All lectures pdfs / Ур.мат.физ / Lecture_17 / 2011-04-01 / Лекция_17

\documentclass[11pt,a4paper,dvipspdf,draft]{article}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amssymb,amsmath,multicol,indentfirst,color,textcomp,afterpage,figsize,mathrsfs}
\usepackage[symbol*]{footmisc}

\usepackage{fancyhdr}
\pagestyle{myheadings} %нумерация страниц вверху
%\fancyhf{}
%\fancyhead[R]{\thepage}

\topmargin=-20pt \headheight=14pt
\footskip=0pt
\oddsidemargin=0mm \evensidemargin=0mm
\textheight=680pt \textwidth=154mm

\renewcommand{\baselinestretch}{1.21}
\allowdisplaybreaks
\flushbottom

\makeatletter
\setlength{\skip\footins}{13\p@ \@plus 5\p@ \@minus 2\p@}
\makeatother

\begin{document}
{\Large

    {\LARGE\bf\S 17 Задача на собственные значения}

\noindent
    Рассмотрим следующую задачу
    $$
    \left\{
        \begin{array}{l}
        \bigtriangleup u +\lambda u=0,\quad x\in\Omega,\\
        \left. u\right|_{\partial\Omega}=0,
        \end{array}
    \right.
    \eqno (1)
    $$
    где\\
    $\Omega$ --- ограниченная область из $R^n$ с достаточно гладкой
    границей $\partial\Omega$;\\
    $\lambda$ --- некоторый параметр (вообще говоря комплексный).

    Задача (1) состоит в нахождении функции
    $u(x)\in C^2(\Omega)\cap C^1(\overline\Omega)$,
    удовлетворяющей в $\Omega$ уравнению: $\bigtriangleup u +\lambda u=0$
    и граничному условию $\left.u\right|_{\partial\Omega}=0$.
    Задача (1) всегда имеет тривиальное решение $u\equiv 0$ (при всех $\lambda$).
    Нас будут интересовать нетривиальные решения задачи (1) и поэтому,
    мы будем понимать задачу (1) как задачу на собственные значения для оператора
    $$L=-\bigtriangleup.$$

    Суть задачи на собственные значения заключается в нахождении
    не\-три\-ви\-аль\-ных решений $u=u(x)$ (которые называются
    собственными функциями), отвечающих числам $\lambda$
    (которые называются собс\-твен\-ными значениями оператора $L$).

    Решением (1) является пара $\{\lambda; u(x)\}$, причем одному значению $\lambda$ может соответствовать несколько функций $u(x)$.
    $$
    \left\{
        \begin{array}{l}
        L u=\lambda u,\quad x\in\Omega,\\
        \left. u\right|_{\partial\Omega}=0,\quad u\in\mathscr{D}(L),
        \end{array}
    \right.
    \eqno (1')
    $$
    где\\
    $\mathscr{D}(L)$ --- область определения оператора $L$, причем\\
    $
    \mathscr{D}(L)=\{f(x);\quad
    f(x)\in C^2(\Omega)\cap C^1(\overline\Omega),\,
    \left. f\right|_{\partial\Omega}=0,\,
    L f\in L_2(\Omega)\}.
    $

    Пусть
    $\upsilon(x)\in C^1(\overline\Omega)$, $u(x)\in \mathscr{D}(L)$.
    Применим к этой паре функций первую формулу Грина (см. \S 12),
    которую перепишем так:
    $$
    \int\limits_\Omega\upsilon Lu\,dx=
    \int\limits_\Omega(\bigtriangledown\upsilon, \bigtriangledown u)\,dx-
    \int\limits_{\partial\Omega}\upsilon\frac{\partial u}{\partial N}\,dS.
    \eqno (2)
    $$

    Пусть $\upsilon(x), u(x)\in \mathscr{D}(L)$. Тогда в силу второй формулы Грина (см.~\S 12)
    $$
    \int\limits_\Omega\{\upsilon Lu-u L\upsilon\}\,dx=
    \int\limits_{\partial\Omega}\left\{u\frac{\partial\upsilon}{\partial N}-
    \upsilon\frac{\partial u}{\partial N}\right\}\,dS=0.
    \eqno (3)
    $$

    Отметим следующие свойства оператора $L$.

    1) Оператор $L$ эрмитов, т.е. $L=L$* или
    $$
    (Lf, g)_{L_2(\Omega)}=
    (f, Lg)_{L_2(\Omega)}\quad \forall f(x), g(x) \in \mathscr{D}(L),
    \eqno (4)
    $$
    где\\
    $(f, g)_{L_2(\Omega)}=\int\limits_\Omega f\cdot\bar g\,dx$ ---
    скалярное произведение в $L_2(\Omega)$.

    Действительно, положим в (3)
    $u=f$, $\upsilon=\bar g$.
    Тогда
    \begin{multline*}
    \int\limits_\Omega\{Lf\cdot\bar g-f\cdot L\bar g\}\,dx=\\
    =(Lf, g)_{L_2(\Omega)}-(f, Lg)_{L_2(\Omega)}=
    \int\limits_{\partial\Omega}\left\{f \frac{\partial\bar g}{\partial N}-
    \bar g \frac{\partial f}{\partial N}\right\}\,dS=0,
    \end{multline*}
    что и требовалось доказать.

    Положим в (2)
    $u=f$, $\upsilon=\bar f$.
    В итоге получим:
    $$
    \int\limits_\Omega\bar f\cdot Lf\,dx=(Lf, f)_{L_2(\Omega)}=
    \int\limits_\Omega\left(\bigtriangledown f, \bigtriangledown\bar f\right)\,dx=
    \|\bigtriangledown f\|_{L_2(\Omega)}^2,
    $$
    т.е. оператор $L$ --- положительный, поскольку
    $$
    (Lf, f)_{L_2(\Omega)}\ge 0\quad \forall f\in \mathscr{D}(L).
    \eqno (5)
    $$

\noindent
    {\bf Задача.} Покажите, что оператор $L$ --- эрмитов, используя только формулу (2).

\noindent
    {\bf Замечание.} Равенство
    $$
    (Lf, f)_{L_2(\Omega)}=\|\bigtriangledown f\|_{L_2(\Omega)}^2
    $$
    называется тождеством интеграла энергии.

    2) Все собственные значения оператора $L$: $\lambda\ge 0$.

    В самом деле, пусть
    $u_0(x)\in \mathscr{D}(L)$ --- собственная функция опе\-ра\-то\-ра $L$,
    а $\lambda_0$ --- соответствующее ей собственное число. Тогда
    $$
    (Lu_0, u_0)_{L_2(\Omega)}=\|\bigtriangledown u_0\|_{L_2(\Omega)}^2=
    (\lambda_0 u_0,
    u_0)_{L_2(\Omega)}=\lambda_0\|u_0\|_{L_2(\Omega)}^2,
    $$
    т.е.
    $\lambda_0\ge 0$.

    3) Собственные функции (с.ф.) оператора $L$, соответствующие
    раз\-лич\-ным собственным значения (с.з.), ортогональны, т.е.\\
    $(u_1, u_2)_{L_2(\Omega)}=0$,\\
    где $u_1$, $u_2$ --- с.ф.,
    $\lambda_1$, $\lambda_2$ --- соответствующие с.з.

    Доказательство.\\
    $(Lu_1, u_2)_{L_2(\Omega)}=\lambda_1(u_1, u_2)_{L_2(\Omega)}=
    (u_1, Lu_2)_{L_2(\Omega)}=\lambda_2(u_1, u_2)_{L_2(\Omega)}
    \Rightarrow\\
    \Rightarrow (\lambda_1-\lambda_2)(u_1, u_2)_{L_2(\Omega)}=0$.

    Поскольку
    $\lambda_1\ne\lambda_2$, то $(u_1, u_2)_{L_2(\Omega)}=0$,
    что и требовалось доказать.

    4) С.ф. оператора $L$ можно выбрать вещественными.

    Пусть $Lu_0=\lambda_0 u_0$, $u_0=u_1+i u_2$.
    Тогда
    $Lu_{1,2}=\lambda_0 u_{1,2}$, что и требовалось доказать.

    5) $\lambda=0$ не является с.з. задачи (1).

    Допустим противное:  $\lambda=0$  является с.з. задачи (1), а\\
    $u(\not\equiv 0)\in\mathscr{D}(L)$ --- с.ф.
    Однако в силу принципа максимума
    $u\equiv 0$ в $\overline\Omega$, т.е. $\lambda=0$
    не является с.з. оператора $L$.

    Если $\partial\Omega$ --- достаточно гладкая поверхность,
    то справедлива сле\-ду\-ю\-щая

\noindent
    {\bf Теорема 1.}
    Множество собственных значений $\{\lambda_k\}$
    оператора $L$ счет\-но и не имеет конечных предельных точек;
    каждое с.з. имеет конечную кратность.

    Всякая функция
    $f(x)\in\mathscr{D}(L)$ разлагается в регулярно
    сходящийся ряд Фурье по с.ф. оператора $L$.

\noindent
    {\bf Замечание 1.} Доказательство теоремы 1 основано на том,
    что задача (1) эквивалентна задаче на с.з. для некоторого
    интегрального урав\-не\-ния. В самом деле, переписывая задачу (1)
    в виде:
    $$
    \left\{
        \begin{array}{l}
        \bigtriangleup_x u =f(x)=-\lambda u(x),\quad x\in\Omega,\\
        \left. u\right|_{\partial\Omega}=0,
        \end{array}
    \right.
    \eqno (1)
    $$
    применим затем аппарат функций Грина (см. \S 14, формулу (12)):
    $$
    \left\{
        \begin{array}{l}
        u(x)=\lambda\int\limits_\Omega G(x, \xi) u(\xi)\,d\xi,\\
        u(x)\in C^1(\overline\Omega).
        \end{array}
    \right.
    \eqno (6)
    $$

    Обратно, пусть
    $u(x)\in C^1(\overline\Omega)$ --- решение задачи (6).
    Тогда, пос\-коль\-ку
    $$
    u(x)=\lambda\int\limits_\Omega g(x, \xi) u(\xi)\,d\xi-
    \lambda\int\limits_\Omega U(x-\xi) u(\xi)\,d\xi,
    $$
    то, воспользовавшись свойствами объемного потенциала,
    легко убе\-дить\-ся, что
    $$
    \left\{
        \begin{array}{l}
        \bigtriangleup_x u=-\lambda u,\quad x\in\Omega,\\
        \left. u\right|_{\partial\Omega}=0.
        \end{array}
    \right.
    $$

    К интегральному уравнению (6) применимы теоремы Фредгольма,
    из которых и следует теорема 1.

\noindent
    {\bf Замечание 2.}
    Теорема 1 утверждает, что все с.з. оператора $L$
    можно перенумеровать в порядке возрастания их величины, т.е.
    $$
    0<\lambda_1<\lambda_2\le...\le\lambda_k\le...,
    \quad\lambda_k\to\infty,\,k\to\infty,
    \eqno (7)
    $$
    причем на основании свойства (5) $\lambda_1>0$ (кроме того, более
    тонкий анализ показывает, что $\lambda_1$ --- простое с.з. оператора $L$).

    В ряде (7) $\lambda_k$ повторяется столько раз, какова его кратность.
    Со\-от\-вет\-ству\-ю\-щие с.ф. оператора $L$ обозначим
    через $X_1,...,X_k,...$,
    так, что в ряде (7) каждому с.з. оператора $L$ $\lambda_k$
    соответствует одна, и только одна, с.ф. оператора $L$ $X_k$:
    $$
    LX_k=\lambda_k X_k,\quad k=1,...,\,X_k(x)\in\mathscr{D}(L).
    $$

    При этом с.ф. оператора $L$ $\{X_k\}$ можно выбрать
    ве\-щест\-вен\-но\-знач\-ными
    и ортонормальными, так, что
    $$
    (LX_k,X_i)_{L_2(\Omega)}=\lambda_k(X_k,X_i)_{L_2(\Omega)}=\lambda_k\delta_{ki}.
    \eqno (8)
    $$

    Далее, всякая функция $f(x)\in\mathscr{D}(L)$ разлагается в ряд Фурье
    по системе $\{X_k\}$:
    $$
    f(x)=\sum_{k=1}^\infty(f,X_k)_{L_2(\Omega)}X_k(x)
    \eqno (9)
    $$
    и этот ряд Фурье сходится регулярно (равномерно) на $\overline\Omega$.
    Поскольку множество $C_0^\infty(\Omega)$ плотно в $L_2(\Omega)$ и
    $C_0^\infty(\Omega)\subset\mathscr{D}(L)$, то $\mathscr{D}(L)$
    плотно в $L_2(\Omega)$.
    Справедлива

\noindent
    {\bf Теорема 2.}
    Система с.ф. оператора $L$  $\{X_k\}$ полна в $L_2(\Omega)$.

    Далее, пусть $f\in\mathscr{D}(L)$. Тогда, с учетом (9) получаем:
    \begin{multline*}
    (Lf,f)_{L_2(\Omega)}=
    \sum_{k=1}^\infty\overline{(f,X_k)}_{L_2(\Omega)}\cdot(Lf,X_k)_{L_2(\Omega)}=\\
    \sum_{k=1}^\infty\overline{(f,X_k)}_{L_2(\Omega)}\cdot\lambda_k(f,X_k)_{L_2(\Omega)}=
    \sum_{k=1}^\infty\lambda_k|(f,X_k)_{L_2(\Omega)}|^2
    \qquad(10)
    \end{multline*}
    (выражение слева существует, значит сходится ряд справа).

    Сконструируем функции $\eta_p$:
    \begin{multline*}
    \eta_p=f-\sum_{k=1}^p(f,X_k)_{L_2(\Omega)}\cdot X_k=
    \sum_{k=p+1}^\infty(f,X_k)_{L_2(\Omega)}\cdot X_k,\\
    p=1,2,...,\,f\in\mathscr{D}(L).
    \end{multline*}
    При этом
    $$
    (\eta_p,X_j)_{L_2(\Omega)}=
    \left\{
        \begin{array}{l}
            0,\quad j=\overline{1,p},\\
            (f,X_j)_{L_2(\Omega)},\quad j=p+1,...,
        \end{array}
    \right.
    $$
    $$
    (L\eta_p,\eta_p)_{L_2(\Omega)}=
    \sum_{k=p+1}^\infty\lambda_k|(f,X_k)_{L_2(\Omega)}|^2,
    $$
    т.е. при $p\to\infty$
    $$
    (L\eta_p,\eta_p)_{L_2(\Omega)}\to 0,
    \eqno (11)
    $$
    поскольку ряд (10) сходится.

    Далее,
    $$
    (Lf,f)_{L_2(\Omega)}=
    \int\limits_\Omega(\bigtriangledown f,\bigtriangledown\bar f)\,dx,
    $$
    поэтому
    \begin{multline*}
    \|\bigtriangledown\eta_p\|_{L_2(\Omega)}^2=
    \int\limits_\Omega(\bigtriangledown\eta_p,\bigtriangledown\bar\eta_p)\,dx=\\
    \int\limits_\Omega
    \left(
        \left[\bigtriangledown f-
                \sum_{k=1}^p(f,X_k)_{L_2}\cdot\bigtriangledown X_k
        \right],
        \left[\bigtriangledown\bar f-
                \sum_{k=1}^p\overline{(f,X_k)}_{L_2}\cdot\bigtriangledown X_k
        \right]
    \right)\,dx=\\
    =(L\eta_p,\eta_p)_{L_2(\Omega)}\to 0 \quad\mbox{при}\; p\to\infty.
    \end{multline*}

    Это означает, что
    $$
    \bigtriangledown f=
    \sum_{k=1}^\infty(f,X_k)_{L_2(\Omega)}\cdot\bigtriangledown X_k(x),
    \eqno (12)
    $$
    причем ряд (12) сходится к $\bigtriangledown f$ в $L_2(\Omega)$.

    Итак, доказана

\noindent
    {\bf Теорема 3.}
    Если $f\in\mathscr{D}(L)$, то ряд (9) можно дифференцировать
    почленно по $x_j,\,j=\overline{1,n}$ один раз и полученные
    ряды будут сходиться к $\frac{\partial f}{\partial x_j}$ в $L_2(\Omega)$.

\noindent
    {\bf Пример 1.}
    Пусть $\Omega$ --- прямоугольник $(n=2)$:

\begin{center}
\begin{picture}(220,130)
        \put(0,12){\vector(1,0){200}}
        \put(12,0){\vector(0,1){125}}
        \put(12,90){\line(1,0){148}}
        \put(160,12){\line(0,1){78}}
        \put(4,0){$0$}
        \put(15,125){$y$}
        \put(203,12){$x$}
        \put(80,45){$\Omega$}
        \put(0,88){$m$}
        \put(161,0){$l$}
\end{picture}
\end{center}

    Для нахождения нетривиальных решений задачи на с.з.
    опе\-ра\-то\-ра~$L$
    $$
    \left\{
        \begin{array}{l}
            Lu=\lambda u,\quad L=-\bigtriangleup_{x,y};\\
            \left. u\right|_{\partial\Omega}=0,
        \end{array}
    \right.
    \eqno (1')
    $$
    применим метод разделения переменных, а именно будем
    искать с.ф. оператора $L$
    $u(x,y)=V(x)W(y)$.

    Подставляя такие функции $u$ в $(1')$ получаем:\\
    $-(V''W+VW'')=\lambda V W \Longrightarrow$\\
    $-\frac{V''}{V}(x)=\lambda+\frac{W''}{W}(y)$, т.е.\\
    $-\frac{V''}{V}=\mu,\; -\frac{W''}{W}=\nu=\lambda-\mu\Longrightarrow$
    $$
    \left\{
        \begin{array}{l}
            V''(x)+\mu\cdot V(x)=0,\quad V(0)=V(l)=0;\\
            W''(y)+\nu\cdot W(y)=0,\quad W(0)=W(l)=0.
        \end{array}
    \right.
    \eqno (*)
    $$

    Здесь $\nu,\mu$ --- константы.

    Нетривиальные решения задачи $(*)$ легко находятся:
    $$
    V_k(x)=\sqrt{\frac{2}{l}}\cdot\sin{\frac{k\pi}{l}x},
    \quad \mu_k=\left(\frac{k\pi}{l}\right)^2,\, k=1,2,...;
    $$
    $$
    W_j(y)=\sqrt{\frac{2}{m}}\cdot\sin{\frac{j\pi}{m}y},
    \quad \nu_j=\left(\frac{j\pi}{m}\right)^2,\,j=1,2,...
    $$

    Отсюда мы получаем с.з. оператора $L$ и с.ф. оператора $L$:
    $$
    \left\{
        \begin{array}{l}
            \lambda_{kj}=\pi^2\left(\frac{k^2}{l^2}+\frac{j^2}{m^2}\right),\\
            X_{kj}(x,y)=\frac{2}{\sqrt{lm}}\cdot\sin\frac{k\pi}{l}x\cdot\sin\frac{j\pi}{m}y,
            \quad \|X_{kj}\|_{L_2(\Omega)}^2=1.
        \end{array}
    \right.
    \eqno (13)
    $$

    Можно показать, что других с.з. и с.ф. оператора $L$ у задачи $(1')$
    нет (в случае прямоугольника).

\noindent
    {\bf Пример 2.}
    Рассмотрим следующую задачу:
    $$
    \left\{
        \begin{array}{l}
            \frac{\partial u}{\partial t}=\bigtriangleup_{x,y}u\quad\mbox{в}\quad G,\\
            \left. u\right|_{S}=0,\\
            \left. u\right|_{t=0}=\varphi (x,y),\quad (x,y)\in\Omega.
        \end{array}
    \right.
    \eqno (14)
    $$

    Здесь:\\
    $\Omega=\{(x,y);\quad 0<x<l,\,0<y<m\},$\\
    $G=\{(t,x,y);\quad t>0,\,(x,y)\in\Omega\},$\\
    $S=\{(t,x,y);\quad t>0,\,(x,y)\in\partial\Omega\}.$

    Будем искать сначала формальное решение задачи (14),
    полагая для начала, что
    $\varphi(x,y)\in L_2(\Omega)$.
    Формальное решение ищем в виде ряда Фурье по с.ф. оператора $L$
    (с коэффициентами, зависящими от $t$):
    $$
    u(t,x,y)=\sum_{k,j=1}^\infty u_{kj}(t)\cdot X_{kj}(x,y),
    \eqno (15)
    $$
    где
    $X_{kj}(x,y)$ --- с.ф. оператора $L$ (см. (13)).

    Подставляя (15) в (14) получим:
    $$
    \sum_{k,j=1}^\infty\{u_{kj}'(t)\cdot X_{kj}-u_{kj}(t)\cdot
        \bigtriangleup_{x,y}X_{kj}\}=
    \sum_{k,j=1}^\infty\{u_{kj}'+\lambda_{kj}u_{kj}\}\cdot X_{kj}(x,y),$$$$
    \sum_{k,j=1}^\infty u_{kj}(0)\cdot X_{kj}(x,y)=
        \sum_{k,j=1}^\infty (\varphi,X_{kj})_{L_2(\Omega)}\cdot X_{kj}(x,y).
    $$

    Отсюда мы получаем:
    $$
    \left\{
        \begin{array}{l}
            u_{kj}'+\lambda_{kj}u_{kj}=0,\\
            u_{kj}(0)=\varphi_{kj}=(\varphi,X_{kj})_{L_2},
        \end{array}
    \right.
    $$
    т.е.
    $u_{kj}(t)=e^{-\lambda_{kj}t}\cdot\varphi_{kj}$.

    Итак, окончательно формальное решение задачи (14)
    записывается так:
    $$
    u(t,x,y)=\sum_{k,j=1}^\infty \varphi_{kj}\cdot e^{-\lambda_{kj}t}\cdot X_{kj}(x,y),
    \eqno (16)
    $$
    где\\
    $\lambda_{kj},X_{kj}$ даны формулой (13),\\
    $\varphi_{kj}=(\varphi,X_{kj})_{L_2}=
    \frac{2}{\sqrt{lm}}\int\limits_0^l\int\limits_0^m\varphi(x,y)
    \cdot\sin\frac{k\pi}{l}x\cdot\sin\frac{j\pi}{m}y\,dx dy$.

    Можно показать, что (16) бесконечно дифференцируемая функция
    при $\forall t>0,\quad u(t,x,y)\in C^\infty(G)$, даже если
    $\varphi(x,y)\in L_2(\Omega)$.






}
\end{document}