All lectures pdfs / Ур.мат.физ / Lecture_14 / 2011-03-01 / Лекция_14

\documentclass[a4paper,12pt,oneside]{book}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage[mathscr]{eucal}
\usepackage{amsmath, amssymb, graphicx, longtable, color, cite}
\usepackage{geometry}
\geometry{top=1cm} \geometry{bottom=0.5cm}

\begin{document}
\pagestyle{myheadings}

\renewcommand{\thesection}{\S\arabic{section}}

\setcounter{section}{13}

\section{Функция Грина задачи Дирихле}
%\noindent
Рассмотрим теперь общую ситуацию: ищется решение задачи $D_i$ в произвольной области
$\Omega$ ($\Omega\subset R^n$ - ограниченная область).
Вначале я напомню из ТФКП ситуацию при $n=2$.
Пусть $z'=F(z)$, $z=x_1+ix_2$, $z'=x_1'+ix_2'$
- аналитическая в $\Omega$ и непрерывно дифференцируемая (по $x_1$, $x_2$)
в $\overline{\Omega}$ функция, осуществляющая взаимно-однозначное отображение области
$\Omega$ на круг $|x'|<R$ ($|z'|<R$) радиуса $R=|F(z)|$, $z\in\partial\Omega$.
Пусть $u(z)=u(x)$ - классическое решение задачи $D_i$:
\begin{equation}                                                                                                %(1)
\left\{
  \begin{array}{l}
  \triangle_x u=0,  \quad x\in\Omega;\\
  u|_{\partial\Omega}=\varphi(x),
  \end{array}
  \right.
\end{equation}
где
$\varphi(x)\in C(\partial\Omega)$;\\
%
\begin{figure}[h]
\centering\includegraphics[width=0.6\textwidth]{pic_1.eps}
\end{figure}
%
$u'(z')=u'(x')$- классическое решение задачи $D_i$:
\begin{equation}                                                                                                %(2)
\left\{
  \begin{array}{l}
  \triangle_{x'} u'=0,  \quad |z'|<R;\\
  u'|_{|z'|=R}=\Psi(z'),
  \end{array}
  \right.
\end{equation}
где $\Psi(z')=\varphi(F_{-1}(z'))$,
$F_{-1}(F(z))\equiv z$, $z\in\Omega$.

Согласно формуле (14) из $\S$13 решение задачи (2) дается формулой
Пуассона:
\begin{equation}                                                                                                %(3)
u'(z')=\frac{1}{2\pi R}\int\limits_{|\zeta'|=R}\frac{R^2-|z'|^2}{|z'-\zeta'|^2}\Psi(\zeta')|d\zeta'|,
\end{equation}
поскольку ядро Пуассона $P_R(x',\xi')=P_R(z',\zeta')$
при $n=2$ равно:
$$P_R(z',\zeta')=\frac{R^2-|z'|^2}{2\pi R|z'-\zeta'|^2},\quad \sigma_2=2\pi.$$
В силу следствия из теоремы 7 $\S$12
$$u(z)=u(F_{-1}(z'))=u'(z')=u'(F(z)).$$
Следовательно, решение задачи (1) дается формулой, которая получается из (3):
\begin{equation}
  \left.
  \begin{array}{l}                                                                                              %(4)
  u(z)=u'(F(z))=
     \frac{1}{2\pi R}\int\limits_{\partial\Omega}\frac{R^2-|F(z)|^2}{|F(z)-F(\zeta)|^2}|F'(\zeta)|\cdot\varphi(\zeta)\cdot|d\zeta|=\\[4mm]
  =\frac{1}{2\pi}\int\limits_{\partial\Omega}\frac{|F(\zeta)|^2-|F(z)|^2}{|F(\zeta)|\cdot|F(z)-F(\zeta)|^2}|F'(\zeta)|\cdot\varphi(\zeta)\cdot|d\zeta|,
  \end{array}
  \right.
\end{equation}
поскольку $R=|F(\zeta)|$, $\zeta\in\partial\Omega$, $|d\zeta'|=|F'(\zeta)||d\zeta|$ ($\zeta'=F(\zeta)$).

Таким образом, вопрос о решении задачи $D_i$
для уравнения Лапласа при $n=2$ решается до конца, если найдено конформное преобразование,
переводящее данную область $\Omega\subset R^2$ в круг. Заметим однако, что задача о нахождении такого преобразования
не проще исходной задачи $D_i$.

Пусть теперь $n>2$ и $\Omega\subset R^n$ - произвольная ограниченная область. Если посмотреть внимательно все рассуждения,
приводящие нас к формуле (14) из $\S$13, то можно сделать следующие обобщающие выводы.\\
%
\textbf{Определение.}\\
\textit{Функцией Грина} задачи $D_i$ для области $\Omega$ называется функция $G(x,y)$,
$x\in \overline{\Omega}$, $y\in \Omega$, удовлетворяющая следующим свойствам:\\
1) $\forall y\in \Omega$
\begin{equation}                                                                                                %(5)
G(x,y)=g(x,y)-U(x-y),
\end{equation}
где функция $g(x,y)$ - гармоническая в $\Omega$
и непрерывная на $\overline{\Omega}$ по $x$;\\
%
2) $\forall y\in \Omega$
\begin{equation}                                                                                                %(6)
G(\xi,y)|_{\xi\in\partial\Omega}=0.
\end{equation}

Из условий (5), (6) следует:\\
а) $G(x,y)$ - гармоническая по $x$ в области $\Omega\setminus\{y\}$;\\
б) $G(x,y)$ - непрерывная функция по $x$ в области $\overline{\Omega}\setminus\{y\}$, причем
$G(x,y)\rightarrow +\infty$ при $x\rightarrow y$ и $G(\xi,y)=0$ при $\xi\in\partial\Omega$;\\
в) в силу принципа максимума (см. теорему 8 из $\S$12) $G(x,y)>0$ при $x\in\Omega$, $y\in\Omega$;\\
%
\begin{figure}[h]
\centering\includegraphics[width=0.6\textwidth]{pic_2.eps}
\end{figure}
%
$\Omega_\varepsilon=\Omega\setminus \overline{S_{\varepsilon,y}}$;\\
доказательство заключается в применении принципа максимума
к гармонической функции  $G(x,y)$ (по $x$) в области $\Omega_\varepsilon$.\\
%
г) поскольку:
\begin{equation}                                                                                                %(7)
g(\xi,y)=U(\xi-y)|_{\xi\in\partial\Omega}=0, \quad \forall y\in\Omega,
\end{equation}
то $g(\xi,y)<0$ при $\xi\in\partial\Omega$, $y\in\Omega$;
следовательно в силу принципа максимума $g(x,y)<0$ при $x\in \overline{\Omega}$, $y\in \Omega$.\\
%
д) функция Грина удовлетворяет неравенствам (см. (5)):
\begin{equation}                                                                                                %(8)
0<G(x,y)<-U(x-y), \quad x\in\Omega,\ y\in\Omega, x\neq y.
\end{equation}
%
е) поскольку функция $g(x,y)$ удовлетворяет
задаче $D_i$ следующего вида:
\begin{equation}                                                                                                %(9)
\left\{
  \begin{array}{l}
  \triangle_{x}g(x,y)=0,  \quad x\in\Omega,\ y\in\Omega;\\
  g(\xi,y)|_{\xi\in\partial\Omega}=U(\xi-y), \quad \xi\in\partial\Omega,\ y\in\Omega;
  \end{array}
  \right.
\end{equation}
то из теоремы 2 (?!) $\S$13 следует, что функция $g(x,y)$
(а вместе с ней и функция Грина $G(x,y)$) существует; из теоремы 1
этого же параграфа следует, что функция Грина $G(x,y)$ единственна.

Еще одно свойство функции Грина я сформулирую в виде задачи.\\
%
\textbf{Задача.}\\
Покажите, что функция $g(x,y)$ непрерывна по совокупности переменных $(x,y)$ в $\overline{\Omega}\times\Omega$.\\
%
%
\textbf{Замечание.}\\
Надо показать, что
$|g(x_0,y_0)-g(x,y)|\rightarrow 0$,
когда $(x,y)\rightarrow (x_0,y_0)$, $x,x_0\in \overline{\Omega}$, $y,y_0\in \Omega$.
Затем выписываем очевидное неравенство:
$$|g(x_0,y_0)-g(x,y)|<|g(x_0,y_0)-g(x,y_0)|+|g(x,y_0)-g(x,y)|$$
и оцениваем каждое слагаемое в правой части
(первое слагаемое можно сделать как угодно малым
за счет непрерывности функции  $g(x,y)$ по $x$,
второе слагаемое - за счет применения принципа максимума (?!)).

Прежде, чем мы сформулируем ещё некоторые
свойства функции Грина $G(x,y)$,
я дам определение \textit{правильной нормальной производной}.
Пусть граница области $\Omega$: $\partial\Omega$
достаточно гладкая и функция $u(x)\in C^1(\Omega)$.
Будем говорить, что функция $u$  имеет правильную
нормальную производную на $\frac{\partial u(x)}{\partial N_x}$ на $\partial\Omega$,
если равномерно по всем $x\in\partial\Omega$
существует предел нормальной производной $\frac{\partial u(x')}{\partial N_x}=(N_x,\nabla_{x'}u(x'))$
при $x'\rightarrow x$, $x'\in-N_x$.

%
\begin{figure}[h]
\centering\includegraphics[width=0.4\textwidth]{pic_3.eps}
\end{figure}
%
%
\textbf{Замечание.}\\
Правильная нормальная производная непрерывна на $\partial\Omega$,
если она существует.\\
%
Справедлива\\
\textbf{Теорема 1.}\\
Если $\partial\Omega$ - достаточно гладкая поверхность, то функция Грина
имеет правильную нормальную производную $\frac{\partial G(\xi,y)}{\partial N_{\xi}}$,
$\xi\in\partial\Omega$, $y\in\Omega$ на $\partial\Omega$ и симметрична:
\begin{equation}                                                                                                %(10)
G(x,y)=G(y,x), \quad x\in\Omega,\ y\in\Omega.
\end{equation}
Доказательство теоремы 1 мы не будем проводить, ограничимся только замечанием
по поводу доказательства свойства (10).

%
\begin{figure}[h]
\centering\includegraphics[width=0.6\textwidth]{pic_4.eps}
\end{figure}
%

$\Omega_\varepsilon=\Omega\setminus \overline{S_{\varepsilon,\xi}}\cup\overline{S_{\varepsilon,x}}$, $x\neq\xi$

$v(y)=G(y,\xi)$, $u(y)=G(y,x)$

Применим к эти функциям в области $\Omega_\varepsilon$
вторую формулу Грина (см. $\S$12):
{\renewcommand{\theequation}{$*$}
\begin{equation}
  \left.
  \begin{array}{l}                                                                                              %(*)
  \int\limits_{\Omega_\varepsilon}(v(y)\triangle_y u(y)-u(y)\triangle_y v(y))dy=0=\\[4mm]
  =\int\limits_{\partial\Omega}\{v(\zeta)\frac{\partial u(\zeta)}{\partial N_\zeta} -
      u(\zeta)\frac{\partial v(\zeta)}{\partial N_\zeta}\}dS_\zeta+\\[4mm]
  +\int\limits_{|\zeta-x|=\varepsilon}\{G(\zeta,\xi)\frac{\partial G(\zeta,x)}{\partial N_\zeta} -
      G(\zeta,x)\frac{\partial G(\zeta,\xi)}{\partial N_\zeta}\}dS_\zeta+\\[4mm]
  +\int\limits_{|\zeta-\xi|=\varepsilon}\{G(\zeta,\xi)\frac{\partial G(\zeta,x)}{\partial N_\zeta} -
      G(\zeta,x)\frac{\partial G(\zeta,\xi)}{\partial N_\zeta}\}dS_\zeta.
  \end{array}
  \right.
\end{equation}}
Затем, подставляя в ($*$) представления (см. (5)!):
$$G(y,\xi)=g(y,\xi)-U(y-\xi),$$
$$G(y,x)=g(y,x)-U(y-x)$$
и рассуждая также, как при доказательстве теоремы 1 из $\S$12, в пределе при $\varepsilon\rightarrow 0$ получим:
$$g(\xi,x)=g(x,\xi),$$
т.е. выполнено равенство (10).\\
%
\textbf{Замечание.}\\
Из симметрии функции $g(x,y)$
вытекает, что функция $g(x,y)$ непрерывна по совокупности переменных $(x,y)$
в $\Omega\times\overline{\Omega}$;
при $\forall x\in\Omega$, функция $g(x,y)$ гармоническая по $y$ в $\Omega$, принимает значение
$U(x-\xi)$ при $\xi\in\partial\Omega$ и имеет правильную нормальную производную
$\frac{\partial g(x,\xi)}{\partial N_{\xi}}$ ($x\in\Omega$, $\xi\in\partial\Omega$) на $\partial\Omega$.

Дальнейшие рассуждения можно сформулировать в виде следующих этапов.

\textbf{1 этап.} Пусть $u(x)\in C^2(\overline{\Omega})$.
Тогда в силу теоремы 1 из $\S$12 (формула (7)) имеет место представление:
{\renewcommand{\theequation}{$+$}
\begin{equation}                                                                                            %(+)
  u(x)=\int\limits_{\Omega}U(x-y)\triangle_y u(y)dy+
  \int\limits_{\partial\Omega}\biggl\{u(\xi)\frac{\partial U(x-\xi)}{\partial N_\xi} -
      U(x-\xi)\frac{\partial u(\xi)}{\partial N_\xi}\biggr\}dS_\xi.
\end{equation}}
В силу второй формулы Грина из $\S$12 справедливо равенство:
{\renewcommand{\theequation}{$++$}
\begin{equation}                                                                                             %(++)
  0=\int\limits_{\Omega}g(x,y)\triangle_y u(y)dy+
  \int\limits_{\partial\Omega}\biggl\{u(\xi)\frac{\partial g(x,\xi)}{\partial N_\xi} -
      g(x,\xi)\frac{\partial u(\xi)}{\partial N_\xi}\biggr\}dS_\xi.
\end{equation}}
\setcounter{equation}{10}
Вычитая из (+) равенство (++) в итоге получим ещё одно представление: для
любой функции $u(x)\in C^2(\overline{\Omega})$:
\begin{equation}                                                                                            %(11)
  u(x)=-\int\limits_{\partial\Omega}u(\xi)\frac{\partial G(x,\xi)}{\partial N_\xi}dS_\xi -
      \int\limits_{\Omega}G(x,y)\triangle_y u(y)dy.
\end{equation}

\textbf{2 этап.} Доказательство того факта, что представление (11) справедливо для
любой функции $u(x)\in C^2(\Omega)\cap C(\overline{\Omega})$\\
%
\begin{figure}[h]
\centering\includegraphics[width=0.4\textwidth]{pic_5.eps}
\end{figure}
%

$\widetilde{\Omega}\Subset\Omega$ ($\overline{\widetilde{\Omega}}\subset\Omega$)

$\varepsilon=\max\limits_{x\in\partial\Omega, y\in\partial\widetilde{\Omega}}|x-y|>0$

\textbf{3 этап.} Если классическое решение задачи Дирихле ($D_i$)
{\renewcommand{\theequation}{$D_i$}
\begin{equation}                                                                                                %(D_i)
\left\{
  \begin{array}{l}
  \triangle_x u=f(x),  \quad x\in\Omega;\\
  u|_{\partial\Omega}=\varphi(x), \quad  x\in\partial\Omega
  \end{array}
  \right.
\end{equation}}
\setcounter{equation}{11}
существует (при непрерывной и ограниченной $f(x)\in C(\overline{\Omega})$
и непрерывной $\varphi(x)\in C(\partial\Omega)$), то оно представляется в виде:
\begin{equation}                                                                                            %(11)
  u(x)=-\int\limits_{\partial\Omega}\frac{\partial G(x,\xi)}{\partial N_\xi}\varphi(\xi)dS_\xi -
      \int\limits_{\Omega}G(x,y)f(y)dy.
\end{equation}
Затем доказывается, что при $f(x)\in C^1(\overline{\Omega})$, $\varphi(x)\in C(\partial\Omega)$
формула (12) даёт решение задачи $D_i$.\\
%
\textbf{Замечание.}\\
Метод функций Грина для физиков и вычислителей.



\end{document}