All lectures pdfs / Ур.мат.физ / Lecture_2 / 2010-08-29 / Лекция_2

\documentclass[16pt]{article}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{ulem}
\usepackage{amsmath, amssymb, longtable,graphicx}
\usepackage{geometry}
\geometry{top=1cm} \geometry{bottom=0.5cm}


\oddsidemargin=0.96cm \topmargin=0.96cm

 \textwidth 14.6cm

\textheight 21cm

\allowdisplaybreaks[2]
\begin{document}

     \setcounter{page}{1}
     \pagestyle{myheadings}


     \markboth{ А.М.Блохин}
     {Лекция №2, НГУ, ММФ, 2010}
     \title{\S 2. Линейное однородное уравнение первого порядка. Квазилинейные уравнения с частными производными. Уравнение Гамильтона-Якоби.}


     \date{}
     \maketitle

\Large
\begin{frenchspacing}
1. \textbf{Линейное однородное уравнение первого порядка.}
$$
(1)~Lu=u_t+\sum\limits^n_{k=1}f_k(t,x)u_{x_k}=0
$$
или
$$
(1)~Lu=u_t+(f,\nabla u)=0,
$$
$$(t,x)\in G\subset R^{n+1},~L=\dfrac{\partial}{\partial
t}+(f,\nabla).$$ Здесь: $f=(f_1,...,f_n);~f_k(t,x)$ - некоторые
известные
функции,\\
$\nabla=\left(\dfrac{\partial}{\partial
x_1},...,\dfrac{\partial}{\partial x_n}\right),~u=u(t,x)$ -
искомое решение.\\
Сопутствующая система обыкновенных диф. уравнений:
$$
(*)~\dfrac{dx}{dt}=f(t,x)~(c.c.)
$$
Пусть $\left\{\Phi^{(i)}(t,x),~i=\overline{1,n}\right\}$ -
какая-либо система функционально независимых первых интегралов
системы $(*)$.

\textbf{Замечание.} 1) Функция $\Phi(t,x)$ - называется первым
интегралом системы $(*)$, если она тождественно не равна
константе, но в то же время эта функция постоянна вдоль каждого
решения $x=x(t)$ системы $(*)$.

2) Интегральные кривые системы $(*)$ $x=x(t)$ называются
характеристиками уравнения (1).

3) Об одном теоретическом способе нахождения системы функционально
независимых первых интегралов. Пусть $x=x(t,x_0)$ - решение задачи
Коши
$$
\left\{
\begin{aligned}
&\dfrac{dx}{dt}=f(t,x),\\
&x|_{t=t_0}=x_0,~x_0=(x_{10},...,x_{n0}).
\end{aligned}
\right.
$$
По теореме о неявно заданных функциях векторное уравнение
$x=x(t,x_0)$ может быть однозначно разрешено относительно
$x_0:~x_0=x_0(t,x)$ и система
$\left\{x_{i0}(t,x),~i=\overline{1,n}\right\}$ может быть взята в
качестве системы функционально независимых первых интегралов
векторного уравнения $(*)$.

Общее решение уравнения (1).\\
$u=\mathcal{F}\left\{\Phi^{(1)}(t,x),...,\Phi^{(n)}(t,x)\right\},~\mathcal{F}$
- произвольная функция (достаточно гладкая).

Свойство любого решения уравнения (1): вдоль характеристики
решение $u$ постоянно. Далее уравнение (1) можно еще переписать
так: \\$\dfrac{du}{dt}=0$, где $\dfrac{d}{dt}=L$ - полная
производная от $u$ вдоль характеристики.

Задача Коши для уравнения (1):
$$(2)~
\left\{
\begin{aligned}
&Lu=0,\\
&u|_{t=t_0}=\varphi(x),
\end{aligned}
\right.
$$
где $\varphi(x)$ - некоторая гладкая функция.

Формализм построения решения задачи Коши (2): \\
а) $\left\{
\begin{aligned}
&\Phi^{(1)}(t_0,x)=\overline{\Phi}^{(1)},\\
&\vdots\\
&\Phi^{(n)}(t_0,x)=\overline{\Phi}^{(n)}.
\end{aligned}
\right. $

Из этой системы находим зависимость
$$
x=X(\overline{\Phi}^{(1)},...,\overline{\Phi}^{(n)}).
$$
б) Тогда решение задачи Коши (2) записывается так:
$$
u=\varphi(X(\Phi^{(1)}(t,x),...,\Phi^{(n)}(t,x))).
$$
\textbf{Замечание.} Уравнение (1) можно трактовать так:
$\dfrac{du}{dt}=0$ - полная производная от $u$ в силу системы
$(*)$ равна $0$. Это означает, что вдоль характеристики функция
$u$ постоянна.

Рассмотрим вместо уравнения (1) более общее уравнение:
$$
(1')~f_0(t,x)u_t+(f,\nabla u)=0.
$$
Рассмотрим два предельных случая.\\
1-ый предельный случай.\\
Если $f_0\ne 0$, то $(1')$ перепишется в виде $(1)$
$$
(1'')~u_t+\left(\dfrac{1}{f_0}f,\nabla u\right)=0,
$$
характеристики которого определяются из соп. системы:
$$
(**)~\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{1}{f_0}f.
$$
Удобно ввести параметр $s$:
$$
\dfrac{ds}{dt}=\dfrac{1}{f_0},~s|_{t=t_0}=0.
$$
Тогда система $(**)$ перепишется так:
$$
\left\{
\begin{aligned}
&\dfrac{dt}{ds}=f_0(t,x),\\
&\dfrac{dx}{ds}=f(t,x).
\end{aligned}
\right.
$$
Заметим, что вектор $\widetilde{f}=(f_0,f)=(f_0,f_1,...,f_n)$
определяет вектор, касательный к характеристике $ \left\{
\begin{aligned}
&x=x(s),\\
&s=s(t)
\end{aligned}
\right. $ уравнения $(1')$.
\begin{figure}[h]
\centering\includegraphics[width=0.6\textwidth]{pic_1.eps}
\end{figure}
Говорят, что этот вектор задает характеристическое направление в
точке $(t,x)$. Если мы решаем задачу Коши для уравнения $(1')$
($(1'')$) с данными при $t=t_0:~u|_{t=t_0}=\varphi(x)$, то
гиперплоскость $t=t_0$ ни в одной точке не имеет хар. направления.

\noindent 2-ой предельный случай.\\
Если $f_0(t,x)\equiv 0$, то $(1')$ перепишется так:
$$
(1''')~(f(t,x),\nabla u)=0,
$$
характеристики которого находятся из системы:
$$ \left\{
\begin{aligned}
&\dfrac{dt}{ds}=0,\\
&\dfrac{dx}{ds}=f,
\end{aligned}
\right. $$ т.е. при $t=const$ характеристики расположены в
гиперплоскости $t=const$. Поскольку вдоль каждой такой
характеристики $u$ постоянно, то следовательно задача Коши
$$ \left\{
\begin{aligned}
&(f,\nabla u)=0,\\
&u|_{t=t_0}=\varphi(x)
\end{aligned}
\right. $$
\begin{figure}[h]
\centering\includegraphics[width=0.6\textwidth]{pic_2.eps}
\end{figure}
разрешима не при любой функции $\varphi(x)$. Промежуточный случай
будет рассмотрен далее на примере.

До сих пор мы рассматривали данные Коши на гиперплоскости $t=t_0$.
Рассмотрим теперь так называемую \textbf{обобщенную задачу Коши},
которая ставится так:
$$ (3)~\left\{
\begin{aligned}
&f_0 u_t+(f,\nabla u)=0,\\
&u|_\gamma=\varphi(t,x),~(t,x)\in\gamma.
\end{aligned}
\right. $$ Здесь $\gamma$ - гладкая гиперповерхность с уравнением
$$
\Psi(t,x)=0,
$$
причем $\left.|\widetilde{\nabla}\Psi|\right|_\gamma\ne
0,~\widetilde{\nabla}\Psi=(\Psi_t.\Psi_{x_1},...,\Psi_{x_n})=(\Psi_t,\nabla\Psi)$.
\begin{figure}[h]
\centering\includegraphics[width=0.6\textwidth]{pic_3.eps}
\end{figure}
Сделаем в задаче (3) замену независимых переменных:
$$
(+)~\left\{
\begin{aligned}
&x=x,\\
&\xi=\Psi(t,x),~u(t,x)=\widetilde{u}(\xi,x);
\end{aligned}
\right.
$$
при этом:
$$
\dfrac{\partial u}{\partial t}=\dfrac{\partial
\widetilde{u}}{\partial\xi}\Psi_t,~\dfrac{\partial u}{\partial
x_k}=\dfrac{\partial\widetilde{u}}{\partial
x_k}+\dfrac{\partial\widetilde{u}}{\partial\xi}\Psi_{x_k},
$$
т.е.
$$
\nabla
u=\nabla\widetilde{u}+\dfrac{\partial\widetilde{u}}{\partial\xi}\nabla\Psi.
$$
Следовательно задача $(3)$ перепишется так:
$$
(3')~\left\{
\begin{aligned}
&[f_0\Psi_t+(f,\nabla\Psi)]\widetilde{u}_\xi+(f,\nabla\widetilde{u})=0,\\
&\widetilde{u}|_{\xi=0}=\varphi(t,x),~t=t(0,x)
\end{aligned}
\right.
$$
(заметим, что из $(+)$ следует, что $t=t(\xi,x)$, если
$\Psi_t|_\gamma\ne 0$, например).

Задача $(3')$ однозначно разрешима, если
$$
\left[f_0\Psi_t+(f,\nabla\Psi)\right]|_\gamma\ne 0,
$$
т.е. $(\widetilde{f},\widetilde{\nabla}\Psi)|_\gamma\ne
0,~\widetilde{f}=(f_0,f).$\\
Это означает, что вектор $\widetilde{f}$ не лежит в касательной
гиперплоскости к гиперповерхности $\gamma$ (иными словами, ни в
одной точке поверхность $\gamma$ не имеет характеристического
направления).

\textbf{Примеры:}\\
1) $xu_t-(t+1)u_x=0,~x\in R^1$;\\
уравнение характеристик: $\dfrac{dx}{dt}=-\dfrac{t+1}{x}$,\\
т.е. общее решение: $u=\mathcal{F}(x^2+(t+1)^2).$\\
Найдем решение задачи Коши при $t>0$ с начальным условием:
$u|_{t=0}=x.$\\
Однако простые рассуждения показывают, что начальное условие можно
задавать либо при $x<0$, либо при $x>0$ (на всей оси $t=0$
начальное условие задавать нельзя!). Если начальное условие
задается при $x<0$, то решение имеет вид:
$$
u=-\sqrt{x^2+(t+1)^2-1},~t>0.
$$
\begin{figure}[h]
\centering\includegraphics[width=0.7\textwidth]{pic_4.eps}
\end{figure}
Причина того, почему начальное условие нельзя задавать при всех
$x$, заключается в том, что в точке $(0,0)$ линия $t=0$ имеет
характеристическое направление.\\

\noindent 2)
$u_t+u_x=0,~u=\mathcal{F}(x-t),~\Psi=x-t,~f_0\Psi_t+f_1\Psi_x=0.$\\

2. \textbf{Квазилинейные уравнения с частными производными.}
$$
(4)~Lu_k=g_k(t,x,u),~k=\overline{1,m};
$$
$$L=\dfrac{\partial}{\partial t}+(f,\nabla),~f=(f_1,...,f_n),$$
$f_k=f_k(t,x,u),~k=\overline{1,n},$; $u=(u_1,...,u_m)$.

Система (4) называется \textbf{квазилинейной}.
Если $f=f(t,x)$, то система называется \textbf{почти линейной}.\\

\noindent а) Нахождение общего решения.
$$
(5)~\left\{
\begin{aligned}
&\dfrac{dx}{dt}=f(t,x,u),\\
&\dfrac{du}{dt}=g(t,x,u),~g=(g_1,...,g_m)
\end{aligned}
\right.
$$
(соп. сист. об. диф. уравнений).\\
Интегральные кривые системы $\dfrac{dx}{dt}=f(t,x,u)$ называются
характеристиками системы (4). Но в отличии от лин. уравнения (1),
в квазилинейном случае нельзя найти характеристики, не зная
решения $u=u(t,x)$. Каждое уравнение системы
$\dfrac{du}{dt}=g(t,x,u)$ называется соотношением на
характеристике. Пусть $\{\Phi^{(i)}(t,x,u),$
$i=\overline{1,n+m}\}$ - какая-либо функционально независимая
система первых интегралов системы (5). Тогда общее решение системы
(4) дается в следующем виде:
$$
\left\{
\begin{aligned}
&\mathcal{F}_1\left\{\Phi^{(1)}(t,x,u),...,\Phi^{(n+m)}(t,x,u)\right\}=0,\\
&~.~.~.~.~.~.~.~.\\
&\mathcal{F}_m\left\{\Phi^{(1)}(t,x,u),...,\Phi^{(n+m)}(t,x,u)\right\}=0,
\end{aligned}
\right.
$$
т.е. функции $u_k,k=\overline{1,m}$ определяются неявно.\\

\noindent б) Решение задачи Коши
$$(6)~
\left\{
\begin{aligned}
&Lu=g,\\
&u|_{t=t_0}=\varphi(x)=(\varphi_1(x),...,\varphi_m(x)),
\end{aligned}
\right.
$$
строится так:
$$
\left\{
\begin{aligned}
&\Phi^{(1)}(t_0,x,u)=\overline{\Phi}^{(1)},\\
&~.~.~.~.~.~.~.~.\\
&\Phi^{(n+m)}(t_0,x,u)=\overline{\Phi}^{(n+m)};
\end{aligned}
\right.
$$
т.е.\\$x=X(\overline{\Phi}^{(1)},...),$\\
$u=U(\overline{\Phi}^{(1)},...).$\\
Тогда решение задачи Коши (6) дается в виде:
$$
U(\Phi^{(1)}(t,x,u),...)=\varphi(X(\Phi^{(1)}(t,x,u),...)),
$$
т.е. определяется в неявном виде.

\textbf{Пример.} $$u_t+uu_x=0;$$
$$\mbox{с.с.об.ур.}~
\left\{
\begin{aligned}
&\dfrac{dx}{dt}=u~\rightarrow~x-ut=const,\\
&\dfrac{du}{dt}=0~\rightarrow~u=const.
\end{aligned}
\right.
$$
$$
\left\{
\begin{aligned}
&\Phi^{(1)}=x-ut,\\
&\Phi^{(2)}=u,
\end{aligned}
\right.
$$
$\mathcal{F}(x-ut,u)=0$ - общее решение. Задача Коши:
$$
\left\{
\begin{aligned}
&u_t+uu_x=0,\\
&u|_{t=0}=\varphi(x)
\end{aligned}
\right.
$$
имеет решение:
$$
(8)~u=\varphi(x-ut).
$$
До сих пор, при построении решений того или иного уравнения, мы
неявно предполагали, что строим гладкие решения, т.е. решения
непрерывно дифференцируемые до некоторого порядка.

Так задача Коши: $u_t+u_x=0,~u|_{t=0}=\varphi(x)$ имеет гладкое
решение при всех $t>0, x\in R^1$, если функция $\varphi(x)$
непрерывно дифференцируема. Однако в случае задачи Коши (7) дело
обстоит сложнее. Оказывается, далеко не всегда можно построить
гладкое решение этой задачи при всех $t>0$ (даже, если
$\varphi(x)$ - гладкая функция).
\begin{figure}[h]
\centering\includegraphics[width=0.7\textwidth]{pic_5.eps}
\end{figure}
Итак, гладкое решение перестает существовать, как только
характеристики пересеклись. Из (8) легко получаем
$$
u_x(t,x)=u_x(t,x_0+\varphi(x_0)t)=\dfrac{\varphi'(x_0)}{1+t\varphi'(x_0)}.
$$
Следовательно, гладкое решение задачи Коши (7) существует при всех
$t>0$, если $\varphi'(x_0)\ge 0$. Если же в некоторой области
$\varphi'(x_0)<0$, то гладкое решение задачи (7) существует при
$0<t<t_k$, где:
$$
t_k=\dfrac{1}{\sup\limits_{x_0}|\varphi'(x_0)|}
$$
($\sup\limits_{x_0}$ берется в той области, где $\varphi'(x_0)\le
0$).

При $t\ge t_k$ гладкое решение перестает существовать. Явление
неограниченного роста градиентов основных величин (например,
$u_x$) получило название \textbf{градиентной катастрофы}.\\

3. \textbf{Уравнение Гамильтона-Якоби.}
$$
(9)~u_t+H(t,x,\nabla u)=0,
$$
$H(\cdot)$ - гладкая функция своих аргументов.\\
Обозначим: $p=\nabla u,~H_p=(H_{p_1},...,H_{p_n})$,\\
$H_x=(H_{x_1},...,H_{x_n}),~L=\dfrac{\partial}{\partial
t}+(H_p,\nabla)$.\\
Тогда
$$Lp=-H_x~\rightarrow~(10)~
\left\{
\begin{aligned}
&  \left.
\begin{aligned}
&\dfrac{dx}{dt}=H_p(t,x,p),\\
&\dfrac{dp}{dt}=-H_x(t,x,p),
\end{aligned}
\right]
 \mbox{-канонич. ур-ния Гамильтона;}\\
&\dfrac{du}{dt}=-H(t,x,p)+(p,H_p).
\end{aligned}
\right.
$$
\indent Задача Коши:
$$(11)~
\left\{
\begin{aligned}
&u_t+H(t,x,\nabla u)=0,\\
&u|_{t=0}=\varphi(x),
\end{aligned}
\right.
$$
при условии, что решение ее существует и является гладкой
функцией, то это решение может быть найдено путем решения задачи
Коши для (10) с начальными данными:
$$(++)~
\left\{
\begin{aligned}
&x|_{t=0}=x_0,\\
&p|_{t=0}=\nabla\varphi(x_0),\\
&u|_{t=0}=\varphi(x_0).
\end{aligned}
\right.
$$
Справедливо и обратное утверждение: если $u,p$ - решение задачи
Коши для (10), то
$$
\nabla u=p,~u_t=-H(t,p,\nabla u).
$$
\\
Задачи. \\
1) Найти решение задачи Коши:
$$
\left\{
\begin{aligned}
&\rho_t+(\nabla\omega,\nabla\rho)=-\rho\Delta_x\omega,\\
&\rho|_{t=0}=\rho_0(x);
\end{aligned}
\right.
$$
$\omega=\omega(t,x)$ - известная гладкая функция.\\

\noindent 2) Найти решение задачи Коши:
$$
\left\{
\begin{aligned}
&\omega_t+\dfrac{1}{2}|\nabla\omega|^2+U(x)=0,\\
&\omega|_{t=0}=\omega_0(x),~U(x)~-~\mbox{известная функция}.
\end{aligned}
\right.
$$

\end{frenchspacing}

     \end{document}