2.1.Параллельные машины.Модель.Сложность
.pdf
Описание модели |
Доказательство неаппроксимируемости |
|
Сложность задач |
||
Unrelated machines |
||
Неаппроксимируемость |
||
|
||
|
|
Gap Technique
Теорема 8
Пусть
NP-полная задача распознавания,
NPO задача минимизации,
полином. трансформация Ñ такая, что
1 |
@I P Y OP T p pIqq ¤ a, |
2 |
@I P N OP T p pIqq ¥ b. |
для некоторых a и b. Тогда не существует полином. прибл.
алгоритмва для с отн. погрешностью |
b |
P NP). |
a (åñëè |
Тахонов Иван Иванович |
Параллельные машины. Модель. Сложность |
|
|
Описание модели |
Доказательство неаппроксимируемости |
|
Сложность задач |
||
Unrelated machines |
||
Неаппроксимируемость |
||
|
||
|
|
Unrelated machines
Теорема 9
Задача R||Cmax ¤ 2 является NP-полной в с.с.
Доказательство. Сведением 3-Сочетания (3DM): Äàíû непересекающиеся множества
Ata1; : : : ; anu; B tb1; : : : ; bnu; C tc1; : : : ; cnu
èсемейство троек
F tT1; : : : ; Tmu; Tj P A B C @j 1; m:
Верно ли, что F содержит 3-сочетание F 1 „ F :
|F 1| n,
”
Tj A Y B Y C.
Tj PF 1
Тахонов Иван Иванович |
Параллельные машины. Модель. Сложность |
|
|
Описание модели |
Доказательство неаппроксимируемости |
|
Сложность задач |
||
Unrelated machines |
||
Неаппроксимируемость |
||
|
||
|
|
Дан пример 3DM. Обозначим через tj число троек, содерж. aj (äëÿ âñåõ aj P A) и построим следующий пример R||Cmax.
Машины: для каждой тройки Ti paj; bk; clq P F вводим свою машину MTi .
Работы: введем
работы Jbk è Jcl B Y C значимые работы;
tj 1 вспомогательных работ Jarj @ aj P A (r 1; tj 1). У нас получилось ровно m n вспомогательных работ.
Длительности: машина MTi Mpaj ;bk;clq обрабатывает
значимые работы Jbk è Jcl çà 1,
вспомогательные работы Jarj çà 2, 
oстальные работы за 3.
Тахонов Иван Иванович |
Параллельные машины. Модель. Сложность |
|
|
Описание модели |
Доказательство неаппроксимируемости |
|
Сложность задач |
||
Unrelated machines |
||
Неаппроксимируемость |
||
|
||
|
|
Предположим, есть сочетание (F 1). Тогда можно построить расписание длины 2:
Äëÿ T paj; bk; clq P F 1 помещаем Jbk and Jcl íà MT ýòè работы закончатся в 2;
Вспомогательные работы назначим на tj 1 машин, соотв. тройкам, содержащим aj â F zF 1 они тоже заверш. в 2.
Òàê êàê F 1 явл. сочетанием, все работы назначены и завершены до 2.
Тахонов Иван Иванович |
Параллельные машины. Модель. Сложность |
|
|
Описание модели |
Доказательство неаппроксимируемости |
|
Сложность задач |
||
Unrelated machines |
||
Неаппроксимируемость |
||
|
||
|
|
Предположим, есть допуст. расп. длины ¤ 2.
Длина расп. 2, так как длина вспомог. работ ¥ 2.
Ровно tj 1 машин MT , T Q aj должны быть отданы под вспомогательные работы Jarj (иначе у êîãî-òî длина 3).
Для каждого aj P A остается по одной машине MT , T Q aj, и всего таких машин n.
Все значимые работы должны на них поместиться. Так как длина расп. 2, ни одна из работ не может иметь длину 3.
Таким образом, все значимые работы Jx (x P B Y C) обрабатываются на машинах MT таких, что T Q x ñ нашли сочетание.
Тахонов Иван Иванович |
Параллельные машины. Модель. Сложность |
|
|
Описание модели |
Доказательство неаппроксимируемости |
|
Сложность задач |
||
Unrelated machines |
||
Неаппроксимируемость |
||
|
||
|
|
Следствие 2
Если P NP, не существует полином. прибл. алгоритма для (целочисл.) задачи R||Cmax с отн. оценкой точности 3{2.
Тахонов Иван Иванович |
Параллельные машины. Модель. Сложность |
|
|
Описание модели |
Доказательство неаппроксимируемости |
|
Сложность задач |
||
Unrelated machines |
||
Неаппроксимируемость |
||
|
||
|
|
Литература к лекции
1 Brucker P. Scheduling algorithms разделы 3, 5.1.
2Pinedo M. Scheduling. Theory, Algorithms, and Systems Appendix D.
3 |
Гэри М., Джонсон Д. Выч. машины и труднорешаемые |
|
|
задачи. раздел 6. |
|
4 |
P.Shuurman, G.Woeginger Approximation Schemes - A |
|
|
Tutorial // Глава в Lectures on Scheduling edited by R.H. |
|
|
Mohring, |
C.N. Potts, A.S. Schulz, G.J. Woeginger, L.A. |
|
Wolsey. |
|
5J.K. Lenstra, D.B. Shmoys, and E. Tardos. Approximation Algorithms for Scheduling Unrelated Paralle Machines //
Mathematical Programming 46 (1990) 259-271
6 Du, Leung, Young. Scheduling chain-structured tasks to minimize makespan and mean ow time// Inform. and Comput., 92(2):219-236, 1991. 
Тахонов Иван Иванович |
Параллельные машины. Модель. Сложность |
|
|