2.1.Параллельные машины.Модель.Сложность
.pdf
Описание модели |
Минимизация длины расписания |
||
Сложность задач |
|||
Суммарное взвешенное время прохождения работ |
|||
Неаппроксимируемость |
|||
|
|
||
|
|
||
Случай 2. После прерывания все работы продолжились на |
|||
машинах, где в t прерываний не было. |
|
||
Пусть работа Jjl в интервале rq; ts выполнялась на Ml |
(l ¤ r), à |
||
завершилась на Mk (k ¡ r) в интервале ru; u1s. |
). |
||
Снова полагаем, что q ¥ t1 (если нет прервем ее в t1 |
|
||
Обозначим:
c t q, e u t, d u1 u;
X фрагмент расписания на машине Ml после t,
Y фрагмент расписания на машине Mk после u1.
|
|
t′ |
q t |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
σ |
Ml |
|
Jjl |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
Mk |
|
|
|
|
|
|
|
Jjl |
|
|
|
|
|
|
Y |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
u′ |
||||||||
Нужно избавимсяσ′ |
Ml |
ïðåð. â t íà Ml |
|
X |
|
îò |
и не допустить их на Mk. |
||||
|
Mk |
|
Jjl |
Y |
|
Тахонов Иван Иванович |
Параллельные машины. Модель. Сложность |
||||
Описание модели |
Минимизация длины расписания |
|
Сложность задач |
||
Суммарное взвешенное время прохождения работ |
||
Неаппроксимируемость |
||
|
||
|
|
Рассмотрим два расп.: 1 è 2, содержащие меньшее число прерываний.
|
|
t′ |
q t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
σ |
Ml |
|
|
Jjl |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
||||||
|
Mk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Jjl |
|
|
|
|
|
|
Y |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
u′ |
|
|
|
|
|
|||||
σ′ |
Ml |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
||
|
Mk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Jjl |
|
|
|
|
|
Y |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
σ′′ |
Ml |
|
|
|
|
Jjl |
|
|
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|
|||||
|
Mk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
Ðàñï. 1:
ôðàã. Jjl переносим с и подклеиваем к другому фраг.,
íà Mk è Ml части X и Y сдвигаются на c вправо и влево соотв. Расп. 2:
X перен. с Ml íà Mk è íàçí. íà u1 (сдвиг на e вправо),
ôðàã. Jjl è Y перен. с Mk íà Ml |
и назн. на t (сдвиг на e влево). |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Тахонов Иван Иванович |
|
Параллельные машины. Модель. Сложность |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Описание модели |
Минимизация длины расписания |
|
Сложность задач |
||
Суммарное взвешенное время прохождения работ |
||
Неаппроксимируемость |
||
|
||
|
|
Покажем, что 1 è 2 допустимы.
|
|
t′ |
q t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
σ |
Ml |
|
|
Jjl |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
||||||
|
Mk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Jjl |
|
|
|
|
|
|
Y |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
u′ |
|
|
|
|
|
|||||
σ′ |
Ml |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
||
|
Mk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Jjl |
|
|
|
|
|
Y |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
σ′′ |
Ml |
|
|
|
|
Jjl |
|
|
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|
|||||
|
Mk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
Ðàñï. 1:
Y содержит финальные фраг., они вып. позже ñ âñå ÎÊ.
Пусть какая-то работа из X вып. на Ml è Ml1 одновременно.
Íà Ml1 она прер. в t, кроме того, в она на Ml1 не заканчивалась, след.-но, по предположению, ее финальный фрагмент должен выполняться после t на машине из MztM1; : : : ; Ml; : : : ; Mru.
Ðàñï. 2:
Все изменения после t, где только финальные фраг. работ ñ âñå ÎÊ.
Тахонов Иван Иванович |
Параллельные машины. Модель. Сложность |
|
|
Описание модели |
Минимизация длины расписания |
|
Сложность задач |
||
Суммарное взвешенное время прохождения работ |
||
Неаппроксимируемость |
||
|
||
|
|
|
Покажем, что одно из расп. 1 è 2 íå õóæå . |
||
Ðàñï. 1:
Ðàñï. 2:
|
|
|
t′ |
q t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
σ |
Ml |
|
|
Jjl |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
||||||
|
|
Mk |
|
|
|
|
|
|
|
|
Jjl |
|
|
|
|
|
|
Y |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
u′ |
|
|
|
|
|
||||
|
σ′ |
Ml |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
||
|
|
Mk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Jjl |
|
|
|
|
|
Y |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
σ′′ |
Ml |
|
|
|
|
Jjl |
|
|
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|
||||
|
|
Mk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
° |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1 wj Cj p q Cj p 1q c pwpXq wpY q wjl q. |
|||||||||||||||||||||||
j 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
° |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2 wj Cj p q Cj p 2q e pwpY q wjl wpXqq.
j 1
Òàê êàê c; e ¥ 0, то одна из величин 1 è 2 неотрицательна. То есть, одно из расписаний не хуже , но в t уже меньше прерываний.
Тахонов Иван Иванович |
Параллельные машины. Модель. Сложность |
|
|
Описание модели |
Минимизация длины расписания |
|
Сложность задач |
||
Суммарное взвешенное время прохождения работ |
||
Неаппроксимируемость |
||
|
||
|
|
Замечание 5
Удаление прерываний из расписания может быть осуществлено за полиномиальное (от n, m и числа прерываний) время.
Следствие 1
°
Задача P m|prmp| wjCj является NP-сложной.
°
Задача P |prmp| wjCj является NP-сложной в с. смысле.
Тахонов Иван Иванович |
Параллельные машины. Модель. Сложность |
|
|
Описание модели |
Минимизация длины расписания |
|
Сложность задач |
||
Суммарное взвешенное время прохождения работ |
||
Неаппроксимируемость |
||
|
||
|
|
Сложность P m|| (m ¥ 2)
Cmax
P
Lmax Cj
P P P
|
Uj |
|
|
Tj |
wjCj |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
PwjUj |
|
PwjTj |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тахонов Иван Иванович |
Параллельные машины. Модель. Сложность |
|
|
Описание модели |
Минимизация длины расписания |
|
Сложность задач |
||
Суммарное взвешенное время прохождения работ |
||
Неаппроксимируемость |
||
|
||
|
|
Сложность P ||
|
|
|
|
|
|
Cmax |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Lmax |
|
|
PCj |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
PUj |
|
|
P |
|
Tj |
|
|
PwjCj |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
PwjUj |
|
|
PwjTj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тахонов Иван Иванович |
Параллельные машины. Модель. Сложность |
|
|
Описание модели |
Минимизация длины расписания |
|
Сложность задач |
||
Суммарное взвешенное время прохождения работ |
||
Неаппроксимируемость |
||
|
||
|
|
Заметим
|
псевдополиномиальные°алгоритмы. |
|
1 |
äëÿ P m||Cmax è P m|| |
wjCj существуют |
2 |
äëÿ P m||Cmax è Pm|| °wjCj можно построить F P T AS. |
|
°
3Задачи P ||Cmax, P || wjCj и все остальные задачи сложны в сильном смысле, поэтому для них F P T AS не существует.
Тахонов Иван Иванович |
Параллельные машины. Модель. Сложность |
|
|
Описание модели |
Доказательство неаппроксимируемости |
|
Сложность задач |
||
Unrelated machines |
||
Неаппроксимируемость |
||
|
||
|
|
Неаппроксимируемость
Тахонов Иван Иванович |
Параллельные машины. Модель. Сложность |
|
|
Описание модели |
Доказательство неаппроксимируемости |
|
Сложность задач |
||
Unrelated machines |
||
Неаппроксимируемость |
||
|
||
|
|
Gap Technique
Хорошая книжка
P.Shuurman, G.Woeginger Approximation Schemes - A Tutorial // Глава в Lectures on Scheduling edited by R.H. M ohring, C.N. Potts, A.S. Schulz, G.J. Woeginger, L.A. Wolsey.
Теорема 7
Пусть задача минимизации с целыми неотрицательными параметрами и целевой функцией f. Рассмотрим задачу распознавания:
Дан пример I P и число K P N. Верно ли, что f pIq ¤ K?
Если эта задача NP-полна для некоторого фиксированного K, то не существует полином. прибл. алгоритма для с отн. погрешностью 1 1{K (åñëè P NP).
Тахонов Иван Иванович |
Параллельные машины. Модель. Сложность |
|
|