All lectures pdfs / Ур.мат.физ / Lecture_2 / 2010-08-29 / Лекция_2
.pdfЛекция №2, НГУ, ММФ, 2010 |
|
|
|
|
|
|
11 |
||||
H(¢) - гладкая функция своих аргументов. |
|||||||||||
Обозначим: p = ru; Hp = (Hp1; :::; Hpn), |
|
|
|||||||||
Hx = (Hx1; :::; Hxn); L = |
|
@ |
+ (Hp; r). |
|
|
||||||
@t |
|
|
|||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
dx |
|
|
|
|
||
¡ |
|
! |
|
|
|
|
¡ |
7 |
|
||
|
dt |
|
|||||||||
|
> |
|
|
||||||||
|
|
|
> |
|
dt |
= Hp(t; x; p); |
|
-канонич. ур-ния Гамильтона; |
|||
|
|
|
8 |
|
5 |
||||||
|
|
|
< du |
|
|
|
|||||
Lp = |
H |
x |
(10) > |
|
dp |
= Hx(t; x; p); |
3 |
|
|||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
dt |
|
= ¡H(t; x; p) + (p; Hp): |
|||||
Задача Коши:
(
(11)ut + H(t; x; ru) = 0; ujt=0 = '(x);
при условии, что решение ее существует и является гладкой функцией, то это решение может быть найдено путем решения задачи Коши для (10) с начальными данными:
|
x =0 = x0; |
|||
(++) |
> j |
= |
r |
'(x0); |
8pjtt=0 |
|
|||
|
> j |
|
|
|
|
: |
= '(x0): |
||
|
<u t=0 |
|||
Справедливо и обратное утверждение: если u; p - решение задачи Коши для (10), то
ru = p; ut = ¡H(t; p; ru):
Задачи.
1) Найти решение задачи Коши:
(
½t + (r!; r½) = ¡½¢x!; ½jt=0 = ½0(x);
! = !(t; x) - известная гладкая функция.
Лекция №2, НГУ, ММФ, 2010 |
|
12 |
|||
2) Найти решение задачи Коши: |
|
|
|||
8 |
|
1 |
|
|
|
!t + |
|
jr!j2 + U(x) = 0; |
|||
2 |
|||||
: |
j |
= !0(x); U(x) |
¡ |
известная функция: |
|
< |
! t=0 |
|
|||