2.1.Параллельные машины.Модель.Сложность

Система с параллельными машинами. Описание модели. Сложность задач

Тахонов Иван Иванович

Новосибирский государственный университет Механико-математический факультет

ÍÃÓ, 2015

Описание модели Сложность задач Неаппроксимируемость

Описание модели

Описание модели Сложность задач Неаппроксимируемость

Описание модели

J tJ1; : : : ; Jnu множество работ (из одной операции),

M tM1; : : : ; Mmu множество машин,

pij время выполнения работы Jj на машине Mi,

м. б. заданы wj (âåñà), rj (времена поступления) и т. д.,

м. б. допустимы прерывания работ,

на множестве работ м. б. задан част. порядок: G pJ ; Aqбесконтурный орграф.

Критерии:

Cmax длина расписания (уже не так тривиально, как в одномашинных задачах),

°

wjCj взвешенное суммарное (среднее) время нахождения работ в системе.

Описание модели Сложность задач Неаппроксимируемость

В зависимости от того, как длительности работ pij зависят от машин, выделяют несколько типов окружения:

Идентичные машины (P). Длительность выполнения Jj íà âñåõ машинах одинакова: pij pj äëÿ âñåõ i è j.

Машины с различным быстродействием / Uniform Machines

(Q). Для каждой машины Mi известна ее производительность

si è pij psji .

Unrelated Machines (R). Время выполнения Jj íà Mi индивидуально и равно pij.

Сложность задач

Теорема 1

Задача P 2||Cmax является NP-сложной.

Доказательство. Сведением задачи Разбиение .

По примеру Разбиения построим пример P 2||Cmax ¤ Y с параметрами:

n работ, pj aj (äëÿ âñåõ j ¤ n) è Y b.

Очевидно, допустимое расписание существует в том и только том случае, когда существует разбиение.

Теорема 2

Задача P ||Cmax является NP-сложной в сильном смысле.

Доказательство. Сведением 3-Разбиения . Дано: множество

3t

°

A ta1; : : : ; a3tu € N, aj tb, ãäå b P N, âñå aj P pb{4; b{2q.

j 1

Вопрос: существует ли разбиение A на t троек веса b?

По примеру 3Разб построим следующий пример P ||Cmax ¤ Y :

3t работ, t машин, pj aj (j 1; : : : ; 3t), Y b.

Очевидно, расписанию длины b соответствует 3-разбиение. И наоборот.

Замечание 1

Задача P m||Cmax не является сложной в сильном смысле и может быть решена с псевдополиномиальной трудоемкостью.

Замечание 2

Задача P pmq|prmp|Cmax полиномиально разрешима.

Теорема 3

Задача P 2|chains|Cmax является NP-сложной в сильном смысле.

[Du, Leung, Young. Scheduling chain-structured tasks to minimize makespan and mean ow time// Inform. and Comput., 92(2):219-236, 1991.]

Теорема 4

°

Задача P 2|| wjCj является NP-сложной.

Доказательство. Сведением Разбиения . Построим пример

°

P 2|| wjCj ¤ Y с параметрами:

n

n работ, pj wj aj, Y b2 12 ° a2j .

j 1

Пусть для этой задачи существует допустимое расписание . Покажем, что существует разбиение. Обозначим:

Ji множество работ, вып. на Mi (i 1; 2),

°

Fip q wjCjp q вклад Mi â ö.ô.,

Jj PJi

F p q F1p q F2p q значение ц.ф. для расп. .

Вычислим значение целевой функции:

2

¸¸

ak a2k:

JkPJ1 JkPJ1