Фурье по

системе fXkg:

f(x) = (f; Xk)L2(-)Xk(x)	(9)
k=1

и этот ряд Фурье сходится регулярно (равномерно) на -. Поскольку множество C01(-) плотно в L2(-) и C01(-) ½ D(L), то D(L) плотно в L2(-). Справедлива

Теорема 2. Система с.ф. оператора L fXkg полна в L2(-). Далее, пусть f 2 D(L). Тогда, с учетом (9) получаем:

1
	Xk
(Lf; f)L2(-) = (f; Xk)L2(-) ¢ (Lf; Xk)L2(-) =
=1				1
1				1
X					Xk		(-)j2 (10)
						¸kj(f; Xk)L2
(f; Xk)L2(-) ¢ ¸k(f; Xk)L2(-) =						¸kj(f; Xk)L2
k=1				=1
(выражение слева существует, значит сходится ряд справа).
Сконструируем функции ´p:
	p			1
Xk				1
Xk				X
´p = f ¡ (f; Xk)L2(-) ¢ Xk =				(f; Xk)L2(-) ¢ Xk;
=1				k=p+1
						p = 1; 2; :::; f 2 D(L):
При этом
0;
0;				j = 1; p;
	(´p; Xj)L2(-) = ( (f; Xj)L2(-);					j = p + 1; :::;
				1
			kX
	(L´p; ´p)L2(-) =			¸kj(f; Xk)L2(-)j2;
т.е. при p ! 1				=p+1
т.е. при p ! 1
		(L´p; ´p)L2(-) ! 0;					(11)

поскольку ряд (10) сходится.
Далее,	Z (5f; 5f¹) dx;
(Lf; f)L2(-) =	Z (5f; 5f¹) dx;
	-

									6
поэтому
k 5 ´pkL2 2(-) = Z (5´p; 5´¹p) dx =
	Ã"5f ¡		-	¢ 5Xk#; "5f¹¡				L2 ¢ 5Xk#! dx =
		p				p
-		X	(f; Xk)L2			p	(f; Xk)
-		X				X
Z		k=1				k=1
				= (L´p; ´p)L2(-) ! 0					при p ! 1:
	Это означает, что
				1
			5f =	Xk	(-) ¢ 5Xk(x);
			5f =	(f; Xk)L2	(-) ¢ 5Xk(x);				(12)
				=1

причем ряд (12) сходится к 5f в L2(-). Итак, доказана

Теорема 3. Если f 2 D(L), то ряд (9) можно дифференцировать почленно по xj; j = 1; n один раз и полученные ряды будут сходиться

к @f в L2(-).

@xj

Пример 1. Пусть - прямоугольник (n = 2): y

	6
m
m		-
		-
			-	x
0			l

Для нахождения нетривиальных решений задачи на с.з. операто-

ра L
	Lu		¸u;	L	= ¡4x;y;	(10)
	( u		== 0;		= ¡4x;y;	(10)
		j@-

применим метод разделения переменных, а именно будем искать с.ф. оператора L u(x; y) = V (x)W (y).

Подставляя такие функции u в (10) получаем:

¡(V 00W + V W 00) = ¸V W =)


¡	V 00		(x) = ¸ +		W 00		(y), т.е.
¡		V	(x) = ¸ +			W	(y), т.е.
¡		V 00	= ¹; ¡	W 00		= º = ¸ ¡ ¹ =)
¡		V	= ¹; ¡	W		= º = ¸ ¡ ¹ =)
			( W0000((y)) + º¢					W (y) = 0;	W (0) = W (l) = 0:
				V x + ¹				V (x) = 0;	V (0) = V (l) = 0;

Здесь º; ¹ константы.

Нетривиальные решения задачи (¤) легко находятся:

(x) = rl

¢ sin

l x;

¹k =

µ l

; k = 1; 2; :::;

k¼

Wj(y) = rm ¢ sin m y;

ºj = µ m

; j = 1; 2; :::

j¼

Отсюда мы получаем с.з. оператора L и с.ф. оператора L:

= ¼2

;

³l2

2 m2

k¼

j¼

< Xkj(x; y) =

plm

sin

sin m y;

Xkj

L2(-) = 1:

(¤)

(13)

Можно показать, что других с.з. и с.ф. оператора L у задачи (10) нет (в случае прямоугольника).

Пример 2. Рассмотрим следующую задачу:

	>	@u@t = 4x;yu	в G;
	>	j
	<
	8 u S = 0;		(14)
	> ujt=0 = '(x; y); (x; y) 2 -:
Здесь:	:

- = f(x; y); 0 < x < l; 0 < y < mg; G = f(t; x; y); t > 0; (x; y) 2 -g;

S = f(t; x; y); t > 0; (x; y) 2 @-g:

Будем искать сначала формальное решение задачи (14), полагая для начала, что '(x; y) 2 L2(-). Формальное решение ищем в виде ряда Фурье по с.ф. оператора L (с коэффициентами, зависящими от

t):

u(t; x; y) =	ukj(t) ¢ Xkj(x; y);	(15)
	k;j=1

где Xkj(x; y) с.ф. оператора L (см. (13)). Подставляя (15) в (14) получим:

1	1
X	X
fukj0 (t) ¢ Xkj ¡ ukj(t) ¢ 4x;yXkjg = fukj0 + ¸kjukjg ¢ Xkj(x; y);
k;j=1	k;j=1
1	1
X	X
ukj(0) ¢ Xkj(x; y) =	('; Xkj)L2(-) ¢ Xkj(x; y):
k;j=1	k;j=1

Отсюда мы получаем:

(

u0kj + ¸kjukj = 0;

ukj(0) = 'kj = ('; Xkj)L2;

т.е. ukj(t) = e¡¸kjt ¢ 'kj.

Итак, окончательно формальное решение задачи (14) записывается

так:				1
				X	'kj ¢ e¡¸kjt ¢ Xkj(x; y);
u(t; x; y) =					'kj ¢ e¡¸kjt ¢ Xkj(x; y);	(16)
				k;j=1
где
¸kj; Xkj даны формулой (13),
			l m
'kj = ('; Xkj)L2 =	p	2	R0 R0	'(x; y) ¢ sin k¼l x ¢ sin j¼m y dxdy.
'kj = ('; Xkj)L2 =	p	lm	R0 R0	'(x; y) ¢ sin k¼l x ¢ sin j¼m y dxdy.

Можно показать, что (16) бесконечно дифференцируемая функция при 8t > 0; u(t; x; y) 2 C1(G), даже если '(x; y) 2 L2(-).

Соседние файлы в папке 2011-04-01

#
28.03.2016198.13 Кб14Лекция_17.pdf
#
28.03.201616.41 Кб14Лекция_17.tex